آموزش پیش حساب 3: مثلثات

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی دوره Introduction to the course

• مثلثات چیست؟ What is trigonometry?

• جایگاه مثلثات در ریاضیات و علوم Place of trigonometry in mathematics and sciences

• هشدار: معکوس در مقابل متقابل Warning: inverse versus reciprocal

• یک، سه، شش، نه، دوازده تابع One, three, six, nine, twelve functions

• روش های مختلف برای تعریف تابع سینوس؛ مثلثاتی در مقابل دایره ای Various ways of defining the sine function; trigonometric vs circular

• چه چیزی را می خواهید یاد بگیرید و چرا What you are going to learn and why

• نسبت ها و نقش تعیین کننده آنها در این دوره Proportions and their crucial role in this course

دوره تصادف در هندسه اقلیدسی Crash course in Euclidean geometry

• نحوه استفاده از این بخش How to use this section

• هندسه اقلیدسی: مفاهیم اولیه، بدیهیات، تعاریف و قضایا Euclidean geometry: Primitive notions, axioms, definitions, and theorems

• زوایا: تعریف، نشانه گذاری معمول، اندازه گیری ها، انواع زوایا Angles: definition, usual notation, measures, kinds of angles

• اصطلاحات مربوط به زاویه Angle-related terminology

• مثلث ها: تعریف و نماد معمولی. مثلث های متجانس SSS، SAS، ASA Triangles: definition and usual notation; congruent triangles SSS, SAS, ASA

• اختیاری: فاصله اقلیدسی و نابرابری مثلث Optional: Euclidean distance and triangle inequality

• فرض پنجم و زوایای متناوب. متوازی الاضلاع Fifth postulate and alternate angles; parallelograms

• مجموع زوایای یک مثلث و برخی پیامدها The sum of angles in a triangle, and some consequences

• مفهوم منطقه؛ مساحت یک مستطیل The concept of area; area of a rectangle

• مساحت یک مثلث؛ ارتفاع (ارتفاع) Area of a triangle; the height (altitude)

• ایزومتریک: تقارن خط و نقطه، چرخش، ترجمه Isometries: line and point symmetries, rotations, translations

• قضیه تالس و مثلث های مشابه Thales’ theorem and similar triangles

• مثلث قائم الزاویه و قضایای فیثاغورث Right triangles and Pythagorean theorems

• حقایق مهم در مورد مثلث متساوی الاضلاع و متساوی الساقین Important facts about equilateral and isosceles triangles

• بازگشت به فاصله اقلیدسی: نحوه محاسبه آن در سیستم مختصات Back to Euclidean distance: how to compute it in the coordinate system

• دایره ها: یک تعریف هندسی و معادله در سیستم مختصات Circles: a geometrical definition and equation in the coordinate system

• زوایای محاطی و مرکزی Inscribed and central angles

• دایره های محصور و محاط برای مثلث. نیمسازها Circumscribed and inscribed circles for triangles; bisectors

• چه زمانی می‌توان دایره‌ای را به دور/در چهارضلعی دور/در نوشت؟ When is it possible to circum-/in-scribe a circle around/in a quadrilateral?

• مجموع زوایای یک چند ضلعی؛ زاویه داخلی در یک چند ضلعی منظم The sum of angles in a polygon; the interior angle in a regular polygon

عدد باشکوه π The magnificent number π

• طول و مساحت: همیشه آسان نیست Length and area: not always easy

• یک تقریب خیلی زود A very early approximation

• ارشمیدس و تقریب های محیطی چند ضلعی های منظم Archimedes and approximations by perimeters of regular polygons

• در مورد مساحت یک دیسک چطور؟ یک پاسخ شهودی What about the area of a disk? An intuitive answer

• در مورد مساحت یک دیسک چطور؟ پاسخ هاردکور (Eudoxus) What about the area of a disk? A hardcore answer (Eudoxus)

توابع مثلثاتی زوایای حاد: رویکرد هندسی Trigonometric functions of acute angles: the geometric approach

• هندسه این بخش را از کجا می توان پیدا کرد Where to find geometry for this section

• شش نسبت ممکن و چرا توابع را توصیف می کنند. هویت های تابعی Six possible ratios and why they describe functions; Cofunction Identities

• شش تابع مثلثاتی، تمرین 1 Six trigonometric functions, Exercise 1

• شش تابع مثلثاتی، تمرین 2 Six trigonometric functions, Exercise 2

• چند مثلث خاص، تمرین 3 Some special triangles, Exercise 3

• یک نیمه مربع: مثلث های 45-45-90، تمرین 4 One half of a square: the 45-45-90 triangles, Exercise 4

• هویت های فیثاغورثی، تمرین 5 The Pythagorean Identities, Exercise 5

• شروع رسم تابع سینوس Starting plotting the sine function

• برای بدست آوردن کسینوس کافی است سینوس را رسم کنید It is enough to plot the sine in order to get the cosine

• نکاتی در مورد تابع مماس Some remarks about the tangent function

محاسبه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی Computing exact values of trigonometric functions

• مرحله 0: آنچه قبلاً در مورد منحنی سینوس می دانیم (0، 45، 90) Stage 0: what we already know about the sine curve (0, 45, 90)

• مثلث متساوی الاضلاع و مثلث های 30-60-90، مسئله 1 Equilateral triangle and the 30-60-90 triangles, Problem 1

• استخراج هویت مجموع برای سینوس، با استفاده از هندسه. روش 1 Derivation of the sum identity for sine, using geometry; Method 1

• استخراج مجموع هویت های سینوس و کسینوس با استفاده از روش 2 Derivation of the sum identities for sine and cosine, using method 2

• نتیجه گیری: فرمول های دو زاویه و فرمول های کاهش توان Conclusion: Double Angle Formulas and Power Reduction Formulas

• فرمول های نیم زاویه، مسئله 2 Half Angle Formulas, Problem 2

• کاربردهای مجموع هویت ها، مسئله 3 Applications of the sum identities, Problem 3

• روش هندسی محاسبه سینوس و کسینوس 18 و 72 درجه، مسئله 4 A geometric way of computing sine and cosine of 18 and 72 degrees, Problem 4

• روش هندسی محاسبه سینوس و کسینوس 54 و 36 درجه، مسئله 5 A geometric way of computing sine and cosine of 54 and 36 degrees, Problem 5

• سینوس و کسینوس زوایای سه گانه، مسئله 6 Sine and cosine of triple angles, Problem 6

• محاسبه سینوس 18 درجه با استفاده از فرمول زوایای دوتایی و سه گانه Computing sine of 18 degrees using the formulas for double and triple angles

• مماس 22.5 درجه با هندسه ظریف، مسئله 8 Tangent of 22.5 degrees by elegant geometry, Problem 8

• فرمول های سینوس و کسینوس 22.5 درجه در نیم زاویه، مسئله 9 Sine and cosine of 22.5 degrees by half angle formulas, Problem 9

• یک ترفند جالب برای محاسبه سینوس و کسینوس نیم زاویه، مسئله 10 A cool trick for computing sine and cosine of half of an angle, Problem 10

• یک بار دیگر همان ترفند، مسئله 11 Same trick one more time, Problem 11

• نماهای مختلف سینوس و کسینوس 15 درجه، مسئله 12 Different looks of sine and cosine of 15 degrees, Problem 12

• هویتی برای اثبات، مسئله 13 An identity to prove, Problem 13

• فرمول های نیم زاویه مماس، مسئله 14 Tangent half-angle formulas, Problem 14

• آزمایش با فرمول های دو زاویه، مسئله 15 Experimenting with double angle formulas, Problem 15

• خلاصه بخش 5 Summary Section 5

مقدمه ای بر توابع مثلثاتی معکوس و حل مثلث An introduction to inverse trigonometric functions and to solving triangles

• توابع مثلثاتی معکوس: آرکسین، آرکوزین، تانژانت Inverse trigonometric functions: arcsine, arccosine, arctangent

• حل مثلث یعنی چه؟ What does it mean to solve a triangle?

