آموزش جبر خطی و هندسه 3

سرفصل ها و درس ها

معرفی Introduction

• معرفی Introduction

عملگرهای هندسی در صفحه و در فضای 3 Geometrical operators in the plane and in the 3-space

• تجزیه ویژه، خلاصه Eigendecomposition, recap

• تجزیه ویژه و عملگرها Eigendecomposition and operators

• مسئله 1: تقارن خط در صفحه Problem 1: Line symmetry in the plane

• مسئله 2: برون فکنی در هواپیما Problem 2: Projection in the plane

• مسئله 3: تقارن در فضای 3 Problem 3: Symmetry in the 3-space

• مسئله 4: فرافکنی در فضای 3 Problem 4: Projection in the 3-space

• مسئله 5: فرافکنی در فضای 3 Problem 5: Projection in the 3-space

• فرمول دیگری از تجزیه ویژه: تجزیه طیفی Another formulation of eigendecomposition: Spectral decomposition

• قدرت ماتریس ها: دو روش Powers of matrices: Two methods

• تجزیه طیفی، مسئله 6 Spectral decomposition, Problem 6

• تجزیه طیفی، مسئله 7 Spectral decomposition, Problem 7

• تجزیه طیفی، تصویر هندسی، مسئله 8 Spectral decomposition, Geometrical illustration, Problem 8

حل مشکلات بیشتر؛ فضاهای متفاوت از R^n More problem solving; spaces different from R^n

• تجزیه ویژه، مسئله 1 Eigendecomposition, Problem 1

• تجزیه ویژه، مسئله 2 Eigendecomposition, Problem 2

• قدرت ها و ریشه ها، مسئله 3 Powers and roots, Problem 3

• قدرت ها و ریشه ها، مسئله 4 Powers and roots, Problem 4

• در فضای چند جمله ای ها، مسئله 5 In the space of polynomials, Problem 5

• در فضای چند جمله ای ها، مسئله 6 In the space of polynomials, Problem 6

• در فضای ماتریس ها، مسئله 7 In the space of matrices, Problem 7

اینترمتزو: فضاهای برداری هم شکل Intermezzo: isomorphic vector spaces

• شما تفاوت را نمی بینید You wouldn’t see the difference

• فضاهای مختلف با ساختار یکسان Different spaces with the same structure

• نمونه های بیشتری از فضاهای برداری ایزومورف More examples of isomorphic vector spaces

• شرط لازم برای فضاهای برداری هم شکل A necessary condition for isomorphic vector spaces

• شرط لازم و کافی برای فضاهای برداری ایزومورف A necessary and sufficient condition for isomorphic vector spaces

• چرا تفاوت را نمی بینید Why you don’t see the difference

• فضاهای هم شکل: مسئله 1 Isomorphic spaces: Problem 1

• فضاهای هم شکل: مسئله 2 Isomorphic spaces: Problem 2

• فضاهای هم شکل: مسئله 3 Isomorphic spaces: Problem 3

• فضاهای برداری، زمینه ها، حلقه ها. هممورفیسم حلقه و هم شکلی Vector spaces, fields, rings; ring homomorphisms and isomorphisms

• فضاهای برداری، فیلدها، حلقه ها، مسئله 4 Vector spaces, fields, rings, Problem 4

• فضاهای برداری، فیلدها، حلقه ها، مسئله 5 Vector spaces, fields, rings, Problem 5

روابط عود، سیستم های دینامیکی، ماتریس های مارکوف Recurrence relations, dynamical systems, Markov matrices

• پیوسته در مقابل گسسته Continuous versus discrete

• دو مثال معروف از عود Two famous examples of recurrence

• سیستم های دینامیکی گسسته خطی Linear discrete dynamical systems

• سیستم معادلات تفاضل، مسئله 1 Systems of difference equations, Problem 1

• سیستم معادلات تفاضل، مسئله 2 Systems of difference equations, Problem 2

• سیستم معادلات تفاضل، مسئله 3 Systems of difference equations, Problem 3

• معادلات اختلاف مرتبه بالاتر، مسئله 4 Higher order difference equations, Problem 4

• معادلات اختلاف مرتبه بالاتر، مسئله 5 Higher order difference equations, Problem 5

• معادلات اختلاف مرتبه بالاتر، مسئله 6 Higher order difference equations, Problem 6

• ماتریس های مارکوف Markov matrices

• هر ماتریس مارکوف دارای مقدار ویژه 1 است Each Markov matrix has eigenvalue 1

• بردار حالت پایدار (بردار تعادل)، مسئله 7 Steady-state vector (equilibrium vector), Problem 7

• ماتریس های مارکوف، مسئله 8، رستوران Markov matrices, Problem 8, Restaurant

• ماتریس های مارکوف، مسئله 9، مهاجرت Markov matrices, Problem 9, Migration

• ماتریس های مارکوف، مسئله 10، انتخاب Markov matrices, Problem 10, Election

• سیستم های دینامیکی، مسئله 11 Dynamical systems, Problem 11

• کجا بیشتر در مورد این موضوع بخوانید؟ Where to read more on this topic?

حل سیستم های ODE خطی و حل ODE مرتبه بالاتر Solving systems of linear ODE, and solving higher order ODE

• ODE چیست و قرار است با چه نوع ODE سر و کار داشته باشیم What is an ODE and what kinds of ODE we are going to deal with

• راه حل های مرتبه اول ODE خطی با ضرایب ثابت Solutions to first order linear ODE with constant coefficients

• سیستم های ODE خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت Systems of first order linear ODE with constant coefficients

• یک مثال بسیار ساده A very simple example

• روش The method

• سیستم ODE، مسئله 1 System of ODE, Problem 1

• سیستم ODE، مسئله 2 System of ODE, Problem 2

• سیستم ODE، مسئله 3 System of ODE, Problem 3

• چگونه با ODE خطی مرتبه بالاتر برخورد کنیم؟ How to deal with higher order linear ODE?

• راه دیگری برای نگاه کردن به همین مشکل Another way of looking at the same problem

محصول درونی به عنوان تعمیم محصول نقطه ای Inner product as a generalization of dot product

• بین عینی و انتزاعی Between concrete and abstract

• محصول نقطه در قسمت 1 Dot product in Part 1

• محصول نقطه و متعامد در قسمت 2 Dot product and orthogonality in Part 2

• از R^2 تا فضاهای داخلی محصول From R^2 to inner product spaces

• فضاهای داخلی محصول Inner product spaces

• فضای n اقلیدسی Euclidean n-space

• نکته بسیار مهم در مورد علامت گذاری A very important remark about notation

• محصولات داخلی و خارجی Inner and outer products

• حاصل ضرب درونی اقلیدسی وزنی، مسئله 1 Weighted Euclidean inner product, Problem 1

• ماتریس های جابجا شده را به خاطر دارید؟ Remember transposed matrices?

• ماتریس های قطعی مثبت Positive definite matrices

• فرم های درجه دوم و نحوه خواندن آنها Quadratic forms and how to read them

• محصولات داخلی ماتریس در R^n، مسئله 2 Matrix inner products on R^n, Problem 2

• ماتریس گرم، مسئله 3 Gram matrix, Problem 3

• ماتریس گرم، مسئله 4 Gram matrix, Problem 4

• محصول درونی در فضای توابع پیوسته Inner product in the space of continuous functions

• ماتریس گرم برای یک محصول داخلی در فضای Pn چند جمله ای ها Gram matrix for an inner product in the space Pn of polynomials

• دو محصول داخلی در فضای چندجمله‌ای Pn Two inner products on the space of polynomials Pn

• ارزیابی محصولات داخلی در P2، مسئله 5 The evaluation inner products on P2, Problem 5

• حاصل ضرب داخلی در فضای m × n ماتریس Inner product in the space of m × n matrices

• حاصلضرب داخلی در فضای ماتریس های مربعی Inner product in the space of square matrices

• حاصل ضرب درونی در فضای ماتریس ها، مسئله 6 Inner product in the space of matrices, Problem 6

• محصول داخلی فروبنیوس؛ حاصلضرب ماتریس هادامارد Frobenius inner product; Hadamard product of matrices

هنجار، فاصله، زوایا و متعامد بودن در فضاهای محصول داخلی Norm, distance, angles, and orthogonality in inner product spaces

• هنجار در فضاهای محصول داخلی Norm in inner product spaces

• هندسه عجیب و غریب در فضای اقلیدسی با محصول داخلی وزن دار Weird geometry in the Euclidean space with weighted inner product

• هنجار ماتریس های فروبنیوس، مسئله 1 Frobenius norm of matrices, Problem 1

• هنجار در فضای توابع، مسئله 2 Norm in the space of functions, Problem 2

• فاصله در فضاهای محصول داخلی Distance in inner product spaces

• فاصله فروبنیوس بین ماتریس ها، مسئله 3 Frobenius distance between matrices, Problem 3

• فاصله در فضای توابع، مسئله 4 Distance in the space of functions, Problem 4

• اولین قدم برای تعریف زوایای انتزاعی First step to defining abstract angles

• نابرابری کوشی-شوارتز، اثبات 1 Cauchy–Schwarz inequality, proof 1

• نابرابری کوشی-شوارتز، اثبات 2 Cauchy–Schwarz inequality, proof 2

• نابرابری کوشی-شوارتز در فضای توابع پیوسته Cauchy–Schwarz inequality in the space of continuous functions

• زوایای فضاهای محصول داخلی Angles in inner product spaces

• هندسه عجیب تر: زوایای فضاهای محصول داخلی، مسئله 5 More weird geometry: Angles in inner product spaces, Problem 5

• زوایای فضاهای محصول داخلی، مسئله 6 Angles in inner product spaces, Problem 6

• متعامد بودن در فضاهای محصول داخلی Orthogonality in inner product spaces

• متعامد بودن در فضاهای محصول داخلی به محصول داخلی بستگی دارد Orthogonality in inner product spaces depends on inner product

• متعامد بودن در فضاهای محصول داخلی، مسئله 7 Orthogonality in inner product spaces, Problem 7

• نابرابری مثلث چیست؟ What is triangle inequality?

• نابرابری مثلثی در فضاهای محصول داخلی Triangle inequality in inner product spaces

• قضیه تعمیم یافته فیثاغورث Generalized Theorem of Pythagoras

• قضیه تعمیم یافته فیثاغورث، مسئله 8 Generalized Theorem of Pythagoras, Problem 8

• قضیه تعمیم یافته فیثاغورث، مسئله 9 Generalized Theorem of Pythagoras, Problem 9

• قضیه تعمیم یافته فیثاغورث، مسئله 10 Generalized Theorem of Pythagoras, Problem 10

پیش بینی ها و فرآیند گرم اشمیت در فضاهای مختلف محصول داخلی Projections and Gram–Schmidt process in various inner product spaces

• متفاوت اما همچنان عالی! Different but still awesome!

• پایه های ON در فضاهای IP ON bases in IP spaces

• چرا نرمال سازی در تمام فضاهای IP به یک شکل عمل می کند؟ Why does normalizing work in the same way in all IP spaces?

• مجموعه های متعارف توابع پیوسته، مسئله 1 Orthonormal sets of continuous functions, Problem 1

• متمم های متعامد، مسئله 2 Orthogonal complements, Problem 2

• مجموعه های متعامد به صورت خطی مستقل هستند، مسئله 3 Orthogonal sets are linearly independent, Problem 3

• مختصات در پایه های متعامد در فضاهای IP Coordinates in orthogonal bases in IP spaces

• پیش بینی ها و تجزیه متعامد در فضاهای IP Projections and orthogonal decomposition in IP spaces

• پیش بینی های متعامد در زیرفضاهای یک فضای IP، مسئله 4 Orthogonal projections on subspaces of an IP space, Problem 4

• پیش بینی های متعامد در زیرفضاهای یک فضای IP، مسئله 5 Orthogonal projections on subspaces of an IP space, Problem 5

• گرم-اشمیت در فضاهای IP Gram–Schmidt in IP spaces

• گرم-اشمیت در فضاهای IP، مسئله 6: چند جمله ای های لژاندر Gram–Schmidt in IP spaces, Problem 6: Legendre polynomials

• گرام اشمیت در فضاهای IP، مسئله 7 Gram–Schmidt in IP spaces, Problem 7

• محاسبات آسان IP در پایه های ON، مسئله 8 Easy computations of IP in ON bases, Problem 8

مسائل حداقل حداکثر، بهترین تقریب ها و حداقل مربعات Min-max problems, best approximations, and least squares

• در این بخش In this section

• حداقل حداکثر، مسئله 1 Min-max, Problem 1

• حداقل حداکثر، مسئله 2 Min-max, Problem 2

• حداقل حداکثر، مسئله 3 Min-max, Problem 3

• حداقل حداکثر، مسئله 4 Min-max, Problem 4

• حداقل حداکثر، مسئله 5 Min-max, Problem 5

• نگاهی دیگر به پیش بینی های متعامد به عنوان تبدیل های ماتریسی Another look at orthogonal projections as matrix transformations

• پیش بینی های متعامد، مسئله 6 Orthogonal projections, Problem 6

• پیش بینی های متعامد، مسئله 7 Orthogonal projections, Problem 7

• کوتاه ترین فاصله از یک زیرفضا Shortest distance from a subspace

• کوتاه ترین فاصله، مسئله 8 Shortest distance, Problem 8

• کوتاه ترین مسافت، مسئله 9 Shortest distance, Problem 9

• کوتاه ترین مسافت، مسئله 10 Shortest distance, Problem 10

• حل پذیری سیستم های معادلات بر حسب فضای ستون Solvability of systems of equations in terms of the column space

• حل حداقل مربعات و بردار باقیمانده Least squares solution and residual vector

• چهار فضای ماتریس اساسی و معادله نرمال Four fundamental matrix spaces and the normal equation

• حداقل مربعات، مسئله 11، با معادله عادی Least squares, Problem 11, by normal equation

• حداقل مربعات، مسئله 11، با طرح ریزی Least squares, Problem 11, by projection

• تناسب خط مستقیم حداقل مربعات، مسئله 12 Least squares straight line fit, Problem 12

• حداقل مربعات، برازش منحنی درجه دوم به داده ها، مسئله 13 Least squares, fitting a quadratic curve to data, Problem 13

قطری کردن ماتریس های متقارن Diagonalization of symmetric matrices

• پیوند بین ماتریس های متقارن و فرم های درجه دوم، مسئله 1 The link between symmetric matrices and quadratic forms, Problem 1

• برخی از خواص ماتریس های متقارن Some properties of symmetric matrices

• بردارهای ویژه مربوط به مقادیر ویژه متمایز برای یک ماتریس متقارن Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues for a symmetric matrix

• اعداد مختلط: یک تکرار مختصر Complex numbers: a brief repetition

• مقادیر ویژه برای یک ماتریس متقارن (واقعی) واقعی هستند Eigenvalues for a (real) symmetric matrix are real

• مورب متعامد Orthogonal diagonalization

• اگر یک ماتریس به صورت متعامد مورب باشد، متقارن است If a matrix is orthogonally diagonalizable, it is symmetric

• قضیه طیفی: هر ماتریس متقارن به صورت متعامد قابل قطر است. The Spectral Theorem: Each symmetric matrix is orthogonally diagonalizable

• مورب متعامد: نحوه انجام آن Orthogonal diagonalization: how to do it

• مورب متعامد، مسئله 2 Orthogonal diagonalization, Problem 2

• تجزیه طیفی برای ماتریس های متقارن، مسئله 3 Spectral decomposition for symmetric matrices, Problem 3

• مورب متعامد، مسئله 4 Orthogonal diagonalization, Problem 4

• مورب متعامد، مسئله 5 Orthogonal diagonalization, Problem 5

• مورب متعامد، مسئله 6 Orthogonal diagonalization, Problem 6

• مورب متعامد، مسئله 7 Orthogonal diagonalization, Problem 7

• تجزیه طیفی، مسئله 8 Spectral decomposition, Problem 8

• ماتریس های مثبت و منفی، ماتریس های نیمه معین و نامعین، مسئله 9 Pos and neg definite matrices, semidefinite and indefinite matrices, Problem 9

• قدرت شگفت انگیز یک ماتریس مورب متعامد The wonderful strength of an orthogonally diagonalized matrix

• سه تست برای قطعیت ماتریس های متقارن، مسئله 10 Three tests for definiteness of symmetric matrices, Problem 10

• جذر متقارن ماتریس های مثبت متقارن قطعی. مقادیر منفرد Symmetric square roots of symmetric positive definite matrices; singular values

اشکال درجه دوم و طبقه بندی آنها Quadratic forms and their classification

• مطابقت بین فرم های درجه دوم و ماتریس های متقارن 1 به 1 است The correspondence between quadratic forms and symmetric matrices is 1-to-1

• تکمیل مربع منحصر به فرد نیست Completing the square is not unique

• به چه نوع سؤالاتی می خواهیم پاسخ دهیم What kind of questions we want to answer

• 163 اشکال درجه دوم در دو متغیر، مسئله 1. 163 Quadratic forms in two variables, Problem 1.

• اشکال درجه دوم در دو متغیر مسئله 2 Quadratic forms in two variables, Problem 2

• منحنی های درجه دوم، به طور کلی Quadratic curves, generally

• منحنی های درجه دوم به صورت مقاطع مخروطی Quadratic curves as conic sections

• منحنی های درجه دوم بر اساس فاصله. کمترین فاصله از مبدا Quadratic curves by distances; shortest distance from the origin

• محورهای اصلی؛ کوتاه ترین فاصله از مبدا، مسئله 3 Principal axes; The shortest distance from the origin, Problem 3

• طبقه بندی فرم های درجه دوم در دو متغیر Classification of quadratic forms in two variables

• طبقه بندی منحنی ها، مسئله 4 Classification of curves, Problem 4

• طبقه بندی منحنی ها، مسئله 5 Classification of curves, Problem 5

• نقش های مختلف ماتریس های متقارن (بازگشت به فیلم های 150 و 168)، مسئله Different roles of symmetric matrices (back to Videos 150 and 168), Problem

• طبقه بندی منحنی ها، مسئله 7 Classification of curves, Problem 7

• به طور کلی در مورد سطوح درجه دوم Generally about quadratic surfaces

• برخی از تصاویر زیبا بر روی سطوح درجه دوم Some nice visuals on quadratic surfaces

• سطوح درجه دوم، کوتاهترین فاصله، مسئله 8 Quadratic surfaces, shortest distance, Problem 8

• سطوح درجه دوم، مسئله 9 Quadratic surfaces, Problem 9

• سطوح درجه دوم، مسئله 10 Quadratic surfaces, Problem 10

• قانون اینرسی برای اشکال درجه دوم. امضای فرم، مسئله 11 Law of inertia for quadratic forms; Signature of a form, Problem 11

• چهار روش برای تعیین قطعیت; مسئله 12 Four methods of determining definiteness; Problem 12

بهینه سازی محدود Constrained optimization

• تئوری این بخش The theory for this section

• بهینه سازی محدود، مسئله 1 Constrained optimization, Problem 1

• بهینه سازی محدود، مسئله 2 Constrained optimization, Problem 2

• بهینه سازی محدود، مسئله 3 Constrained optimization, Problem 3

• بهینه سازی محدود، مسئله 4 Constrained optimization, Problem 4

The Grand Finale: تجزیه ارزش منفرد و شبه وارونه ها The Grand Finale: Singular Value Decomposition and Pseudoinverses

• تمام جاده های ما ما را به SVD رساندند All our roads led us to SVD

• چرا به SVD نیاز داریم؟ Why do we need SVD?

• ما واقعاً چیزهای زیادی در مورد AT A برای هر ماتریس مستطیلی A می دانیم We know really a lot about AT A for any rectangular matrix A

• حقایق جدید در مورد AT A: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه مقادیر مفرد A New facts about AT A: eigenvalues and eigenvectors Singular values of A

• پایه های ON که فقط بردارهای ویژه محصولات ماتریس خاصی را شامل می شوند ON-bases containing only eigenvectors of certain matrix products

• تجزیه ارزش مفرد با اثبات و تفسیر هندسی Singular value decomposition with proof and geometric interpretation

• SVD، کاهش تجزیه مقدار منفرد، مسئله 1 SVD, reduced singular value decomposition, Problem 1

• SVD، مسئله 2 SVD, Problem 2

• حقایق جدید بیشتر در مورد AT A: شش عبارت معادل More new facts about AT A: six equivalent statements

• حداقل مربعات، SVD، و شبه معکوس (معکوس مور– پنروز) Least squares, SVD, and pseudoinverse (Moore–Penrose inverse)

• شبه معکوس، مسئله 3 Pseudoinverse, Problem 3

• SVD و قضیه اساسی جبر خطی SVD and Fundamental Theorem of Linear Algebra

جمع بندی جبر خطی و هندسه Wrap-up Linear Algebra and Geometry

• جبر خطی و هندسه، جمع بندی Linear Algebra and Geometry, Wrap-up

• بنابراین، بعدی چیست؟ So, what’s next?

• سخنان پایانی Final words

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture