Precalculus 3: Trigonometry
ریاضیات از دبیرستان تا دانشگاه
S1. معرفی دوره
میآموزید: چه چیزی در این دوره در انتظار است و چه چیزی را میخواهید یاد بگیرید.
S2. دوره تصادف در هندسه اقلیدسی
شما یاد خواهید گرفت: هر آنچه که باید در مورد هندسه بدانید تا با مطالب جدید در این دوره احساس راحتی کنید: مفاهیم هندسی مانند خطوط مستقیم، پاره خط مستقیم، زاویه، مثلث (حاد، راست، مبهم)، چند ضلعی ها ، دایره ها (مقاطع، محدود)، قوانین همخوانی برای مثلث ها (SSS، SAS، ASA)، مثلث های مشابه، قضیه تالس، قضیه فیثاغورث، قوانین همخوانی برای مثلث های قائم الزاویه (HA، HL، LL)، اندازه گیری زاویه، اندازه گیری فواصل، محاسبات مساحت مربع ها و مثلث ها، ایزومتریک ها در صفحه (تقارن، چرخش، ترجمه).
S3.14159... عدد باشکوه π
شما خواهید آموخت: در مورد عدد π: معنای آن برای دایره ها و دیسک ها، و برخی از روش های تقریب اولیه (هندسی).
S4. توابع مثلثاتی زوایای حاد: رویکرد هندسی
خواهید آموخت: تعریف هندسی شش تابع مثلثاتی، چرا شش عدد از آنها وجود دارد، و چگونه می توانیم بدانیم که آنها به خوبی به عنوان توابع زاویه (حاد) تعریف شده اند. اولین روابط (بسیار اساسی) بین این توابع.
S5. محاسبه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی
شما یاد خواهید گرفت: چگونه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی را برای زاویه های: 15، 18، 30، 36، 45، 54، 60، 72، 75، و 22.5 با استفاده از روش های هندسی استخراج کنید. همچنین با استفاده از هندسه، برخی از فرمول های مثلثاتی معتبر برای زوایای تند را نیز استخراج خواهیم کرد (اما بعداً، در نیمه دوم دوره، خواهید آموخت که همه آنها فقط برای هر زاویه ای معتبر هستند، بنابراین واقعا ارزش یادگیری دارند) ; سپس از این فرمول ها برای محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی برای برخی زوایا (دانستن مقادیر برای برخی زوایای دیگر) استفاده می شود. ما گام به گام نمودار توابع سینوس و کسینوس را برای زوایای حاد ایجاد خواهیم کرد.
S6. مقدمه ای بر توابع مثلثاتی معکوس و حل مثلث
شما یاد خواهید گرفت: معنی هندسی توابع مثلثاتی معکوس آرکسین، آرکوزین و مماس قوسی) برای زوایای حاد، و نحوه استفاده از آنها در حل مسئله ساده (حل مسائل پیشرفته تر با مثلث ها بعداً در دوره آموزشی ارائه می شود).
>S7. از درجه تا رادیان: چرا و چگونه
شما یاد خواهید گرفت: تعریف رادیان; نحوه محاسبه درجه به رادیان و پشت با استفاده از نسبت. مقادیر رایج ترین زاویه ها بر حسب رادیان؛ زوایای سیستم مختصات دکارتی.
S8. توابع مثلثاتی (دایره ای) هر زاویه: واحد دایره و حرکت دایره ای
شما یاد خواهید گرفت: دو روش برای گسترش توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس (که به صورت هندسی برای زوایای تند در بخش 3 تعریف شده است) به هر زاویه (یا در واقع به هر عدد واقعی):
[1] یک ایستا: cos t = x، sin t = y، که در آن (x,y) مختصات نقطه تقاطع بین دایره واحد و ضلع انتهایی برای زاویه t رادیان هستند، در استاندارد موقعیت (بدیهی است که تابع R - R زیرا هر نقطه دقیقاً یک جفت مختصات دکارتی دارد)،
[2] یک پویا: یک نقطه در امتداد دایره واحد حرکت می کند که از نقطه (1,0) برای t = 0 شروع می شود و در خلاف جهت عقربه های ساعت تا نقطه ای از دایره که طول مسیر از ابتدا است ادامه می یابد. تا این نقطه t است. مختصات این نقطه کسینوس و توابع سینوس را به صورت زیر تعریف می کند: x = cos t و y = sin t (بدیهی است که تابع R - R زیرا هر نقطه دقیقاً یک جفت مختصات دکارتی دارد).
برای ساختن این توابع، محور اعداد را روی دایره واحد قرار میدهیم، که عمل بسیار جالبی است.
S9. ویژگی های اساسی شش تابع مثلثاتی (دایره ای). نمودار
شما یاد خواهید گرفت: تعریف سایر توابع دایره ای (مماس، و سه متقابل) که با کمک سینوس و کسینوس تعریف می شوند. ویژگی های اساسی که بلافاصله از تعاریف و تقارن دایره واحد به دست می آیند: دامنه و محدوده برای همه این توابع، هویت زوایای مرجع، یکنواختی در فواصل، زوج یا فرد بودن، تناوب (مفهوم جدیدی که در پیش حساب 1 معرفی نشده است)، نمودارها روابط اساسی بین این توابع: هویت فیثاغورثی، هویت های توابع. همچنین ریشه شناسی نام های سینوسی، مماس و مقطعی را خواهید آموخت.
S10. هویت های مثلثاتی; تبدیل نمودار
خواهید آموخت: خبر خوب برای کسانی که می ترسیدند وقت خود را در بخش 5 تلف کنند: هر کاری که در آنجا انجام شود دوباره در اینجا استفاده خواهد شد! تنها موضوعی که باید دوباره انجام شود، استخراج هویتهای مجموع برای سینوس و کسینوس است، زیرا مشتقهای انجامشده در بخش 5 هندسی و محدود به زوایای تند بودند. تمام فرمولهای دیگر (فرمولهای زاویه دوتایی، فرمولهای کاهش توان، فرمولهای نیمزاویه، فرمولهای نیمزاویه مماس، و فرمولهای زاویه سهگانه) با دستکاری فرمول ثابت شدند، بنابراین در وضعیت جدید نیز معتبر هستند. دو گروه جدید از فرمول ها (جمع به محصول و فرمول محصول به جمع). Sum Identities برای تبدیل گراف استفاده خواهد شد که در این بخش نیز مورد بحث قرار خواهد گرفت. اصطلاحات مربوط به سینوسی ها (دوره، فاز، دامنه) معرفی خواهد شد.
S11. توابع مثلثاتی معکوس، خواص آنها و نمودارها
شما خواهید آموخت: در مورد توابع مثلثاتی معکوس آرکسین، آرکوزین و تانژانت (معکوس متقابل آنها را می توان از کتاب پیش حساب مطالعه کرد: صفحات 824-833؛ در دوره ما به این موضوع پرداخته نشده است)، خواص آنها، نمودارها ، و چند ترکیب جالب با توابع مثلثاتی (دایره ای).
S12. هویت های بیشتر
میآموزید: چگونه هویتهای مثلثاتی را اثبات کنید.
S13. معادلات مثلثاتی
شما یاد خواهید گرفت: چگونه برخی از انواع اصلی معادلات مثلثاتی را حل کنید، چگونه یک سری راه حل بنویسید، و چگونه هر دو معادله و مجموعه حل آنها را به صورت گرافیکی تفسیر کنید. انواع معادلات زیر (یا: روش های حل معادلات) مورد بحث قرار می گیرند:
[a] انواع بسیار اساسی معادلات مثلثاتی: sin x = a، cos x = a، tan x = a،
[b] با استفاده از مجموع یا تفاوت هویت برای سینوس و کسینوس،
[c] فاکتورسازی: فرمولهای جمع به محصول،
[d] فاکتورسازی چندجملهای،
[e] با استفاده از فرمولهای Product-To-Sum,
[f] کاهش درجه توابع مثلثاتی،
روش حل[g] با جایگزینی جهانی: مماس نیم آرگومان،
[h] معادلات همگن،
[i] ترکیبی از روشهای بالا.
S14. برخی از کاربردهای مثلثات
خواهید آموخت: گنجاندن برنامه های کاربردی این دوره را دو برابر بزرگتر می کند، بنابراین من فقط روی رایج ترین برنامه ها تمرکز می کنم. سخنرانیها مانند سخنرانیهای بخشهای قبل از جزئیات برخوردار نیستند، اما تا به حال احتمالاً میتوانید فصل 11 کتاب پیشحساب را به تنهایی بخوانید و درک کنید، بنابراین این کار را انجام دهید و در صورت نیاز از من سؤال بپرسید. من در این بخش به موضوعات زیر می پردازم:
[a] شیب خطوط مستقیم در سیستم مختصات،
[b] قانون کسینوس به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث،
[c] فرمولی مبتنی بر سینوسی برای مساحت مثلث،
[d] قانون سینوس،
[e] فرمول هرون. حل مثلث های مایل،
[f] بردارها در صفحه (یا در فضای 3) و زوایای بین آنها،
چرخشهای[g] و ماتریسهای آنها،
[h] اعداد مختلط: مستطیل و قطبی،
[i] ضرب اعداد مختلط و توضیح چگونگی تعیین هندسه آن توسط مجموع هویت برای سینوس و کسینوس،
فرمول[j] de Moivre برای گرفتن توان اعداد مختلط،
[k] ریشه های وحدت.
S15. نگاهی دزدکی به مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال
شما یاد خواهید گرفت: این بخش به شما چند اشاره به کاربردهای مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال می دهد. هدف این نیست که این مطالب را به شما آموزش دهیم، بلکه به شما ایده بدهم که چگونه مهارت های به دست آمده در این دوره به شما در کلاس حسابان آینده کمک می کند. موضوعات ذکر شده در اینجا عبارتند از:
[a] حد (sin x)/x در صفر، و اهمیت آن در حساب دیفرانسیل و انتگرال،
[b] شیب یک خط مستقیم و اهمیت آن برای حساب دیفرانسیل،
[c] تمایزپذیری سینوس و کسینوس: از کدام فرمولها استفاده کنید،
[d] مشتقات (با مثالهایی از سینوس، کسینوس، مماس، آرکسین و تانژانت) و نقش آنها در یافتن اکسترومها و تعیین فواصل یکنواختی،
[e] کلاس توابع (C^0، C^1، C^2، …) و چند مثال مثلثاتی سرگرم کننده،
[f] یک کلمه در مورد فوریه و اسپیروگراف، فرمول اویلر، و هویت اویلر،
[g] توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل،
[h] مختصات قطبی در صفحه،
[i] مختصات استوانه ای و کروی،
[j] منحنی های پارامتریک،
[k] فرمولهای کاهش توان و یکپارچهسازی،
[l] جانشینی های مثلثاتی در انتگرال.
S16. حل مسئله: varia
شما یاد خواهید گرفت: این بخش به شما Smörgåsbord از مسائل را برای حل می دهد. سطح دشواری متفاوت است، و از آنجایی که مشکلات به بخشهای خاصی مرتبط نیستند، باید خودتان تصمیم بگیرید که چه روشی را انتخاب کنید. به طور کلی مسائل و تمرین های قسمت های قبل در سطح پایه بود (به استثنای برخی موارد جزئی) و مشکلات این بخش تا حدودی سخت تر است. در ابتدا، من قصد داشتم به هر مسئله نشان های Basic، Medium یا Hard اختصاص دهم، اما بعد فکر کردم: «هر مشکلی که نمی توانید حل کنید، سخت است. هر مشکلی که می توانید حل کنید (برای شما) ساده است.» بنابراین من نظرم را تغییر دادم و مشکلات فقط بدون هیچ برچسبی به شما ارائه می شود.
S17. موارد اضافی
درباره همه دورههایی که ارائه میدهیم و کجا میتوان کوپنهای تخفیف را پیدا کرد، خواهید آموخت. همچنین نگاهی اجمالی به برنامههای ما برای دورههای آینده، با تاریخهای انتشار تقریبی (بسیار فرضی!) خواهید داشت.
مطمئن شوید که با استاد خود بررسی کرده اید که چه بخش هایی از دوره برای امتحان نهایی خود نیاز دارید. چنین مواردی از کشوری به کشور دیگر، از دانشگاهی به دانشگاه دیگر متفاوت است، و حتی ممکن است از سالی به سال دیگر در همان دانشگاه متفاوت باشد.
شرح مفصلی از محتوای دوره به همراه تمامی 208 ویدیو و عناوین آنها و با متن تمامی 215 مشکل حل شده در این دوره در فایل منبع ارائه شده است
"001 List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_3.pdf"
در ویدیوی 1 ("مقدمه ای بر دوره"). این محتوا در ویدیوی 1 نیز ارائه شده است.
یودمی یکی از بزرگترین پلتفرمهای آموزشی آنلاین است که به میلیونها کاربر در سراسر جهان امکان دسترسی به دورههای متنوع و کاربردی را فراهم میکند. این پلتفرم امکان آموزش در زمینههای مختلف از فناوری اطلاعات و برنامهنویسی گرفته تا زبانهای خارجی، مدیریت، و هنر را به کاربران ارائه میدهد. با استفاده از یودمی، کاربران میتوانند به صورت انعطافپذیر و بهینه، مهارتهای جدیدی را یاد بگیرند و خود را برای بازار کار آماده کنند.
یکی از ویژگیهای برجسته یودمی، کیفیت بالای دورهها و حضور استادان مجرب و با تجربه در هر حوزه است. این امر به کاربران اعتماد میدهد که در حال دریافت آموزش از منابع قابل اعتماد و معتبر هستند و میتوانند به بهترین شکل ممکن از آموزشها بهره ببرند. به طور خلاصه، یودمی به عنوان یکی از معتبرترین و موثرترین پلتفرمهای آموزشی آنلاین، به افراد امکان میدهد تا به راحتی و با کیفیت، مهارتهای مورد نیاز خود را ارتقا دهند و به دنبال رشد و پیشرفت شغلی خود باشند.
Hania Uscka-Wehlou
معلم دانشگاه در ریاضیات، PhDI یک ریاضیدان چند زبانه با اشتیاق به آموزش ریاضیات است. من همیشه سعی میکنم سادهترین توضیحات ممکن را برای مفاهیم و نظریههای ریاضی، تا حد امکان، با تصاویر و با انگیزههای هندسی پیدا کنم. من به عنوان مدرس ارشد ریاضیات در دانشگاه اوپسالا (از آگوست 2017 تا آگوست 2019) و در دانشگاه Mälardalen (از آگوست 2019 تا مه 2021) در سوئد کار کردم، اما به کار دائم خود پایان دادم تا بتوانم دوره هایی را برای Udemy ایجاد کنم. زمان. من اصالتاً اهل لهستان هستم که در آنجا ریاضیات نظری خواندم و مدارک آموزشی را در دانشگاه کوپرنیک در تورون (1992-1997) دریافت کردم. قبل از آن، من در یک کلاس ریاضی در دبیرستان "لیسه چهارم" در تورون از یک آموزش ریاضی بسیار دقیق لذت بردم، که زمینه بسیار محکمی برای هر چیز دیگری که بعدا آموختم و تدریس کردم به من داد. پایان نامه دکتری من (2009) در دانشگاه اوپسالا در سوئد با عنوان "خطوط دیجیتال، کلمات استورمیان و کسرهای ادامه دار" بود.
نمایش نظرات