• حل مثلث قائم الزاویه با تقریب یا بدون تقریب Solving right triangles, with or without approximations

• حل مسئله (ابتدایی) بیشتر More (elementary) problem solving

• یک مشکل سخت A difficult problem

از درجات تا رادیان: چرا و چگونه From degrees to radians: why and how

• چرا ما به روش جدیدی برای اندازه گیری زاویه نیاز داریم؟ Why we need a new way of measuring angles

• رادیان چیست و چگونه با آن کار کنیم What is radian and how to work with it

• زوایای به خاطر سپردن بر حسب رادیان و نحوه انجام آن The angles in radians to remember, and how to do it

• تبدیل درجه به رادیان (و پشت)، تمرینات Degree to radian (and back) conversion, exercises

• زوایای سیستم مختصات: برخی اصطلاحات (ادامه بعد از V11) Angles in the coordinate system: some terminology (continuation after V11)

توابع مثلثاتی/دایره ای هر زاویه: واحد دایره و حرکت دایره ای Trigonometric/circular functions of any angle: the unit circle & circular motion

• چیزی که تا الان داریم What we have by now

• آنچه می خواهیم داشته باشیم What we want to have

• پیچیدن محور عددی (محور t) به دور دایره واحد Wrapping the number axis (the t-axis) around the unit circle

• تعریف توابع دایره ای سینوس و کسینوس رویکرد 1 Definition of circular functions sine and cosine, approach 1

• تعریف توابع دایره ای سینوس و کسینوس، رویکرد 2 Definition of circular functions sine and cosine, approach 2

ویژگی های اساسی شش تابع مثلثاتی (دایره ای). نمودارسازی Basic properties of six trigonometric (circular) functions; graphing

• از سینوس و کسینوس به عنوان توابع یک متغیر واقعی تا 6 تابع دایره ای From sine and cosine as functions of one real variable to 6 circular functions

• نشانه های توابع دایره ای در ربع های مختلف، تمرین 1 The signs of the circular functions in different quadrants, Exercise 1

• زوایای مرجع و کاربرد فوق العاده آنها Reference angles and their wonderful applicability

• مقادیر دقیق سینوس و کسینوس زوایای مختلف، تمرین 2 Exact values of sine and cosine of various angles, Exercise 2

• سه گانه فیثاغورثی یافتن مقادیر توابع، تمرین 3 Pythagorean triples. Finding values of cofunctions, Exercise 3

• توابع دوره ای Periodic functions

• تابع سینوس، خواص و نمودار آن The sine function, its properties and graph

• تابع کسینوس، خواص و نمودار آن The cosine function, its properties and graph

• تابع مماس، خواص و نمودار آن The tangent function, its properties and graph

• تابع کوتانژانت، خواص و نمودار آن The cotangent function, its properties and graph

• تابع هم‌زمان، خواص و نمودار آن The cosecant function, its properties and graph

• تابع secant، خواص و نمودار آن The secant function, its properties and graph

• نام توابع دایره ای The names of the circular functions

• توابع دایره ای، تمرین 4 Circular functions, Exercise 4

• توابع دایره ای، تمرین 5 Circular functions, Exercise 5

هویت های مثلثاتی; تبدیل های نمودار Trigonometric identities; graph transformations

• مقدار زیادی بازیافت خواهد شد! So much will be recycled!

• اشتقاق هویت مجموع برای کسینوس در یک حالت کلی Derivation of the sum identity for the cosine in a general case

• اشتقاق هویت جمع برای سینوس در یک حالت کلی Derivation of the sum identity for the sine in a general case

• استخراج هویت تفاوت برای کسینوس در یک حالت کلی Derivation of the difference identity for the cosine in a general case

• اشتقاق هویت تفاوت برای سینوس در یک حالت کلی Derivation of the difference identity for the sine in a general case

• تبدیل نمودار، مقدمه Graph transformations, an introduction

• سینوسی ها: برخی اصطلاحات Sinusoids: some terminology

• برخی از تحولات اساسی سینوسی Some basic transformations of the sinusoid

• توابع دایره ای غیر سینوسی: مطالعه از روی کتاب Non-sinusoidal circular functions: to study from the book

• چگونه می توان هر جفت اعداد حقیقی را به سینوس و کسینوس یک زاویه تقسیم کرد How to scale any pair of real numbers into the sine and cosine of some angle

• ترکیبی خطی از سینوس و کسینوس A linear combination of the sine and the cosine

• ترکیب خطی سینوس و کسینوس، تمرین 1 A linear combination of the sine and the cosine, Exercise 1

• حداکثر و حداقل را پیدا کنید، تمرین 2 Find max and min, Exercise 2

• هویت های زوج، تمرین 3 Even Odd Identities, Exercise 3

• هویت های جمع و تفاوت، تمرین 4 Sum and Difference Identities, Exercise 4

• هویت های جمع و تفاوت، تمرین 5 Sum and Difference Identities, Exercise 5

• کاربردهای فرمول های دو زاویه، تمرین 6 Applications of Double Angle Formulas, Exercise 6

• کاربردهای فرمول های دو زاویه، تمرین 7 Applications of Double Angle Formulas, Exercise 7

• فرمول های محصول به جمع Product To Sum Formulas

• فرمول های حاصل از جمع، تمرین 8 Product To Sum Formulas, Exercise 8

• فرمول جمع به محصول Sum To Product Formulas

• فرمول های جمع به محصول، تمرین 9 Sum To Product Formulas, Exercise 9

• یکنواختی سینوس در ربع اول Monotonicity of the sine in the first quadrant

• یکنواختی کسینوس در ربع اول Monotonicity of the cosine in the first quadrant

• آمادگی برای آرکسین، تمرین 10 A preparation for arcsine, Exercise 10

• آماده سازی برای آرکتتانژانت، تمرین 11 A preparation for arctangent, Exercise 11

توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها Inverse trigonometric functions, their properties and graphs

• چگونه مشکل عدم تزریق را برطرف کنیم How to get around the no-injection issue

• آرکسین: خواص و نمودار آن Arcsine: its properties and graph

• آرکوزین: خواص و نمودار آن Arccosine: its properties and graph

• Arctangent: خواص و نمودار آن Arctangent: its properties and graph

• چرا چنین اسامی؟ Why such names?

• ارتباط بین توابع مثلثاتی معکوس و معادلات مثلثاتی The link between inverse trigonometric functions and trigonometric equations

• توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 1 Inverse trigonometric functions, Exercise 1

• توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 2 Inverse trigonometric functions, Exercise 2

• توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 3 Inverse trigonometric functions, Exercise 3

• توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 4 Inverse trigonometric functions, Exercise 4

هویت بیشتر More identities

• هویت هایی که تاکنون دیده ایم Identities we have seen until now

• نحوه اثبات هویت How to prove identities

• هویت ها، تمرین 1 Identities, Exercise 1

• هویت ها، تمرین 2 Identities, Exercise 2

• هویت ها، تمرین 3 Identities, Exercise 3

• هویت ها، تمرین 4 Identities, Exercise 4

• هویت ها، تمرین 5 Identities, Exercise 5

• هویت ها، تمرین 6 Identities, Exercise 6

• هویت ها، تمرین 7 Identities, Exercise 7

• هویت ها، تمرین 8 Identities, Exercise 8

معادلات مثلثاتی Trigonometric equations

• معادله یا نابرابری مثلثاتی چیست؟ What is a trigonometric equation or inequality?

• تفاوت بین معادله مثلثاتی و هویت چیست؟ What is the difference between a trigonometric equation and identity?

• معادلات تابعی و نابرابری ها و تصاویر گرافیکی آنها Functional equations and inequalities and their graphical illustrations

• نابرابری ها و معادلات را می توانید بدون هیچ محاسباتی حل کنید Inequalities and equations you can solve without any computations

• انواع بسیار اساسی معادلات مثلثاتی، مسئله 1 The very basic types of trigonometric equations, Problem 1

• استفاده از مجموع یا تفاوت هویت برای سینوس و کسینوس، مسئله 2 Using sum or difference identities for sine and cosine, Problem 2

• فاکتورسازی: فرمول های جمع به محصول، مسئله 3 Factorization: Sum-To-Product Formulas, Problem 3

• عامل سازی چند جمله ای ها، مسئله 4 Factorization of polynomials, Problem 4

• با استفاده از فرمول های محصول به جمع، مسئله 5 Using the Product-To-Sum Formulas, Problem 5

• کاهش درجه توابع مثلثاتی، مسئله 6 Reducing the degree of trigonometric functions, Problem 6

• جایگزینی جهانی: مماس نیم آرگومان، مسئله 7 Universal Substitution: tangent of half argument, Problem 7

• معادلات همگن، مسئله 8 Homogenous equations, Problem 8

• ترکیبی از روش های بالا، مسئله 9 Combinations of the methods above, Problem 9

• مشکل 10 A difficult one, Problem 10

• مشکل 11 دیگر Another difficult one, Problem 11

برخی از کاربردهای مثلثات Some applications of trigonometry

• مماس و شیب خطوط مستقیم در سیستم مختصات دوبعدی Tangent and slopes of straight lines in the 2D coordinate system

• نحوه محاسبه زاویه بین دو خط در سیستم مختصات دو بعدی How to compute the angle between two lines in the 2D coordinate system

• قانون کسینوس ها به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث The Law of Cosines as a generalization of Pythagorean Theorem

• فرمول سینوسی برای مساحت مثلث A sine-based formula for the area of a triangle

• قانون سینوس ها The Law of Sines

• فرمول هرون Heron's Formula

• حل مثلث های مایل Solving oblique triangles

• بردارها در صفحه (یا در 3-فضا) و زوایای بین آنها Vectors in the plane (or in the 3-space) and angles between them

• محصول نقطه و طرح ریزی. محصول متقاطع و محصول سه گانه اسکالر The dot product and projection; cross product and scalar triple product

• چرخش ها و ماتریس های آنها Rotations and their matrices

• اعداد مختلط: مستطیل و قطبی Complex numbers: rectangular and polar form

• ضرب اعداد مختلط و مجموع هویت برای سینوس و کسینوس Multiplication of complex numbers and the Sum Identities for the sine and cosine

• فرمول های دو مویور برای گرفتن توان اعداد مختلط De Moivre's formulas for taking powers of complex numbers

• ریشه های وحدت Roots of unity

• حرکت هارمونیک: توصیه های خواندن Harmonic motion: reading recommendations

نگاهی دزدکی به مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال Sneak peek into trigonometry in Calculus

• حد (sin x)/x در صفر و اهمیت آن در حساب دیفرانسیل و انتگرال The limit of (sin x)/x in zero, and its importance in Calculus

• شیب یک خط مستقیم و اهمیت آن برای حساب دیفرانسیل The slope of a straight line and its importance for Differential Calculus

• تمایز سینوس و کسینوس: از کدام فرمول ها استفاده کنید Differentiability of the sine and cosine: which formulas to use

• مشتقات سینوس، کسینوس، مماس، آرکسین و آرکتانژانت؛ برخی از تصاویر The derivatives of sine, cosine, tangent, arcsine and arctangent; some visuals

• مثال های جالبی از توابع مبتنی بر سینوسی Interesting examples of sine-based functions

• چند کلمه در مورد فوریه، اسپیروگراف، فرمول اویلر و هویت اویلر A word about Fourier, spirographs, Euler’s formula, and Euler’s identity

• توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل Trigonometric functions in solutions of differential equations

• مختصات قطبی در هواپیما Polar coordinates in the plane

• مختصات استوانه ای و کروی در 3 فاصله Cylindrical and spherical coordinates in the 3-space

• منحنی های پارامتریک Parametric curves

• فرمول های کاهش توان و ادغام Power Reduction Formulas and integration

• جانشینی های مثلثاتی در انتگرال ها Trigonometric substitutions in integrals

حل مسئله: varia Problem-solving: varia

• نحوه استفاده از این بخش How to use this section

• مشکل 1 Problem 1

• مشکل 2 Problem 2

• مشکل 3 Problem 3

• مشکل 4 Problem 4

• مشکل 5 Problem 5

• مشکل 6 Problem 6

• مسئله 7 Problem 7

• مسئله 8 Problem 8

• مسئله 9 Problem 9

• مسئله 10 Problem 10

• مسئله 11 Problem 11

• مسئله 12 Problem 12

• مسئله 13 Problem 13

• مسئله 14 Problem 14

• مسئله 15 Problem 15

• مسئله 16 Problem 16

• مسئله 17 Problem 17

• مسئله 18 Problem 18

• مسئله 19 Problem 19

• مسئله 20 Problem 20

• مسئله 21 Problem 21

• مسئله 22 Problem 22

• مسئله 23 Problem 23

• مشکل 24: یکی از زیباترین مشکلات، با دو راه حل واقعا جالب Problem 24: one of the nicest problems ever, with two really cool solutions

• مسئله 25: مشکل مورد علاقه من با راه های زیادی برای حل آن Problem 25: my favourite problem with many ways of solving it

• پیش حساب 3، جمع بندی Precalculus 3, Wrap-up

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture