آموزش جبر خطی و هندسه 2

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی دوره Introduction to the course

فضاهای برداری واقعی و زیرفضاهای آنها Real vector spaces and their subspaces

• از انتزاعی تا عینی From abstract to concrete

• از عینی تا انتزاعی From concrete to abstract

• نمونه اولیه ما Our prototype

• تعریف رسمی فضاهای برداری مثال 1: Rn Formal definition of vector spaces Example 1: Rn

• فضاهای برداری، مثال 2: m × n ماتریس با ورودی های واقعی Vector spaces, Example 2: m × n matrices with real entries

• فضاهای برداری، مثال 3: توابع با ارزش واقعی در برخی بازه ها Vector spaces, Example 3: real-valued functions on some interval

• فضاهای برداری، مثال 4: اعداد مختلط Vector spaces, Example 4: complex numbers

• دارایی ابطال Cancellation property

• دو ویژگی فضاهای برداری. تعریف تفاوت Two properties of vector spaces; Definition of difference

• برخی از خصوصیات فضاهای برداری Some properties of vector spaces

• زیرفضا چیست What is a subspace

• تمام فضاهای فرعی در R2 All the subspaces in R2

• تمام فضاهای فرعی در R3 All the subspaces in R3

• فضاهای فرعی، مسئله 1 Subspaces, Problem 1

• فضاهای فرعی، مسئله 2 Subspaces, Problem 2

• فضاهای فرعی، مسئله 3 Subspaces, Problem 3

• فضاهای فرعی، مسئله 4 Subspaces, Problem 4

ترکیبات خطی و استقلال خطی Linear combinations and linear independence

• نمونه وحدت بخش ما Our unifying example

• ترکیبات خطی در قسمت 1 Linear combinations in Part 1

• ترکیبات خطی، چیزهای جدید. مثال 1 Linear combinations, new stuff. Example 1

• ترکیبات خطی مثال 2 Linear combinations Example 2

• ترکیبات خطی، مسئله 1 Linear combinations, Problem 1

• ترکیبات خطی، مسئله 2 Linear combinations, Problem 2

• دهانه چیست، تعریف و چند مثال What is a span, definition and some examples

• اسپان، مسئله 3 Span, Problem 3

• اسپان، مسئله 4 Span, Problem 4

• اسپان، مسئله 5 Span, Problem 5

• منظور ما از بی اهمیت چیست؟ What do we mean by trivial?

• استقلال خطی و وابستگی خطی Linear independence and linear dependence

• هندسه استقلال خطی و وابستگی خطی Geometry of linear independence and linear dependence

• یک نکته مهم در مورد استقلال خطی در Rn An important remark on linear independence in Rn

• ژنراتورهای مستقل خطی، مسئله 6 Linearly independent generators, Problem 6

• استقلال خطی در مجموعه ماتریس ها، مسئله 7 Linear independence in the set of matrices, Problem 7

• استقلال خطی در C^0[−∞، ∞]، مسئله 8 Linear independence in C^0[−∞, ∞], Problem 8

• تعیین کننده و چند جمله ای واندرموند Vandermonde determinant and polynomials

• استقلال خطی در C^∞(R)، مسئله 9 Linear independence in C^∞(R), Problem 9

• ورونسکی و استقلال خطی در C∞(R) Wronskian and linear independence in C∞(R)

• استقلال خطی در C^∞(R)، مسئله 10 Linear independence in C^∞(R), Problem 10

• استقلال خطی در C^∞(R)، مسئله 11 Linear independence in C^∞(R), Problem 11

مختصات، مبنا و بعد Coordinates, basis, and dimension

• مبنا و بعد چیست؟ What is a basis and dimension?

• مبانی در فضای 3، مسئله 1 Bases in the 3-space, Problem 1

• پایگاه ها در هواپیما و در 3 فضای Bases in the plane and in the 3-space

• مبانی در فضای 3، مسئله 2 Bases in the 3-space, Problem 2

• مبانی در فضای 4، مسئله 3 Bases in the 4-space, Problem 3

• مبانی در فضای 4، مسئله 4 Bases in the 4-space, Problem 4

• مبانی در فضای چندجمله ای ها، مسئله 5 Bases in the space of polynomials, Problem 5

• با توجه به یک مبنا هماهنگ می کند Coordinates with respect to a basis

• مختصات با توجه به یک مبنا منحصر به فرد هستند Coordinates with respect to a basis are unique

• مختصات در مثال متحد کننده ما Coordinates in our unifying example

• بعد یک زیرفضا، مسئله 6 Dimension of a subspace, Problem 6

• مبانی در فضایی از توابع، مسئله 7 Bases in a space of functions, Problem 7

تغییر مبنا Change of basis

• مختصات در پایه های مختلف Coordinates in different bases

• محاسبه مجدد از پایه استاندارد آسان است It is easy to recalculate from the standard basis

• ماتریس انتقال، یک مشتق Transition matrix, a derivation

• مثال قبلی با ماتریس انتقال Previous example with transition matrix

• نمونه وحدت بخش ما Our unifying example

• یک مثال ساده و پایه دیگر One more simple example and bases

• دو پایه غیر استاندارد، روش 1 Two non-standard bases, Method 1

• دو پایه غیر استاندارد، روش 2 Two non-standard bases, Method 2

• چگونه مختصات بین دو پایه غیر استاندارد را دوباره محاسبه کنیم؟ یک الگوریتم How to recalculate coordinates between two non-standard bases? An algorithm

• تغییر مبنا، مسئله 1 Change of basis, Problem 1

• تغییر مبنا، مسئله 2 Change of basis, Problem 2

• تغییر مبنا، مسئله 3 Change of basis, Problem 3

• تغییر مبنا، مسئله 4 Change of basis, Problem 4

• تغییر مبنا، مسئله 5 Change of basis, Problem 5

• تغییر به یک مبنای متعارف در R^2 Change to an orthonormal basis in R^2

فضای ردیف، فضای ستون و فضای خالی یک ماتریس Row space, column space, and nullspace of a matrix

• آنچه در این بخش قرار است یاد بگیرید What you are going to learn in this section

• فضای ردیف و فضای ستون برای یک ماتریس Row space and column space for a matrix

• عملیات ردیف ابتدایی با فضاهای ردیف چه می کند؟ What are the elementary row operations doing to the row spaces?

• عملیات ردیف ابتدایی با فضاهای ستون چه می کند؟ What are the elementary row operations doing to the column spaces?

• فضای ستون، مسئله 2 Column space, Problem 2

• تعیین مبنایی برای یک دهانه، مسئله 3 Determining a basis for a span, Problem 3

• تعیین مبنایی برای یک دهانه متشکل از زیر مجموعه ای از بردارهای داده شده، Prob Determining a basis for a span consisting of a subset of given vectors, Prob

• تعیین مبنایی برای یک دهانه متشکل از زیر مجموعه ای از بردارهای داده شده، Prob Determining a basis for a span consisting of a subset of given vectors, Prob

• یک مشکل: اجازه دهید ردیف ها به ستون تبدیل شوند، مسئله 6 A tricky one: Let rows become columns, Problem 6

• مبنایی در فضای چندجمله ای ها، مسئله 7 A basis in the space of polynomials, Problem 7

• فضای خالی برای یک ماتریس Nullspace for a matrix

• نحوه پیدا کردن فضای خالی، مسئله 8 How to find the nullspace, Problem 8

• فضای خالی، مسئله 9 Nullspace, Problem 9

• فضای خالی، مسئله 10 Nullspace, Problem 10

رتبه، بی اعتباری و چهار فضای ماتریس اساسی Rank, nullity, and four fundamental matrix spaces

• رتبه یک ماتریس Rank of a matrix

• بطلان Nullity

• رابطه رتبه و باطل Relationship between rank and nullity

• رابطه رتبه و باطل، مسئله 1 Relationship between rank and nullity, Problem 1

• رابطه رتبه و باطل، مسئله 2 Relationship between rank and nullity, Problem 2

• رابطه رتبه و باطل، مسئله 3 Relationship between rank and nullity, Problem 3

• متمم های متعامد، مسئله 4 Orthogonal complements, Problem 4

• چهار فضای ماتریسی اساسی Four fundamental matrix spaces

• قضیه اساسی جبر خطی و گیلبرت استرنگ The Fundamental Theorem of Linear Algebra and Gilbert Strang

تبدیل ماتریس از R^n به R^m Matrix transformations from R^n to R^m

• منظور ما از خطی چیست؟ What do we mean by linear?

• برخی از اصطلاحات Some terminology

• چگونه به توابع از Rn تا Rm فکر کنیم؟ How to think about functions from Rn to Rm?

• چه زمانی یک تابع از Rn به Rm خطی است؟ رویکرد 1 When is a function from Rn to Rm linear? Approach 1

• چه زمانی یک تابع از Rn به Rm خطی است؟ رویکرد 2 When is a function from Rn to Rm linear? Approach 2

• چه زمانی یک تابع از Rn به Rm خطی است؟ رویکرد 3 When is a function from Rn to Rm linear? Approach 3

• رویکردهای 2 و 3 معادل هستند Approaches 2 and 3 are equivalent

• تبدیل های ماتریسی، مسئله 1 Matrix transformations, Problem 1

• عملگرهای تصویر، هسته و معکوس، مسئله 2 Image, kernel, and inverse operators, Problem 2

• مبنای تصویر، مسئله 3 Basis for the image, Problem 3

• هسته، مسئله 4 Kernel, Problem 4

• تصویر و هسته، مسئله 5 Image and kernel, Problem 5

• عملگرهای معکوس، مسئله 6 Inverse operators, Problem 6

• تبدیل های خطی، مسئله 7 Linear transformations, Problem 7

• هسته و هندسه، مسئله 8 Kernel and geometry, Problem 8

• تبدیل های خطی، مسئله 9 Linear transformations, Problem 9

هندسه تبدیل‌های ماتریسی روی R^2 و R^3 Geometry of matrix transformations on R^2 and R^3

• مثال واحد ما: تبدیلات خطی و تغییر مبنا Our unifying example: linear transformations and change of basis

• یک مثال با هسته غیر پیش پا افتاده An example with nontrivial kernel

• تقارن خطوط در صفحه Line symmetries in the plane

• طرح ریزی بر روی یک بردار معین، مسئله 1 Projection on a given vector, Problem 1

• تقارن در مورد خط y = kx، مسئله 2 Symmetry about the line y = kx, Problem 2

• چرخش 90 درجه در مورد مبدا Rotation by 90 degrees about the origin

• چرخش با زاویه α در مورد مبدا Rotation by the angle α about the origin

• انبساط، فشرده سازی، پوسته پوسته شدن و برش Expansion, compression, scaling, and shear

• تقارن صفحه در فضای 3، مسئله 3 Plane symmetry in the 3-space, Problem 3

• طرح ریزی روی هواپیماها در فضای 3، مسئله 4 Projections on planes in the 3-space, Problem 4

• تقارن در مورد یک صفحه معین، مسئله 5 Symmetry about a given plane, Problem 5

• طرح ریزی در یک صفحه معین، مسئله 6 Projection on a given plane, Problem 6

• چرخش در فضای 3، مسئله 7 Rotations in the 3-space, Problem 7

ویژگی های تبدیل های ماتریسی Properties of matrix transformations

• درباره چه نوع خواصی صحبت خواهیم کرد What kind of properties we will discuss

• با زیرفضاهای برداری و زیرفضاهای وابسته تحت ترانسفو خطی چه اتفاقی می افتد What happens with vector subspaces and affine subspaces under linear transfo

• خطوط موازی به خطوط موازی تبدیل می شوند، مسئله 1 Parallel lines transform into parallel lines, Problem 1

• تبدیل خطوط مستقیم، مسئله 2 Transformations of straight lines, Problem 2

• تغییر مساحت (حجم) تحت عملگرهای خطی در صفحه (فضا) Change of area (volume) under linear operators in the plane (space)

• تغییر مساحت زیر تبدیلات خطی، مسئله 3 Change of area under linear transformations, Problem 3

• ترکیبات تبدیلات خطی Compositions of linear transformations

• نحوه به دست آوردن ماتریس استاندارد ترکیب تبدیلات خطی How to obtain the standard matrix of a composition of linear transformations

• چرا کار می کند؟ Why does it work?

• ترکیبات تبدیلات خطی، مسئله 4 Compositions of linear transformations, Problem 4

• ترکیبات تبدیل های خطی، مسئله 5 Compositions of linear transformations, Problem 5

تبدیل خطی عمومی در پایه های مختلف General linear transformations in different bases

• تبدیل خطی بین دو فضای خطی Linear transformations between two linear spaces

• تبدیل های خطی، مسئله 1 Linear transformations, Problem 1

• تبدیل های خطی، مسئله 2 Linear transformations, Problem 2

• تبدیل های خطی، مسئله 3 Linear transformations, Problem 3

• تبدیل های خطی، مسئله 4 Linear transformations, Problem 4

• تبدیل های خطی، مسئله 5 Linear transformations, Problem 5

• تبدیلات خطی در پایه های مختلف، مسئله 6 Linear transformations in different bases, Problem 6

• تبدیل خطی در پایه های مختلف Linear transformations in different bases

• تبدیلات خطی در پایه های مختلف، مسئله 7 Linear transformations in different bases, Problem 7

• تبدیل خطی در پایه های مختلف، مسئله 8 Linear transformations in different bases, Problem 8

• تبدیلات خطی در پایه های مختلف، مسئله 9 Linear transformations in different bases, Problem 9

• تبدیل های خطی، مسئله 10 Linear transformations, Problem 10

• تبدیل های خطی، مسئله 11 Linear transformations, Problem 11

فرآیند گرم اشمیت Gram–Schmidt process

• محصول نقطه و متعامد تا به حال Dot product and orthogonality until now

• پایه های Orthonormal عالی هستند Orthonormal bases are awesome

• پایه های Orthonormal عالی هستند، دلیل 1: فاصله Orthonormal bases are awesome, Reason 1: distance

• پایه های Orthonormal عالی هستند، دلیل 2: محصول نقطه ای Orthonormal bases are awesome, Reason 2: dot product

• پایه های Orthonormal عالی هستند، دلیل 3: ماتریس انتقال Orthonormal bases are awesome, Reason 3: transition matrix

• پایه های Orthonormal عالی هستند، دلیل 4: مختصات Orthonormal bases are awesome, Reason 4: coordinates

• مختصات در پایه های ON، مسئله 1 Coordinates in ON bases, Problem 1

• مختصات در مبانی متعامد، قضیه و اثبات Coordinates in orthogonal bases, Theorem and proof

• هر مجموعه متعامد به صورت خطی مستقل است، اثبات Each orthogonal set is linearly independent, Proof

• مختصات در پایه های متعامد، مسئله 2 Coordinates in orthogonal bases, Problem 2

• پایه های متعارف، مسئله 3 Orthonormal bases, Problem 3

• قضیه فرافکنی 1 Projection Theorem 1

• قضیه فرافکنی 2 Projection Theorem 2

• فرمول پروجکشن، یک تصویر در فضای 3 Projection Formula, an illustration in the 3-space

• محاسبه پیش بینی ها، مسئله 4 Calculating projections, Problem 4

• محاسبه پیش بینی ها، مسئله 5 Calculating projections, Problem 5

• فرآیند گرام اشمیت Gram–Schmidt Process

• فرآیند گرام اشمیت، مثال متحد کننده ما Gram–Schmidt Process, Our unifying example

• فرآیند گرام اشمیت، مسئله 6 Gram–Schmidt Process, Problem 6

• فرآیند گرام اشمیت، مسئله 7 Gram–Schmidt Process, Problem 7

ماتریس های متعامد Orthogonal matrices

• حاصلضرب یک ماتریس و انتقال آن متقارن است Product of a matrix and its transposed is symmetric

• تعریف و مثال هایی از ماتریس های متعامد Definition and examples of orthogonal matrices

• هندسه ماتریس های متعامد 2 در 2 Geometry of 2-by-2 orthogonal matrices

• یک مثال 3 در 3 A 3-by-3 example

• فرمول های مفید برای اثبات های آینده Useful formulas for the coming proofs

• خاصیت 1: تعیین کننده هر ماتریس متعامد 1 یا -1 است Property 1: Determinant of each orthogonal matrix is 1 or −1

• خاصیت 2: هر ماتریس متعامد A معکوس پذیر است و A-1 نیز متعامد است. Property 2: Each orthogonal matrix A is invertible and A−1 is also orthogona

• ویژگی 3: ستون ها و ردیف های متعارف Property 3: Orthonormal columns and rows

• ویژگی 4: ماتریس های متعامد ماتریس های انتقالی بین پایه های ON هستند Property 4: Orthogonal matrices are transition matrices between ON-bases

• خاصیت 5: حفظ فواصل و زوایا Property 5: Preserving distances and angles

• خاصیت 6: حاصل ضرب ماتریس های متعامد متعامد است Property 6: Product of orthogonal matrices is orthogonal

• ماتریس های متعامد، مسئله 1 Orthogonal matrices, Problem 1

• ماتریس های متعامد، مسئله 2 Orthogonal matrices, Problem 2

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Eigenvalues and eigenvectors

• دوره Crash در فاکتورگیری چند جمله ای ها Crash course in factoring polynomials

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، اصطلاحات Eigenvalues and eigenvectors, the terms

• ترتیب تعریف، ترتیب محاسبه Order of defining, order of computing

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه از نظر هندسی Eigenvalues and eigenvectors geometrically

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 1 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 1

• نحوه محاسبه مقادیر ویژه چند جمله ای مشخصه How to compute eigenvalues Characteristic polynomial

• نحوه محاسبه بردارهای ویژه How to compute eigenvectors

• یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه: کوتاه و شیرین Finding eigenvalues and eigenvectors: short and sweet

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه برای مثال هایی از Video 180 Eigenvalues and eigenvectors for examples from Video 180

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 3 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 3

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 4 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 4

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 5 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 5

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 6 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 6

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، مسئله 7 Eigenvalues and eigenvectors, Problem 7

مورب سازی Diagonalization

• چرا باید ماتریس های مورب را دوست داشته باشید Why you should love diagonal matrices

• ماتریس های مشابه Similar matrices

• شباهت ماتریس ها یک رابطه هم ارزی است (RST) Similarity of matrices is an equivalence relation (RST)

• ویژگی های مشترک ماتریس های مشابه Shared properties of similar matrices

• ماتریس های مورب Diagonalizable matrices

• نحوه مورب کردن یک ماتریس، یک دستور العمل How to diagonalize a matrix, a recipe

• ماتریس مورد علاقه خود را مورب کنید Diagonalize our favourite matrix

• فضاهای ویژه؛ تعدد هندسی و جبری مقادیر ویژه Eigenspaces; geometric and algebraic multiplicity of eigenvalues

• فضاهای ویژه، مسئله 2 Eigenspaces, Problem 2

• بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه مختلف به صورت خطی مستقل هستند Eigenvectors corresponding to different eigenvalues are linearly independent

• شرط کافی، اما نه ضروری برای مورب پذیری A sufficient, but not necessary, condition for diagonalizability

• شرط لازم و کافی برای مورب پذیری Necessary and sufficient condition for diagonalizability

• قطری شدن، مسئله 3 Diagonalizability, Problem 3

• قطری شدن، مسئله 4 Diagonalizability, Problem 4

• قطری شدن، مسئله 5 Diagonalizability, Problem 5

• قطری شدن، مسئله 6 Diagonalizability, Problem 6

• قطری شدن، مسئله 7 Diagonalizability, Problem 7

• توان ماتریس ها Powers of matrices

• توان ماتریس ها، مسئله 8 Powers of matrices, Problem 8

• مورب سازی، مسئله 9 Diagonalization, Problem 9

• نگاهی دزدکی به دوره بعدی. مورب متعامد Sneak peek into the next course; orthogonal diagonalization

جمع بندی جبر خطی و هندسه 2 Wrap-up Linear Algebra and Geometry 2

• جبر خطی و هندسه 2، جمع بندی Linear Algebra and Geometry 2, Wrap-up

• بله، قسمت 3 وجود خواهد داشت! Yes, there will be Part 3!

• کلمات پایانی Final words

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture