آموزش حساب 3 (حساب چند متغیره)، قسمت 1 از 2

سرفصل ها و درس ها

در مورد دوره About the course

• معرفی دوره Introduction to the course

هندسه تحلیلی در فضا Analytical geometry in the space

• صفحه R^2 و 3 فضای R^3: نقاط و بردارها The plane R^2 and the 3-space R^3: points and vectors

• وکتورها و محصولات آنها Vectors and their products

• فاصله بین نقاط Distance between points

• محصول نقطه ای Dot product

• محصول متقابل Cross product

• محصول سه گانه اسکالر Scalar triple product

• توصیف واقعیت با اعداد. هندسه و فیزیک Describing reality with numbers; geometry and physics

• خطوط مستقیم در هواپیما Straight lines in the plane

• هواپیماها در فضا Planes in the space

• خطوط مستقیم در فضا Straight lines in the space

مقاطع مخروطی: دایره، بیضی، سهمی، هذلولی Conic sections: circle, ellipse, parabola, hyperbola

• مقاطع مخروطی، مقدمه Conic sections, an introduction

• منحنی های درجه دوم به صورت مقاطع مخروطی Quadratic curves as conic sections

• تعاریف بر اساس فاصله Definitions by distance

• برگه های تقلب Cheat sheets

• دایره و بیضی، نظریه Circle and ellipse, theory

• سهمی و هذلولی، نظریه Parabola and hyperbola, theory

• تکمیل مربع Completing the square

• تکمیل مربع، مسائل 1 و 2 Completing the square, problems 1 and 2

• تکمیل مربع، مسئله 3 Completing the square, problem 3

• تکمیل مربع، مسائل 4 و 5 Completing the square, problems 4 and 5

• تکمیل مربع، مسائل 6 و 7 Completing the square, problems 6 and 7

سطوح چهارگانه: کره، استوانه، مخروط، بیضی، پارابولوئید و غیره Quadric surfaces: spheres, cylinders, cones, ellipsoids, paraboloids etc

• سطوح چهارگانه، مقدمه Quadric surfaces, an introduction

• کوادریک های منحط Degenerate quadrics

• بیضی Ellipsoids

• پارابولوئیدها Paraboloids

• هایپربولوئید Hyperboloids

• مسائل 1 و 2 Problems 1 and 2

• مشکل 3 Problem 3

• مسائل 4 و 5 Problems 4 and 5

• مشکل 6 Problem 6

توپولوژی در R^n Topology in R^n

• محله ها Neighbourhoods

• مجموعه های باز، بسته و محدود Open, closed, and bounded sets

• شناسایی مجموعه ها، مقدمه Identify sets, an introduction

• مثال 1 Example 1

• مثال 2 Example 2

• مثال 3 Example 3

• مثال 4 Example 4

• مثال 5 Example 5

• مثال 6 و 7 Example 6 and 7

دستگاه های مختصات Coordinate systems

• سیستم های مختصات مختلف Different coordinate systems

• مختصات قطبی در هواپیما Polar coordinates in the plane

• یک مثال مهم An important example

• حل 3 مسئله Solving 3 problems

• مختصات استوانه ای در فضا Cylindrical coordinates in the space

• مشکل 1 Problem 1

• مشکل 2 Problem 2

• مشکل 3 Problem 3

• مشکل 4 Problem 4

• مختصات کروی در فضا Spherical coordinates in the space

• چند نمونه Some examples

• تبدیل Conversion

• مشکل 1 Problem 1

• مشکل 2 Problem 2

• مشکل 3 Problem 3

• مشکل 4 Problem 4

توابع با ارزش برداری، مقدمه Vector-valued functions, introduction

• منحنی ها: مقدمه Curves: an introduction

• توابع: تکرار Functions: repetition

• توابع با ارزش برداری، منحنی های پارامتریک Vector-valued functions, parametric curves

• توابع با ارزش برداری، منحنی های پارامتریک: دامنه Vector-valued functions, parametric curves: domain

چند نمونه از پارامترسازی Some examples of parametrisation

• توابع با ارزش برداری، منحنی های پارامتریک: پارامترسازی Vector-valued functions, parametric curves: parametrisation

