آموزش پیش حساب 3: مثلثات

Precalculus 3: Trigonometry

نکته: آخرین آپدیت رو دریافت میکنید حتی اگر این محتوا بروز نباشد.
نمونه ویدیوها:
توضیحات دوره: ریاضیات از دبیرستان تا دانشگاه نحوه حل مسائل در مثلثات (نشان داده شده با 215 مسئله حل شده)، در هر دو زمینه هندسی و عملکردی، و چرایی کارکرد این روش ها. شما یک دوره تصادف در هندسه اقلیدسی دریافت می کنید: زوایا، مثلث ها، چند ضلعی ها، مثلث های مشابه (نسبت ها)، دایره های محاطی و محصور، نیمسازها و غیره. عدد پی: تعریف آن به عنوان نسبت محیط به قطر دیسک، رابطه با مساحت یک دیسک، برخی از تقریب های هندسی. تعاریف هندسی (بر اساس نسبت ها در مثلث های قائم الزاویه) از سه تابع مثلثاتی (sin، cos، tan) و متقابل آنها (سکانت، هم‌زمان، هم‌تانژانت). مقادیر دقیق توابع مثلثاتی برای زوایای 15، 18، 30، 36، 45، 60، 72، 75 و 22.5 درجه: مشتقات هندسی و با کمک فرمول. حل مثلث ها (یافتن طول ضلع ها و اندازه های همه زوایا با دانستن برخی از آنها) راست و مایل با کمک مثلثات. درجه در مقابل رادیان: نحوه استفاده از نسبت ها برای محاسبه مجدد درجه به رادیان و برگشت. زوایای مرجع تعریف عملکردی سینوس، کسینوس و مماس، با کمک دایره واحد و حرکت دایره ای. ویژگی های این توابع تعریف توابع مثلثاتی (دایره ای) (sin، cos، tan) برای *هر* عدد واقعی با استفاده از دایره واحد در سیستم مختصات. قضیه زوایای مرجع با اثبات (با تصویر هندسی) و کاربردها. هویت های تکمیلی و ویژگی های زاویه مکمل توابع دوره ای سینوسی ها: دوره، دامنه، تغییر فاز، تغییر عمودی. تبدیل نمودارهای توابع مثلثاتی. قضیه فیثاغورث و سه گانه فیثاغورث. قانون کسینوس ها، قانون سینوس ها: فرمول بندی، اثبات ها و کاربردها در حل مسئله. هویت های مثلثاتی مختلف با برهان ها، تصاویر هندسی و کاربردهایی برای حل مسئله. هویت های فیثاغورثی؛ هویت های متقابل؛ ضریب هویت; هویت های زوج/فرد. مجموع و تفاوت هویت برای سینوس و کسینوس با اثبات، تصاویر هندسی، و کاربردها. فرمول Sum To Product و Product To Sum برای سینوس و کسینوس، با مشتقات و کاربردها. زوایای دوگانه (نیمه) هویت با تصاویر هندسی، اثبات ها و کاربردها در حل مسئله. توابع معکوس به سینوس، کسینوس و مماس، تعاریف، خواص و نمودارهای آنها. ترکیبات توابع مثلثاتی با توابع مثلثاتی معکوس. هویت هایی که شامل توابع مثلثاتی معکوس هستند. اعداد مختلط و شکل مثلثاتی (قطبی) آنها. پیامدهای مجموع هویت برای گناه و cos برای ضرب اعداد مختلط به شکل قطبی. فرمول De Moivre (قدرت های طبیعی مثبت اعداد مختلط) و کاربرد آن در بازآفرینی سریع فرمول های سینوس و کسینوس مضرب زاویه. معادلات مثلثاتی: انواع مختلف و روش های مربوط به حل. مجموعه راه حل ها را روی نمودارها و دایره واحد به تصویر می کشد. در یک کلاس حساب دیفرانسیل و انتگرال (چگونه از برخی فرمول های مثلثاتی در آنجا استفاده می شود) نگاهی گذرا به مثلثات می اندازید. شما تعداد زیادی از تصاویر هندسی را دریافت می کنید که از شهود و درک شما از مثلثات پشتیبانی می کند. پیش نیازها:ریاضیات دبیرستانی عمدتاً حسابی; حل معادلات ساده (خطی و درجه دوم) با یک مجهول. برخی از معادلات چند جمله ای (اما بسیار اندک) در طول دوره حل می شوند، اما اگر بخواهید می توانید از آنها صرف نظر کنید (اصلاً مشکلی وجود ندارد؛ این بر درک شما از مثلثات تأثیری نخواهد گذاشت) پیش حساب 1: مفاهیم اساسی (عمدتاً مفهوم تابع). و مفاهیم مرتبط؛ مجموعه‌ها؛ منطق) در این درس با *اعداد مختلط* آشنا می‌شوید، فقط برای ارائه یکی از کاربردهای مثلثات، و برای مثالی زیبا از فرمول‌های سینوس و کسینوس یک مجموع. هندسه پایه (زاویه، مثلث، چند ضلعی)؛ یک دوره تصادفی (6 ساعته) در بخش 2 این دوره ارائه شده است (اگر احساس می کنید به مبانی هندسه تسلط دارید می توانید از آن صرف نظر کنید) همیشه از سوالات خود استقبال می کنید. اگر چیزی در سخنرانی ها نامشخص است، لطفاً بپرسید. بهتر است از QA استفاده کنید تا سایر دانشجویان بتوانند توضیحات تکمیلی من را در مورد موضوعات نامشخص ببینند. به یاد داشته باشید: شما هرگز با تردیدهای خود تنها نیستید و اگر سوالات خود را در انجمن بپرسید به نفع همه است.

Precalculus 3: Trigonometry

ریاضیات از دبیرستان تا دانشگاه


S1. معرفی دوره

می‌آموزید: چه چیزی در این دوره در انتظار است و چه چیزی را می‌خواهید یاد بگیرید.


S2. دوره تصادف در هندسه اقلیدسی

شما یاد خواهید گرفت: هر آنچه که باید در مورد هندسه بدانید تا با مطالب جدید در این دوره احساس راحتی کنید: مفاهیم هندسی مانند خطوط مستقیم، پاره خط مستقیم، زاویه، مثلث (حاد، راست، مبهم)، چند ضلعی ها ، دایره ها (مقاطع، محدود)، قوانین همخوانی برای مثلث ها (SSS، SAS، ASA)، مثلث های مشابه، قضیه تالس، قضیه فیثاغورث، قوانین همخوانی برای مثلث های قائم الزاویه (HA، HL، LL)، اندازه گیری زاویه، اندازه گیری فواصل، محاسبات مساحت مربع ها و مثلث ها، ایزومتریک ها در صفحه (تقارن، چرخش، ترجمه).


S3.14159... عدد باشکوه π

شما خواهید آموخت: در مورد عدد π: معنای آن برای دایره ها و دیسک ها، و برخی از روش های تقریب اولیه (هندسی).


S4. توابع مثلثاتی زوایای حاد: رویکرد هندسی

خواهید آموخت: تعریف هندسی شش تابع مثلثاتی، چرا شش عدد از آنها وجود دارد، و چگونه می توانیم بدانیم که آنها به خوبی به عنوان توابع زاویه (حاد) تعریف شده اند. اولین روابط (بسیار اساسی) بین این توابع.


S5. محاسبه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی

شما یاد خواهید گرفت: چگونه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی را برای زاویه های: 15، 18، 30، 36، 45، 54، 60، 72، 75، و 22.5 با استفاده از روش های هندسی استخراج کنید. همچنین با استفاده از هندسه، برخی از فرمول های مثلثاتی معتبر برای زوایای تند را نیز استخراج خواهیم کرد (اما بعداً، در نیمه دوم دوره، خواهید آموخت که همه آنها فقط برای هر زاویه ای معتبر هستند، بنابراین واقعا ارزش یادگیری دارند) ; سپس از این فرمول ها برای محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی برای برخی زوایا (دانستن مقادیر برای برخی زوایای دیگر) استفاده می شود. ما گام به گام نمودار توابع سینوس و کسینوس را برای زوایای حاد ایجاد خواهیم کرد.


S6. مقدمه ای بر توابع مثلثاتی معکوس و حل مثلث

شما یاد خواهید گرفت: معنی هندسی توابع مثلثاتی معکوس آرکسین، آرکوزین و مماس قوسی) برای زوایای حاد، و نحوه استفاده از آنها در حل مسئله ساده (حل مسائل پیشرفته تر با مثلث ها بعداً در دوره آموزشی ارائه می شود).

>


S7. از درجه تا رادیان: چرا و چگونه

شما یاد خواهید گرفت: تعریف رادیان; نحوه محاسبه درجه به رادیان و پشت با استفاده از نسبت. مقادیر رایج ترین زاویه ها بر حسب رادیان؛ زوایای سیستم مختصات دکارتی.


S8. توابع مثلثاتی (دایره ای) هر زاویه: واحد دایره و حرکت دایره ای

شما یاد خواهید گرفت: دو روش برای گسترش توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس (که به صورت هندسی برای زوایای تند در بخش 3 تعریف شده است) به هر زاویه (یا در واقع به هر عدد واقعی):


[1] یک ایستا: cos t = x، sin t = y، که در آن (x,y) مختصات نقطه تقاطع بین دایره واحد و ضلع انتهایی برای زاویه t رادیان هستند، در استاندارد موقعیت (بدیهی است که تابع R - R زیرا هر نقطه دقیقاً یک جفت مختصات دکارتی دارد)،


[2] یک پویا: یک نقطه در امتداد دایره واحد حرکت می کند که از نقطه (1,0) برای t = 0 شروع می شود و در خلاف جهت عقربه های ساعت تا نقطه ای از دایره که طول مسیر از ابتدا است ادامه می یابد. تا این نقطه t است. مختصات این نقطه کسینوس و توابع سینوس را به صورت زیر تعریف می کند: x = cos t و y = sin t (بدیهی است که تابع R - R زیرا هر نقطه دقیقاً یک جفت مختصات دکارتی دارد).


برای ساختن این توابع، محور اعداد را روی دایره واحد قرار می‌دهیم، که عمل بسیار جالبی است.


S9. ویژگی های اساسی شش تابع مثلثاتی (دایره ای). نمودار

شما یاد خواهید گرفت: تعریف سایر توابع دایره ای (مماس، و سه متقابل) که با کمک سینوس و کسینوس تعریف می شوند. ویژگی های اساسی که بلافاصله از تعاریف و تقارن دایره واحد به دست می آیند: دامنه و محدوده برای همه این توابع، هویت زوایای مرجع، یکنواختی در فواصل، زوج یا فرد بودن، تناوب (مفهوم جدیدی که در پیش حساب 1 معرفی نشده است)، نمودارها روابط اساسی بین این توابع: هویت فیثاغورثی، هویت های توابع. همچنین ریشه شناسی نام های سینوسی، مماس و مقطعی را خواهید آموخت.


S10. هویت های مثلثاتی; تبدیل نمودار

خواهید آموخت: خبر خوب برای کسانی که می ترسیدند وقت خود را در بخش 5 تلف کنند: هر کاری که در آنجا انجام شود دوباره در اینجا استفاده خواهد شد! تنها موضوعی که باید دوباره انجام شود، استخراج هویت‌های مجموع برای سینوس و کسینوس است، زیرا مشتق‌های انجام‌شده در بخش 5 هندسی و محدود به زوایای تند بودند. تمام فرمول‌های دیگر (فرمول‌های زاویه دوتایی، فرمول‌های کاهش توان، فرمول‌های نیم‌زاویه، فرمول‌های نیم‌زاویه مماس، و فرمول‌های زاویه سه‌گانه) با دستکاری فرمول ثابت شدند، بنابراین در وضعیت جدید نیز معتبر هستند. دو گروه جدید از فرمول ها (جمع به محصول و فرمول محصول به جمع). Sum Identities برای تبدیل گراف استفاده خواهد شد که در این بخش نیز مورد بحث قرار خواهد گرفت. اصطلاحات مربوط به سینوسی ها (دوره، فاز، دامنه) معرفی خواهد شد.


S11. توابع مثلثاتی معکوس، خواص آنها و نمودارها

شما خواهید آموخت: در مورد توابع مثلثاتی معکوس آرکسین، آرکوزین و تانژانت (معکوس متقابل آنها را می توان از کتاب پیش حساب مطالعه کرد: صفحات 824-833؛ در دوره ما به این موضوع پرداخته نشده است)، خواص آنها، نمودارها ، و چند ترکیب جالب با توابع مثلثاتی (دایره ای).


S12. هویت های بیشتر

می‌آموزید: چگونه هویت‌های مثلثاتی را اثبات کنید.


S13. معادلات مثلثاتی

شما یاد خواهید گرفت: چگونه برخی از انواع اصلی معادلات مثلثاتی را حل کنید، چگونه یک سری راه حل بنویسید، و چگونه هر دو معادله و مجموعه حل آنها را به صورت گرافیکی تفسیر کنید. انواع معادلات زیر (یا: روش های حل معادلات) مورد بحث قرار می گیرند:


[a] انواع بسیار اساسی معادلات مثلثاتی: sin x = a، cos x = a، tan x = a،

[b] با استفاده از مجموع یا تفاوت هویت برای سینوس و کسینوس،

[c] فاکتورسازی: فرمول‌های جمع به محصول،

[d] فاکتورسازی چندجمله‌ای،

[e] با استفاده از فرمول‌های Product-To-Sum,

[f] کاهش درجه توابع مثلثاتی،

روش حل

[g] با جایگزینی جهانی: مماس نیم آرگومان،

[h] معادلات همگن،

[i] ترکیبی از روش‌های بالا.


S14. برخی از کاربردهای مثلثات

خواهید آموخت: گنجاندن برنامه های کاربردی این دوره را دو برابر بزرگتر می کند، بنابراین من فقط روی رایج ترین برنامه ها تمرکز می کنم. سخنرانی‌ها مانند سخنرانی‌های بخش‌های قبل از جزئیات برخوردار نیستند، اما تا به حال احتمالاً می‌توانید فصل 11 کتاب پیش‌حساب را به تنهایی بخوانید و درک کنید، بنابراین این کار را انجام دهید و در صورت نیاز از من سؤال بپرسید. من در این بخش به موضوعات زیر می پردازم:


[a] شیب خطوط مستقیم در سیستم مختصات،

[b] قانون کسینوس به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث،

[c] فرمولی مبتنی بر سینوسی برای مساحت مثلث،

[d] قانون سینوس،

[e] فرمول هرون. حل مثلث های مایل،

[f] بردارها در صفحه (یا در فضای 3) و زوایای بین آنها،

چرخش‌های

[g] و ماتریس‌های آنها،

[h] اعداد مختلط: مستطیل و قطبی،

[i] ضرب اعداد مختلط و توضیح چگونگی تعیین هندسه آن توسط مجموع هویت برای سینوس و کسینوس،

فرمول

[j] de Moivre برای گرفتن توان اعداد مختلط،

[k] ریشه های وحدت.


S15. نگاهی دزدکی به مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال

شما یاد خواهید گرفت: این بخش به شما چند اشاره به کاربردهای مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال می دهد. هدف این نیست که این مطالب را به شما آموزش دهیم، بلکه به شما ایده بدهم که چگونه مهارت های به دست آمده در این دوره به شما در کلاس حسابان آینده کمک می کند. موضوعات ذکر شده در اینجا عبارتند از:


[a] حد (sin x)/x در صفر، و اهمیت آن در حساب دیفرانسیل و انتگرال،

[b] شیب یک خط مستقیم و اهمیت آن برای حساب دیفرانسیل،

[c] تمایزپذیری سینوس و کسینوس: از کدام فرمول‌ها استفاده کنید،

[d] مشتقات (با مثال‌هایی از سینوس، کسینوس، مماس، آرکسین و تانژانت) و نقش آنها در یافتن اکستروم‌ها و تعیین فواصل یکنواختی،

[e] کلاس توابع (C^0، C^1، C^2، …) و چند مثال مثلثاتی سرگرم کننده،

[f] یک کلمه در مورد فوریه و اسپیروگراف، فرمول اویلر، و هویت اویلر،

[g] توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل،

[h] مختصات قطبی در صفحه،

[i] مختصات استوانه ای و کروی،

[j] منحنی های پارامتریک،

[k] فرمول‌های کاهش توان و یکپارچه‌سازی،

[l] جانشینی های مثلثاتی در انتگرال.


S16. حل مسئله: varia

شما یاد خواهید گرفت: این بخش به شما Smörgåsbord از مسائل را برای حل می دهد. سطح دشواری متفاوت است، و از آنجایی که مشکلات به بخش‌های خاصی مرتبط نیستند، باید خودتان تصمیم بگیرید که چه روشی را انتخاب کنید. به طور کلی مسائل و تمرین های قسمت های قبل در سطح پایه بود (به استثنای برخی موارد جزئی) و مشکلات این بخش تا حدودی سخت تر است. در ابتدا، من قصد داشتم به هر مسئله نشان های Basic، Medium یا Hard اختصاص دهم، اما بعد فکر کردم: «هر مشکلی که نمی توانید حل کنید، سخت است. هر مشکلی که می توانید حل کنید (برای شما) ساده است.» بنابراین من نظرم را تغییر دادم و مشکلات فقط بدون هیچ برچسبی به شما ارائه می شود.


S17. موارد اضافی

درباره همه دوره‌هایی که ارائه می‌دهیم و کجا می‌توان کوپن‌های تخفیف را پیدا کرد، خواهید آموخت. همچنین نگاهی اجمالی به برنامه‌های ما برای دوره‌های آینده، با تاریخ‌های انتشار تقریبی (بسیار فرضی!) خواهید داشت.


مطمئن شوید که با استاد خود بررسی کرده اید که چه بخش هایی از دوره برای امتحان نهایی خود نیاز دارید. چنین مواردی از کشوری به کشور دیگر، از دانشگاهی به دانشگاه دیگر متفاوت است، و حتی ممکن است از سالی به سال دیگر در همان دانشگاه متفاوت باشد.


شرح مفصلی از محتوای دوره به همراه تمامی 208 ویدیو و عناوین آنها و با متن تمامی 215 مشکل حل شده در این دوره در فایل منبع ارائه شده است

"001 List_of_all_Videos_and_Problems_Precalculus_3.pdf"

در ویدیوی 1 ("مقدمه ای بر دوره"). این محتوا در ویدیوی 1 نیز ارائه شده است.


سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

  • معرفی دوره Introduction to the course

  • مثلثات چیست؟ What is trigonometry?

  • جایگاه مثلثات در ریاضیات و علوم Place of trigonometry in mathematics and sciences

  • هشدار: معکوس در مقابل متقابل Warning: inverse versus reciprocal

  • یک، سه، شش، نه، دوازده تابع One, three, six, nine, twelve functions

  • روش های مختلف برای تعریف تابع سینوس؛ مثلثاتی در مقابل دایره ای Various ways of defining the sine function; trigonometric vs circular

  • چه چیزی را می خواهید یاد بگیرید و چرا What you are going to learn and why

  • نسبت ها و نقش تعیین کننده آنها در این دوره Proportions and their crucial role in this course

دوره تصادف در هندسه اقلیدسی Crash course in Euclidean geometry

  • نحوه استفاده از این بخش How to use this section

  • هندسه اقلیدسی: مفاهیم اولیه، بدیهیات، تعاریف و قضایا Euclidean geometry: Primitive notions, axioms, definitions, and theorems

  • زوایا: تعریف، نشانه گذاری معمول، اندازه گیری ها، انواع زوایا Angles: definition, usual notation, measures, kinds of angles

  • اصطلاحات مربوط به زاویه Angle-related terminology

  • مثلث ها: تعریف و نماد معمولی. مثلث های متجانس SSS، SAS، ASA Triangles: definition and usual notation; congruent triangles SSS, SAS, ASA

  • اختیاری: فاصله اقلیدسی و نابرابری مثلث Optional: Euclidean distance and triangle inequality

  • فرض پنجم و زوایای متناوب. متوازی الاضلاع Fifth postulate and alternate angles; parallelograms

  • مجموع زوایای یک مثلث و برخی پیامدها The sum of angles in a triangle, and some consequences

  • مفهوم منطقه؛ مساحت یک مستطیل The concept of area; area of a rectangle

  • مساحت یک مثلث؛ ارتفاع (ارتفاع) Area of a triangle; the height (altitude)

  • ایزومتریک: تقارن خط و نقطه، چرخش، ترجمه Isometries: line and point symmetries, rotations, translations

  • قضیه تالس و مثلث های مشابه Thales’ theorem and similar triangles

  • مثلث قائم الزاویه و قضایای فیثاغورث Right triangles and Pythagorean theorems

  • حقایق مهم در مورد مثلث متساوی الاضلاع و متساوی الساقین Important facts about equilateral and isosceles triangles

  • بازگشت به فاصله اقلیدسی: نحوه محاسبه آن در سیستم مختصات Back to Euclidean distance: how to compute it in the coordinate system

  • دایره ها: یک تعریف هندسی و معادله در سیستم مختصات Circles: a geometrical definition and equation in the coordinate system

  • زوایای محاطی و مرکزی Inscribed and central angles

  • دایره های محصور و محاط برای مثلث. نیمسازها Circumscribed and inscribed circles for triangles; bisectors

  • چه زمانی می‌توان دایره‌ای را به دور/در چهارضلعی دور/در نوشت؟ When is it possible to circum-/in-scribe a circle around/in a quadrilateral?

  • مجموع زوایای یک چند ضلعی؛ زاویه داخلی در یک چند ضلعی منظم The sum of angles in a polygon; the interior angle in a regular polygon

عدد باشکوه π The magnificent number π

  • طول و مساحت: همیشه آسان نیست Length and area: not always easy

  • یک تقریب خیلی زود A very early approximation

  • ارشمیدس و تقریب های محیطی چند ضلعی های منظم Archimedes and approximations by perimeters of regular polygons

  • در مورد مساحت یک دیسک چطور؟ یک پاسخ شهودی What about the area of a disk? An intuitive answer

  • در مورد مساحت یک دیسک چطور؟ پاسخ هاردکور (Eudoxus) What about the area of a disk? A hardcore answer (Eudoxus)

توابع مثلثاتی زوایای حاد: رویکرد هندسی Trigonometric functions of acute angles: the geometric approach

  • هندسه این بخش را از کجا می توان پیدا کرد Where to find geometry for this section

  • شش نسبت ممکن و چرا توابع را توصیف می کنند. هویت های تابعی Six possible ratios and why they describe functions; Cofunction Identities

  • شش تابع مثلثاتی، تمرین 1 Six trigonometric functions, Exercise 1

  • شش تابع مثلثاتی، تمرین 2 Six trigonometric functions, Exercise 2

  • چند مثلث خاص، تمرین 3 Some special triangles, Exercise 3

  • یک نیمه مربع: مثلث های 45-45-90، تمرین 4 One half of a square: the 45-45-90 triangles, Exercise 4

  • هویت های فیثاغورثی، تمرین 5 The Pythagorean Identities, Exercise 5

  • شروع رسم تابع سینوس Starting plotting the sine function

  • برای بدست آوردن کسینوس کافی است سینوس را رسم کنید It is enough to plot the sine in order to get the cosine

  • نکاتی در مورد تابع مماس Some remarks about the tangent function

محاسبه مقادیر دقیق توابع مثلثاتی Computing exact values of trigonometric functions

  • مرحله 0: آنچه قبلاً در مورد منحنی سینوس می دانیم (0، 45، 90) Stage 0: what we already know about the sine curve (0, 45, 90)

  • مثلث متساوی الاضلاع و مثلث های 30-60-90، مسئله 1 Equilateral triangle and the 30-60-90 triangles, Problem 1

  • استخراج هویت مجموع برای سینوس، با استفاده از هندسه. روش 1 Derivation of the sum identity for sine, using geometry; Method 1

  • استخراج مجموع هویت های سینوس و کسینوس با استفاده از روش 2 Derivation of the sum identities for sine and cosine, using method 2

  • نتیجه گیری: فرمول های دو زاویه و فرمول های کاهش توان Conclusion: Double Angle Formulas and Power Reduction Formulas

  • فرمول های نیم زاویه، مسئله 2 Half Angle Formulas, Problem 2

  • کاربردهای مجموع هویت ها، مسئله 3 Applications of the sum identities, Problem 3

  • روش هندسی محاسبه سینوس و کسینوس 18 و 72 درجه، مسئله 4 A geometric way of computing sine and cosine of 18 and 72 degrees, Problem 4

  • روش هندسی محاسبه سینوس و کسینوس 54 و 36 درجه، مسئله 5 A geometric way of computing sine and cosine of 54 and 36 degrees, Problem 5

  • سینوس و کسینوس زوایای سه گانه، مسئله 6 Sine and cosine of triple angles, Problem 6

  • محاسبه سینوس 18 درجه با استفاده از فرمول زوایای دوتایی و سه گانه Computing sine of 18 degrees using the formulas for double and triple angles

  • مماس 22.5 درجه با هندسه ظریف، مسئله 8 Tangent of 22.5 degrees by elegant geometry, Problem 8

  • فرمول های سینوس و کسینوس 22.5 درجه در نیم زاویه، مسئله 9 Sine and cosine of 22.5 degrees by half angle formulas, Problem 9

  • یک ترفند جالب برای محاسبه سینوس و کسینوس نیم زاویه، مسئله 10 A cool trick for computing sine and cosine of half of an angle, Problem 10

  • یک بار دیگر همان ترفند، مسئله 11 Same trick one more time, Problem 11

  • نماهای مختلف سینوس و کسینوس 15 درجه، مسئله 12 Different looks of sine and cosine of 15 degrees, Problem 12

  • هویتی برای اثبات، مسئله 13 An identity to prove, Problem 13

  • فرمول های نیم زاویه مماس، مسئله 14 Tangent half-angle formulas, Problem 14

  • آزمایش با فرمول های دو زاویه، مسئله 15 Experimenting with double angle formulas, Problem 15

  • خلاصه بخش 5 Summary Section 5

مقدمه ای بر توابع مثلثاتی معکوس و حل مثلث An introduction to inverse trigonometric functions and to solving triangles

  • توابع مثلثاتی معکوس: آرکسین، آرکوزین، تانژانت Inverse trigonometric functions: arcsine, arccosine, arctangent

  • حل مثلث یعنی چه؟ What does it mean to solve a triangle?

  • حل مثلث قائم الزاویه با تقریب یا بدون تقریب Solving right triangles, with or without approximations

  • حل مسئله (ابتدایی) بیشتر More (elementary) problem solving

  • یک مشکل سخت A difficult problem

از درجات تا رادیان: چرا و چگونه From degrees to radians: why and how

  • چرا ما به روش جدیدی برای اندازه گیری زاویه نیاز داریم؟ Why we need a new way of measuring angles

  • رادیان چیست و چگونه با آن کار کنیم What is radian and how to work with it

  • زوایای به خاطر سپردن بر حسب رادیان و نحوه انجام آن The angles in radians to remember, and how to do it

  • تبدیل درجه به رادیان (و پشت)، تمرینات Degree to radian (and back) conversion, exercises

  • زوایای سیستم مختصات: برخی اصطلاحات (ادامه بعد از V11) Angles in the coordinate system: some terminology (continuation after V11)

توابع مثلثاتی/دایره ای هر زاویه: واحد دایره و حرکت دایره ای Trigonometric/circular functions of any angle: the unit circle & circular motion

  • چیزی که تا الان داریم What we have by now

  • آنچه می خواهیم داشته باشیم What we want to have

  • پیچیدن محور عددی (محور t) به دور دایره واحد Wrapping the number axis (the t-axis) around the unit circle

  • تعریف توابع دایره ای سینوس و کسینوس رویکرد 1 Definition of circular functions sine and cosine, approach 1

  • تعریف توابع دایره ای سینوس و کسینوس، رویکرد 2 Definition of circular functions sine and cosine, approach 2

ویژگی های اساسی شش تابع مثلثاتی (دایره ای). نمودارسازی Basic properties of six trigonometric (circular) functions; graphing

  • از سینوس و کسینوس به عنوان توابع یک متغیر واقعی تا 6 تابع دایره ای From sine and cosine as functions of one real variable to 6 circular functions

  • نشانه های توابع دایره ای در ربع های مختلف، تمرین 1 The signs of the circular functions in different quadrants, Exercise 1

  • زوایای مرجع و کاربرد فوق العاده آنها Reference angles and their wonderful applicability

  • مقادیر دقیق سینوس و کسینوس زوایای مختلف، تمرین 2 Exact values of sine and cosine of various angles, Exercise 2

  • سه گانه فیثاغورثی یافتن مقادیر توابع، تمرین 3 Pythagorean triples. Finding values of cofunctions, Exercise 3

  • توابع دوره ای Periodic functions

  • تابع سینوس، خواص و نمودار آن The sine function, its properties and graph

  • تابع کسینوس، خواص و نمودار آن The cosine function, its properties and graph

  • تابع مماس، خواص و نمودار آن The tangent function, its properties and graph

  • تابع کوتانژانت، خواص و نمودار آن The cotangent function, its properties and graph

  • تابع هم‌زمان، خواص و نمودار آن The cosecant function, its properties and graph

  • تابع secant، خواص و نمودار آن The secant function, its properties and graph

  • نام توابع دایره ای The names of the circular functions

  • توابع دایره ای، تمرین 4 Circular functions, Exercise 4

  • توابع دایره ای، تمرین 5 Circular functions, Exercise 5

هویت های مثلثاتی; تبدیل های نمودار Trigonometric identities; graph transformations

  • مقدار زیادی بازیافت خواهد شد! So much will be recycled!

  • اشتقاق هویت مجموع برای کسینوس در یک حالت کلی Derivation of the sum identity for the cosine in a general case

  • اشتقاق هویت جمع برای سینوس در یک حالت کلی Derivation of the sum identity for the sine in a general case

  • استخراج هویت تفاوت برای کسینوس در یک حالت کلی Derivation of the difference identity for the cosine in a general case

  • اشتقاق هویت تفاوت برای سینوس در یک حالت کلی Derivation of the difference identity for the sine in a general case

  • تبدیل نمودار، مقدمه Graph transformations, an introduction

  • سینوسی ها: برخی اصطلاحات Sinusoids: some terminology

  • برخی از تحولات اساسی سینوسی Some basic transformations of the sinusoid

  • توابع دایره ای غیر سینوسی: مطالعه از روی کتاب Non-sinusoidal circular functions: to study from the book

  • چگونه می توان هر جفت اعداد حقیقی را به سینوس و کسینوس یک زاویه تقسیم کرد How to scale any pair of real numbers into the sine and cosine of some angle

  • ترکیبی خطی از سینوس و کسینوس A linear combination of the sine and the cosine

  • ترکیب خطی سینوس و کسینوس، تمرین 1 A linear combination of the sine and the cosine, Exercise 1

  • حداکثر و حداقل را پیدا کنید، تمرین 2 Find max and min, Exercise 2

  • هویت های زوج، تمرین 3 Even Odd Identities, Exercise 3

  • هویت های جمع و تفاوت، تمرین 4 Sum and Difference Identities, Exercise 4

  • هویت های جمع و تفاوت، تمرین 5 Sum and Difference Identities, Exercise 5

  • کاربردهای فرمول های دو زاویه، تمرین 6 Applications of Double Angle Formulas, Exercise 6

  • کاربردهای فرمول های دو زاویه، تمرین 7 Applications of Double Angle Formulas, Exercise 7

  • فرمول های محصول به جمع Product To Sum Formulas

  • فرمول های حاصل از جمع، تمرین 8 Product To Sum Formulas, Exercise 8

  • فرمول جمع به محصول Sum To Product Formulas

  • فرمول های جمع به محصول، تمرین 9 Sum To Product Formulas, Exercise 9

  • یکنواختی سینوس در ربع اول Monotonicity of the sine in the first quadrant

  • یکنواختی کسینوس در ربع اول Monotonicity of the cosine in the first quadrant

  • آمادگی برای آرکسین، تمرین 10 A preparation for arcsine, Exercise 10

  • آماده سازی برای آرکتتانژانت، تمرین 11 A preparation for arctangent, Exercise 11

توابع مثلثاتی معکوس، خواص و نمودارهای آنها Inverse trigonometric functions, their properties and graphs

  • چگونه مشکل عدم تزریق را برطرف کنیم How to get around the no-injection issue

  • آرکسین: خواص و نمودار آن Arcsine: its properties and graph

  • آرکوزین: خواص و نمودار آن Arccosine: its properties and graph

  • Arctangent: خواص و نمودار آن Arctangent: its properties and graph

  • چرا چنین اسامی؟ Why such names?

  • ارتباط بین توابع مثلثاتی معکوس و معادلات مثلثاتی The link between inverse trigonometric functions and trigonometric equations

  • توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 1 Inverse trigonometric functions, Exercise 1

  • توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 2 Inverse trigonometric functions, Exercise 2

  • توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 3 Inverse trigonometric functions, Exercise 3

  • توابع مثلثاتی معکوس، تمرین 4 Inverse trigonometric functions, Exercise 4

هویت بیشتر More identities

  • هویت هایی که تاکنون دیده ایم Identities we have seen until now

  • نحوه اثبات هویت How to prove identities

  • هویت ها، تمرین 1 Identities, Exercise 1

  • هویت ها، تمرین 2 Identities, Exercise 2

  • هویت ها، تمرین 3 Identities, Exercise 3

  • هویت ها، تمرین 4 Identities, Exercise 4

  • هویت ها، تمرین 5 Identities, Exercise 5

  • هویت ها، تمرین 6 Identities, Exercise 6

  • هویت ها، تمرین 7 Identities, Exercise 7

  • هویت ها، تمرین 8 Identities, Exercise 8

معادلات مثلثاتی Trigonometric equations

  • معادله یا نابرابری مثلثاتی چیست؟ What is a trigonometric equation or inequality?

  • تفاوت بین معادله مثلثاتی و هویت چیست؟ What is the difference between a trigonometric equation and identity?

  • معادلات تابعی و نابرابری ها و تصاویر گرافیکی آنها Functional equations and inequalities and their graphical illustrations

  • نابرابری ها و معادلات را می توانید بدون هیچ محاسباتی حل کنید Inequalities and equations you can solve without any computations

  • انواع بسیار اساسی معادلات مثلثاتی، مسئله 1 The very basic types of trigonometric equations, Problem 1

  • استفاده از مجموع یا تفاوت هویت برای سینوس و کسینوس، مسئله 2 Using sum or difference identities for sine and cosine, Problem 2

  • فاکتورسازی: فرمول های جمع به محصول، مسئله 3 Factorization: Sum-To-Product Formulas, Problem 3

  • عامل سازی چند جمله ای ها، مسئله 4 Factorization of polynomials, Problem 4

  • با استفاده از فرمول های محصول به جمع، مسئله 5 Using the Product-To-Sum Formulas, Problem 5

  • کاهش درجه توابع مثلثاتی، مسئله 6 Reducing the degree of trigonometric functions, Problem 6

  • جایگزینی جهانی: مماس نیم آرگومان، مسئله 7 Universal Substitution: tangent of half argument, Problem 7

  • معادلات همگن، مسئله 8 Homogenous equations, Problem 8

  • ترکیبی از روش های بالا، مسئله 9 Combinations of the methods above, Problem 9

  • مشکل 10 A difficult one, Problem 10

  • مشکل 11 دیگر Another difficult one, Problem 11

برخی از کاربردهای مثلثات Some applications of trigonometry

  • مماس و شیب خطوط مستقیم در سیستم مختصات دوبعدی Tangent and slopes of straight lines in the 2D coordinate system

  • نحوه محاسبه زاویه بین دو خط در سیستم مختصات دو بعدی How to compute the angle between two lines in the 2D coordinate system

  • قانون کسینوس ها به عنوان تعمیم قضیه فیثاغورث The Law of Cosines as a generalization of Pythagorean Theorem

  • فرمول سینوسی برای مساحت مثلث A sine-based formula for the area of a triangle

  • قانون سینوس ها The Law of Sines

  • فرمول هرون Heron's Formula

  • حل مثلث های مایل Solving oblique triangles

  • بردارها در صفحه (یا در 3-فضا) و زوایای بین آنها Vectors in the plane (or in the 3-space) and angles between them

  • محصول نقطه و طرح ریزی. محصول متقاطع و محصول سه گانه اسکالر The dot product and projection; cross product and scalar triple product

  • چرخش ها و ماتریس های آنها Rotations and their matrices

  • اعداد مختلط: مستطیل و قطبی Complex numbers: rectangular and polar form

  • ضرب اعداد مختلط و مجموع هویت برای سینوس و کسینوس Multiplication of complex numbers and the Sum Identities for the sine and cosine

  • فرمول های دو مویور برای گرفتن توان اعداد مختلط De Moivre's formulas for taking powers of complex numbers

  • ریشه های وحدت Roots of unity

  • حرکت هارمونیک: توصیه های خواندن Harmonic motion: reading recommendations

نگاهی دزدکی به مثلثات در حساب دیفرانسیل و انتگرال Sneak peek into trigonometry in Calculus

  • حد (sin x)/x در صفر و اهمیت آن در حساب دیفرانسیل و انتگرال The limit of (sin x)/x in zero, and its importance in Calculus

  • شیب یک خط مستقیم و اهمیت آن برای حساب دیفرانسیل The slope of a straight line and its importance for Differential Calculus

  • تمایز سینوس و کسینوس: از کدام فرمول ها استفاده کنید Differentiability of the sine and cosine: which formulas to use

  • مشتقات سینوس، کسینوس، مماس، آرکسین و آرکتانژانت؛ برخی از تصاویر The derivatives of sine, cosine, tangent, arcsine and arctangent; some visuals

  • مثال های جالبی از توابع مبتنی بر سینوسی Interesting examples of sine-based functions

  • چند کلمه در مورد فوریه، اسپیروگراف، فرمول اویلر و هویت اویلر A word about Fourier, spirographs, Euler’s formula, and Euler’s identity

  • توابع مثلثاتی در حل معادلات دیفرانسیل Trigonometric functions in solutions of differential equations

  • مختصات قطبی در هواپیما Polar coordinates in the plane

  • مختصات استوانه ای و کروی در 3 فاصله Cylindrical and spherical coordinates in the 3-space

  • منحنی های پارامتریک Parametric curves

  • فرمول های کاهش توان و ادغام Power Reduction Formulas and integration

  • جانشینی های مثلثاتی در انتگرال ها Trigonometric substitutions in integrals

حل مسئله: varia Problem-solving: varia

  • نحوه استفاده از این بخش How to use this section

  • مشکل 1 Problem 1

  • مشکل 2 Problem 2

  • مشکل 3 Problem 3

  • مشکل 4 Problem 4

  • مشکل 5 Problem 5

  • مشکل 6 Problem 6

  • مسئله 7 Problem 7

  • مسئله 8 Problem 8

  • مسئله 9 Problem 9

  • مسئله 10 Problem 10

  • مسئله 11 Problem 11

  • مسئله 12 Problem 12

  • مسئله 13 Problem 13

  • مسئله 14 Problem 14

  • مسئله 15 Problem 15

  • مسئله 16 Problem 16

  • مسئله 17 Problem 17

  • مسئله 18 Problem 18

  • مسئله 19 Problem 19

  • مسئله 20 Problem 20

  • مسئله 21 Problem 21

  • مسئله 22 Problem 22

  • مسئله 23 Problem 23

  • مشکل 24: یکی از زیباترین مشکلات، با دو راه حل واقعا جالب Problem 24: one of the nicest problems ever, with two really cool solutions

  • مسئله 25: مشکل مورد علاقه من با راه های زیادی برای حل آن Problem 25: my favourite problem with many ways of solving it

  • پیش حساب 3، جمع بندی Precalculus 3, Wrap-up

موارد اضافی Extras

  • سخنرانی پاداش Bonus Lecture

نمایش نظرات

Udemy (یودمی)

یودمی یکی از بزرگ‌ترین پلتفرم‌های آموزشی آنلاین است که به میلیون‌ها کاربر در سراسر جهان امکان دسترسی به دوره‌های متنوع و کاربردی را فراهم می‌کند. این پلتفرم امکان آموزش در زمینه‌های مختلف از فناوری اطلاعات و برنامه‌نویسی گرفته تا زبان‌های خارجی، مدیریت، و هنر را به کاربران ارائه می‌دهد. با استفاده از یودمی، کاربران می‌توانند به صورت انعطاف‌پذیر و بهینه، مهارت‌های جدیدی را یاد بگیرند و خود را برای بازار کار آماده کنند.

یکی از ویژگی‌های برجسته یودمی، کیفیت بالای دوره‌ها و حضور استادان مجرب و با تجربه در هر حوزه است. این امر به کاربران اعتماد می‌دهد که در حال دریافت آموزش از منابع قابل اعتماد و معتبر هستند و می‌توانند به بهترین شکل ممکن از آموزش‌ها بهره ببرند. به طور خلاصه، یودمی به عنوان یکی از معتبرترین و موثرترین پلتفرم‌های آموزشی آنلاین، به افراد امکان می‌دهد تا به راحتی و با کیفیت، مهارت‌های مورد نیاز خود را ارتقا دهند و به دنبال رشد و پیشرفت شغلی خود باشند.

آموزش پیش حساب 3: مثلثات
جزییات دوره
52 hours
209
Udemy (یودمی) Udemy (یودمی)
(آخرین آپدیت)
1,052
4.9 از 5
دارد
دارد
دارد
جهت دریافت آخرین اخبار و آپدیت ها در کانال تلگرام عضو شوید.

Google Chrome Browser

Internet Download Manager

Pot Player

Winrar

Hania Uscka-Wehlou Hania Uscka-Wehlou

معلم دانشگاه در ریاضیات، PhDI یک ریاضیدان چند زبانه با اشتیاق به آموزش ریاضیات است. من همیشه سعی می‌کنم ساده‌ترین توضیحات ممکن را برای مفاهیم و نظریه‌های ریاضی، تا حد امکان، با تصاویر و با انگیزه‌های هندسی پیدا کنم. من به عنوان مدرس ارشد ریاضیات در دانشگاه اوپسالا (از آگوست 2017 تا آگوست 2019) و در دانشگاه Mälardalen (از آگوست 2019 تا مه 2021) در سوئد کار کردم، اما به کار دائم خود پایان دادم تا بتوانم دوره هایی را برای Udemy ایجاد کنم. زمان. من اصالتاً اهل لهستان هستم که در آنجا ریاضیات نظری خواندم و مدارک آموزشی را در دانشگاه کوپرنیک در تورون (1992-1997) دریافت کردم. قبل از آن، من در یک کلاس ریاضی در دبیرستان "لیسه چهارم" در تورون از یک آموزش ریاضی بسیار دقیق لذت بردم، که زمینه بسیار محکمی برای هر چیز دیگری که بعدا آموختم و تدریس کردم به من داد. پایان نامه دکتری من (2009) در دانشگاه اوپسالا در سوئد با عنوان "خطوط دیجیتال، کلمات استورمیان و کسرهای ادامه دار" بود.