• یک مثال جالب An intriguing example

• مشکل 1 Problem 1

• مشکل 2 Problem 2

• مشکل 3 Problem 3

• مسئله 4، مارپیچ Problem 4, helix

محاسبات با ارزش برداری؛ منحنی: پیوسته، قابل تمایز و صاف Vector-valued calculus; curve: continuous, differentiable, and smooth

• نشانه گذاری Notation

• محدودیت و تداوم Limit and continuity

• مشتقات Derivatives

• سرعت، شتاب Speed, acceleration

• موقعیت، سرعت، شتاب: یک مثال Position, velocity, acceleration: an example

• منحنی های صاف و تکه ای صاف Smooth and piecewise smooth curves

• ترسیم یک منحنی Sketching a curve

• ترسیم یک منحنی: یک تمرین Sketching a curve: an exercise

• مثال 1 Example 1

• مثال 2 Example 2

• مثال 3 Example 3

• تئوری اضافی: حد و تداوم Extra theory: limit and continuity

• تئوری اضافی: مشتق، مماس و سرعت Extra theory: derivative, tangent, and velocity

• قوانین تمایز Differentiation rules

• قوانین تمایز، مثال 1 Differentiation rules, example 1

• قوانین تمایز: مثال 2 Differentiation rules: example 2

• موقعیت، سرعت، شتاب، مثال 3 Position, velocity, acceleration, example 3

• موقعیت و سرعت، یک مثال دیگر Position and velocity, one more example

• مسیر سیارات Trajectories of planets

طول کمان Arc length

• منحنی های پارامتریک: طول قوس Parametric curves: arc length

• طول قوس: مسئله 1 Arc length: problem 1

• طول قوس: مسائل 2 و 3 Arc length: problems 2 and 3

• طول قوس: مسائل 4 و 5 Arc length: problems 4 and 5

پارامترسازی طول قوس Arc length parametrisation

• منحنی های پارامتریک: پارامترسازی بر اساس طول قوس Parametric curves: parametrisation by arc length

• پارامترسازی بر اساس طول قوس، نحوه انجام آن، مثال 1 Parametrisation by arc length, how to do it, example 1

• پارامترسازی بر اساس طول قوس، مثال 2 Parametrisation by arc length, example 2

• طول قوس به پارامتری شدن، تئوری بستگی ندارد Arc length does not depend on parametrisation, theory

توابع با ارزش واقعی چندین متغیر Real-valued functions of multiple variables

• توابع چندین متغیر، مقدمه Functions of several variables, introduction

• مقدمه، ادامه 1 Introduction, continuation 1

• مقدمه، ادامه 2 Introduction, continuation 2

• دامنه Domain

• دامنه، حل مسئله قسمت 1 Domain, problem solving part 1

• دامنه، حل مسئله قسمت 2 Domain, problem solving part 2

• دامنه، حل مسئله قسمت 3 Domain, problem solving part 3

• توابع چندین متغیر، نمودار Functions of several variables, graphs

• رسم توابع دو متغیر، مسائل قسمت 1 Plotting functions of two variables, problems part 1

• رسم توابع دو متغیر، مسائل قسمت 2 Plotting functions of two variables, problems part 2

• منحنی های سطح Level curves

• منحنی های سطح، مسئله 1 Level curves, problem 1

• منحنی های سطح، مسئله 2 Level curves, problem 2

• منحنی های سطح، مسئله 3 Level curves, problem 3

• منحنی های سطح، مسئله 4 Level curves, problem 4

• منحنی های سطح، مسئله 5 Level curves, problem 5

• سطوح سطح، تعریف و حل مسئله Level surfaces, definition and problem solving

محدودیت، تداوم Limit, continuity

• حد و تداوم، بخش 1 Limit and continuity, part 1

• حد و تداوم، قسمت 2 Limit and continuity, part 2

• حد و تداوم، قسمت 3 Limit and continuity, part 3

• حل مسئله 1 Problem solving 1

• حل مسئله 2 Problem solving 2

• حل مسئله 3 Problem solving 3

• حل مسئله 4 Problem solving 4

مشتق جزئی، صفحه مماس، خط معمولی، گرادیان، ژاکوبین Partial derivative, tangent plane, normal line, gradient, Jacobian

• مقدمه 1: تعریف و نشانه گذاری Introduction 1: definition and notation

• مقدمه 2: پیامدهای حسابی Introduction 2: arithmetical consequences

• مقدمه 3: پیامدهای هندسی (صفحه مماس) Introduction 3: geometrical consequences (tangent plane)

• مقدمه 4: مشتقات جزئی به اندازه کافی خوب نیستند Introduction 4: partial derivatives not good enough

• مقدمه 5: یک مثال بسیار وحشتناک Introduction 5: a pretty terrible example

• هواپیمای مماس، قسمت 1 Tangent plane, part 1

• بردار معمولی Normal vector

• صفحه مماس قسمت 2: معادله عادی Tangent plane part 2: normal equation

• خط معمولی Normal line

• صفحات مماس، مسئله 1 Tangent planes, problem 1

• صفحات مماس، مسئله 2 Tangent planes, problem 2

• صفحات مماس، مسئله 3 Tangent planes, problem 3

• صفحات مماس، مسئله 4 Tangent planes, problem 4

• صفحات مماس، مسئله 5 Tangent planes, problem 5

• گرادیان The gradient

• روشی برای تفکر در مورد توابع از R^n تا R^m A way of thinking about functions from R^n to R^m

• ژاکوبین The Jacobian

مشتقات جزئی بالاتر Higher partial derivatives

• معرفی Introduction

• تعریف و نماد Definition and notation

• جزئی مخلوط، ماتریس هسی Mixed partials, Hessian matrix

• تفاوت بین ماتریس های ژاکوبین و ماتریس هسی The difference between Jacobian matrices and Hessian matrices

• تساوی جزئی مختلط; قضیه شوارتز Equality of mixed partials; Schwarz' theorem

• قضیه شوارتز: مثال پیانو Schwarz' theorem: Peano's example

• قضیه شوارتز: اثبات Schwarz' theorem: the proof

• معادلات دیفرانسیل جزئی، مقدمه Partial Differential Equations, introduction

• معادلات دیفرانسیل جزئی، ایده های اساسی Partial Differential Equations, basic ideas

• معادلات دیفرانسیل جزئی، حل مسئله Partial Differential Equations, problem solving

• معادله لاپلاس و توابع هارمونیک 1 Laplace equation and harmonic functions 1

• معادله لاپلاس و توابع هارمونیک 2 Laplace equation and harmonic functions 2

• معادله لاپلاس و معادلات کوشی-ریمان Laplace equation and Cauchy-Riemann equations

• مشکل دیریکله Dirichlet problem

قانون زنجیره ای: انواع مختلف Chain rule: different variants

• یک مقدمه کلی A general introduction

• انواع 1 و 2 Variants 1 and 2

• نوع 3 Variant 3

• نوع 3 (اثبات) Variant 3 (proof)

• نوع 4 Variant 4

• مثال با نمودار Example with a diagram

• حل مسئله Problem solving

• حل مسئله، مسئله 1 Problem solving, problem 1

• حل مسئله، مسئله 2 Problem solving, problem 2

• حل مسئله، مسئله 3 Problem solving, problem 3

• حل مسئله، مسئله 4 Problem solving, problem 4

• حل مسئله، مسئله 6 Problem solving, problem 6

• حل مسئله، مسئله 7 Problem solving, problem 7

• حل مسئله، مسئله 5 Problem solving, problem 5

• حل مسئله، مسئله 8 Problem solving, problem 8

تقریب خطی، خطی سازی، تمایز پذیری، دیفرانسیل Linear approximation, linearisation, differentiability, differential

• خطی سازی و تمایز پذیری در Calc1 Linearisation and differentiability in Calc1

• تمایز در Calc3: مقدمه Differentiability in Calc3: introduction

• تمایز در دو متغیر، یک مثال Differentiability in two variables, an example

• تمایز در Calc3 دلالت بر تداوم دارد Differentiability in Calc3 implies continuity

• تمایز جزئی به معنای تمایز پذیری نیست Partial differentiability does NOT imply differentiability

• مثال: پیوسته، غیر قابل تمایز An example: continuous, not differentiable

• تمایزپذیری در چندین متغیر، یک آزمون Differentiability in several variables, a test

• جمع بندی: تمایز پذیری، تمایز جزئی و تداوم در Calc3 Wrap-up: differentiability, partial differentiability, and continuity in Calc3

• تفاوت پذیری در دو متغیر، یک تفسیر هندسی Differentiability in two variables, a geometric interpretation

• خطی سازی: دو مثال Linearization: two examples

• خطی سازی، حل مسئله 1 Linearization, problem solving 1

• خطی سازی، حل مسئله 2 Linearization, problem solving 2

• خطی سازی، حل مسئله 3 Linearization, problem solving 3

• خطی سازی با ماتریس ژاکوبین، حل مسئله Linearization by Jacobian matrix, problem solving

• تفاوت ها: حل مسئله 1 Differentials: problem solving 1

• تفاوت ها: حل مسئله 2 Differentials: problem solving 2

گرادیان، مشتقات جهت دار Gradient, directional derivatives

• شیب Gradient

• گرادیان در هر نقطه متعامد به منحنی سطح از طریق نقطه است The gradient in each point is orthogonal to the level curve through the point

• گرادیان در هر نقطه نسبت به سطح تراز از طریق نقطه متعامد است The gradient in each point is orthogonal to the level surface through the point

• صفحه مماس به سطح تراز، یک مثال Tangent plane to the level surface, an example

• مشتقات جهت دار، مقدمه Directional derivatives, introduction

• مشتقات جهت دار، جهت Directional derivatives, the direction

• چگونه یک بردار را عادی کنیم و چرا کار می کند How to normalize a vector and why it works

• مشتقات جهت دار، تعریف Directional derivatives, the definition

• مشتقات جزئی به عنوان یک مورد خاص از مشتقات جهت دار Partial derivatives as a special case of directional derivatives

• مشتقات جهت دار، یک مثال Directional derivatives, an example

• مشتقات جهت دار: قضیه مهم برای محاسبات و تفسیرها Directional derivatives: important theorem for computations and interpretations

• مشتقات جهت دار: نمونه قبلی که مجدداً مورد بررسی قرار گرفت Directional derivatives: an earlier example revisited

• پیامدهای هندسی قضیه در مورد مشتقات جهتی Geometrical consequences of the theorem about directional derivatives

• پیامدهای هندسی قضیه در مورد مشتقات جهتی، یک مثال Geometical consequences of the theorem about directional derivatives, an example

• مشتقات جهت دار، یک مثال Directional derivatives, an example

• خط نرمال و خط مماس به منحنی سطح: چگونه معادلات آنها را بدست آوریم Normal line and tangent line to a level curve: how to get their equations

• خط معمولی و خط مماس به منحنی سطح: معادلات آنها، یک مثال Normal line and tangent line to a level curve: their equations, an example

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 1 Gradient and directional derivatives, problem 1

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 2 Gradient and directional derivatives, problem 2

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 3 Gradient and directional derivatives, problem 3

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 4 Gradient and directional derivatives, problem 4

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 5 Gradient and directional derivatives, problem 5

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 6 Gradient and directional derivatives, problem 6

• مشتقات گرادیان و جهت، مسئله 7 Gradient and directional derivatives, problem 7

توابع ضمنی Implicit functions

• قضیه تابع ضمنی چیست؟ What is the Implicit Function Theorem?

• تعیین کننده ژاکوبین Jacobian determinant

• تعیین کننده ژاکوبین برای تغییر به مختصات قطبی و استوانه ای Jacobian determinant for change to polar and to cylindrical coordinates

• تعیین کننده ژاکوبین برای تغییر به مختصات کروی Jacobian determinant for change to spherical coordinates

• تعیین کننده ژاکوبین و تغییر مساحت Jacobian determinant and change of area

• نوع قضیه تابع ضمنی 1 The Implicit Function Theorem variant 1

• فرضیه تابع ضمنی نوع 1، یک مثال The Implicit Function Theorem variant 1, an example

• نوع 2 قضیه تابع ضمنی The Implicit Function Theorem variant 2

• قضیه تابع ضمنی نوع 2، مثال 1 The Implicit Function Theorem variant 2, example 1

• قضیه تابع ضمنی نوع 2، مثال 2 The Implicit Function Theorem variant 2, example 2

• نوع 3 قضیه تابع ضمنی The Implicit Function Theorem variant 3

• قضیه تابع ضمنی نوع 3، یک مثال The Implicit Function Theorem variant 3, an example

• نوع ۴ قضیه تابع ضمنی The Implicit Function Theorem variant 4

• قضیه تابع معکوس The Inverse Function Theorem

• قضیه تابع ضمنی، خلاصه The Implicit Function Theorem, summary

• علامت گذاری در برخی موارد نامشخص Notation in some unclear cases

• قضیه تابع ضمنی، حل مسئله 1 The Implicit Function Theorem, problem solving 1

• قضیه تابع ضمنی، حل مسئله 2 The Implicit Function Theorem, problem solving 2

• قضیه تابع ضمنی، حل مسئله 3 The Implicit Function Theorem, problem solving 3

• قضیه تابع ضمنی، حل مسئله 4 The Implicit Function Theorem, problem solving 4

فرمول تیلور، چند جمله ای تیلور، اشکال درجه دوم Taylor's formula, Taylor's polynomial, quadratic forms

• فرمول تیلور، مقدمه Taylor's formula, introduction

• اشکال درجه دوم و چند جمله ای تیلور درجه دوم Quadratic forms and Taylor's polynomial of second degree

• چند جمله ای درجه دوم تیلور، نظریه Taylor's polynomial of second degree, theory

• چند جمله ای درجه دوم تیلور، مثال 1 Taylor's polynomial of second degree, example 1

• چند جمله ای درجه دوم تیلور، مثال 2 Taylor's polynomial of second degree, example 2

• چند جمله ای درجه دوم تیلور، مثال 3 Taylor's polynomial of second degree, example 3

• طبقه بندی اشکال درجه دوم (مثبت قطعی و غیره) Classification of quadratic forms (positive definite etc)

• طبقه بندی اشکال درجه دوم، حل مسئله 1 Classification of quadratic forms, problem solving 1

• طبقه بندی اشکال درجه دوم، حل مسئله 2 Classification of quadratic forms, problem solving 2

• طبقه بندی اشکال درجه دوم، حل مسئله 3 Classification of quadratic forms, problem solving 3

بهینه سازی در دامنه های باز (نقاط بحرانی) Optimization on open domains (critical points)

• مقادیر شدید توابع چندین متغیر Extreme values of functions of several variables

• مقادیر شدید توابع دو متغیر، بدون محاسبات Extreme values of functions of two variables, without computations

• نقاط بحرانی و طبقه بندی آنها (حداکثر، حداقل، زین) Critical points and their classification (max, min, saddle)

• آزمون مشتق دوم برای توابع C^3 چندین متغیر Second derivative test for C^3 functions of several variables

• آزمون مشتق دوم برای توابع C^3 دو متغیر Second derivative test for C^3 functions of two variables

• نکات مهم و طبقه بندی آنها: چند مثال ساده Critical points and their classification: some simple examples

• نقاط بحرانی و طبقه بندی آنها: مثال های بیشتر 1 Critical points and their classification: more examples 1

• نقاط بحرانی و طبقه بندی آنها: مثال های بیشتر 2 Critical points and their classification: more examples 2

• نقاط بحرانی و طبقه بندی آنها: مثال های بیشتر 3 Critical points and their classification: more examples 3

• نقاط بحرانی و طبقه بندی آنها: مثال دشوارتر (4) Critical points and their classification: a more difficult example (4)

بهینه سازی در دامنه های فشرده Optimization on compact domains

• مقادیر بسیار زیاد برای توابع پیوسته در حوزه های فشرده Extreme values for continuous functions on compact domains

• یک متغیر در مرز را حذف کنید Eliminate a variable on the boundary

• مرز را پارامتر کنید Parameterize the boundary

ضریب های لاگرانژ (بهینه سازی با محدودیت ها) Lagrange multipliers (optimization with constraints)

• ضریب لاگرانژ 1 Lagrange multipliers 1

• ضرایب لاگرانژ 1، یک نمونه قدیمی که دوباره مورد بررسی قرار گرفت Lagrange multipliers 1, an old example revisited

• ضریب لاگرانژ 1، مثالی دیگر Lagrange multipliers 1, another example

• ضریب لاگرانژ 2 Lagrange multipliers 2

• ضریب لاگرانژ 2، یک مثال Lagrange multipliers 2, an example

• ضریب لاگرانژ 3 Lagrange multipliers 3

• ضریب لاگرانژ 3، یک مثال Lagrange multipliers 3, an example

• خلاصه: بهینه سازی Summary: optimization

سخنان پایانی Final words

• آخری The last one

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture