آموزش حساب 3 (حساب حسابان چند متغیره)، قسمت 2 از 2

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی Introduction

تکرار (انتگرال های ریمان، مجموعه ها در صفحه، منحنی ها) Repetition (Riemann integrals, sets in the plane, curves)

• تکرار انتگرال های ریمان 1 Riemann integrals repetition 1

• تکرار انتگرال های ریمان 2 Riemann integrals repetition 2

• تکرار انتگرال های ریمان 3 Riemann integrals repetition 3

• تکرار انتگرال های ریمان 4 Riemann integrals repetition 4

• تکرار انتگرال های ریمان 5 Riemann integrals repetition 5

• منحنی ها قسمت 1 کلی Curves part 1 general

• منحنی قسمت 2، طول قوس Curves part 2, arc length

• مجموعه در هواپیما Sets in the plane

انتگرال دوگانه Double integrals

• انتگرال های دوگانه، نشانه گذاری و برنامه های کاربردی Double integrals, notation and applications

• آوریل APR

• انتگرال دوگانه، تعریف در APR Double integrals, definition on APR

• انتگرال دوگانه، تعریف در حوزه های فشرده Double integrals, definition on compact domains

• انتگرال های چندگانه به طور کلی Multiple integrals generally

• ویژگی های انتگرال دوگانه Properties of double integrals

• انتگرال دوگانه با بازرسی 1 Double integrals by inspection 1

• توابع فرد Odd functions

• ادغام با بازرسی 2 Integration by inspection 2

• ادغام با بازرسی، مسئله 1 Integration by inspection, Problem 1

• ادغام با بازرسی، مسئله 2 Integration by inspection, Problem 2

• ادغام با بازرسی، مسئله 3 Integration by inspection, Problem 3

• ادغام با بازرسی، مسئله 4 Integration by inspection, Problem 4

• ادغام با تکرار، Fubini در APR Integration by iteration, Fubini on APR

• Fubini در APR، مسئله 1 Fubini on APR, Problem 1

• Fubini در APR، مسئله 2 Fubini on APR, Problem 2

• Fubini در آوریل، مسئله 3 Fubini on APR, Problem 3

• Fubini در آوریل، قانون برای محصولات Fubini on APR, rule for products

• Fubini در آوریل، مسئله 4 Fubini on APR, Problem 4

• Fubini در APR: مثالی که نظم مهم است Fubini on APR: an example where order matters

• ست های ساده X و Y X- and Y-simple sets

• ادغام با تکرار، Fubini در مجموعه های X- و Y-ساده Integration by iteration, Fubini on X- and Y-simple sets

• مشکل کلی فوبینی 1 Fubini general problem 1

• مشکل کلی فوبینی 2 Fubini general problem 2

• مشکل کلی فوبینی 3 Fubini general problem 3

• مشکل کلی فوبینی 4 Fubini general problem 4

• مشکل کلی فوبینی 5 Fubini general problem 5

• مشکل کلی فوبینی 6 Fubini general problem 6

• مشکل کلی فوبینی 7 Fubini general problem 7

• مشکل کلی فوبینی 8 Fubini general problem 8

تغییر متغیرها در انتگرال دوگانه Change of variables in double integrals

• چرا تغییر متغیرها، مقایسه Why change of variables, comparison

• ژاکوبین و تغییر عنصر مساحت پس از تعویض Jacobian and the change in area element after substitution

• یک فرمول برای هر دو تعویض One formula for both substitutions

• جایگزینی معکوس Inverse substitution

• تعویض مستقیم Direct substitution

• تغییر متغیرها، مسئله 3 Change of variables, problem 3

• تغییر متغیرها، مسئله 4 Change of variables, problem 4

• تغییر متغیرها، مسئله 5 Change of variables, problem 5

• تغییر متغیرها، مسئله 6 Change of variables, problem 6

• تغییر متغیرها، مسئله 7 Change of variables, problem 7

• انتگرال دوتایی، جمع بندی Double integrals, wrap-up

انتگرال های نامناسب Improper integrals

• انتگرال های نامناسب، تکرار Calc 2 Improper integrals, repetition Calc 2

• انتگرال دوگانه نامناسب Improper double integrals

• Calc 3 به Calc 2، مشکل 1 کمک می کند Calc 3 helps Calc 2, problem 1

• انتگرال های نامناسب، مشکل 2 Improper integrals, problem 2

• انتگرال های نامناسب، مسئله 3 Improper integrals, problem 3

• انتگرال های نامناسب، مسئله 4 Improper integrals, problem 4

• انتگرال های نامناسب، مسئله 5 Improper integrals, problem 5

• انتگرال های نامناسب، مسئله 6 Improper integrals, problem 6

• قضیه مقدار میانگین Mean value theorem

• قضیه مقدار میانگین، مثال 1 Mean value theorem, example 1

• قضیه مقدار میانگین، مثال 2 Mean value theorem, example 2

انتگرال های سه گانه Triple integrals

• انتگرال های سه گانه: نماد، تعریف و ویژگی ها Triple integrals: notation, definition and properties

• ادغام با بازرسی Integration by inspection

• فوبینی Fubini

• مشکل 1 Problem 1

• مشکل 2 Problem 2

• مشکل 3 Problem 3

• مشکل 4 Problem 4

• مساحت و حجم به روش های مختلف Area and volume in different ways

• حجم یک چهار وجهی Volume of a tetrahedron

تغییر متغیرها در انتگرال های سه گانه Change of variables in triple integrals

• تغییر متغیرها در انتگرال های سه گانه Change of variables in triple integrals

• تغییر متغیرها، مسئله 1 Change of variables, problem 1

• تغییر متغیرها، مسئله 2 Change of variables, problem 2

• تغییر متغیرها، مسئله 3 Change of variables, problem 3

• تغییر متغیرها، مسئله 4 Change of variables, problem 4

• تغییر متغیرها، مسئله 5 Change of variables, problem 5

• تغییر متغیرها، جمع بندی Change of variables, wrap-up

کاربردهای انتگرال های چندگانه Applications of multiple integrals

• کاربرد انتگرال های متعدد، مساحت و حجم Applications of multiple integrals, area and volume

• کاربردهای انتگرال های چندگانه، جرم Applications of multiple integrals, mass

• کاربردهای انتگرال های چندگانه، مرکز جرم، مرکز Applications of multiple integrals, mass centre, centroid

• کاربردهای انتگرال های متعدد، مساحت سطح Applications of multiple integrals, surface area

• مساحت سطح، مشکل 1 Surface area, problem 1

• مساحت سطح، مشکل 2 Surface area, problem 2

• مساحت سطح، مشکل 3 Surface area, problem 3

• مساحت سطح، مشکل 4 Surface area, problem 4

فیلدهای برداری Vector fields

• انواع مختلف توابع و تجسم آنها Different kinds of functions and their visualisation

• فیلدهای برداری، چند نمونه Vector fields, some examples

• فیلدهای برداری، تعریف، نماد، نمودار و دامنه Vector fields, definition, notation, plot and domain

• خطوط ساده Streamlines

• مشکل 1 را ساده می کند Streamlines problem 1

• مشکل 2 را ساده می کند Streamlines problem 2

• مشکل 3 را ساده می کند Streamlines problem 3

• مشکل 4 را ساده می کند Streamlines problem 4

• مشکل 5 را ساده می کند Streamlines problem 5

• مشکل 6 را ساده می کند Streamlines problem 6

زمینه های برداری محافظه کارانه Conservative vector fields

• آیا هر فیلد برداری یک گرادیان برای یک تابع است؟ محاسبات Is each vector field a gradient to some function? Computations.

• آیا هر فیلد برداری یک گرادیان برای یک تابع است؟ هندسه. Is each vector field a gradient to some function? Geometry.

• میدان های برداری محافظه کارانه و خطوط هم پتانسیل Conservative vector fields and equipotential lines

• قضیه شوارتز، یک تکرار Schwarz' theorem, a repetition

• هسیان مقابل ژاکوبیان Hessian vs Jacobian

• شرایط لازم برای زمینه های برداری محافظه کارانه The necessary conditions for conservative vector fields

• مثال 1: میدان الکترواستاتیک Example 1: electrostatic field

• مثال 2: میدان گرانشی Example 2: gravitational field

• میدان های برداری محافظه کارانه و پتانسیل های آنها، مسئله 1 Conservative vector fields and their potentials, problem 1

• میدان های برداری محافظه کارانه و پتانسیل های آنها، مسئله 2 Conservative vector fields and their potentials, problem 2

• میدان های برداری محافظه کارانه و پتانسیل های آنها، مسئله 3 Conservative vector fields and their potentials, problem 3

• میدان های برداری محافظه کارانه و پتانسیل های آنها، مسئله 4 Conservative vector fields and their potentials, problem 4

انتگرال خطی توابع Line integrals of functions

• انتگرال خط، نماد Line integrals, notation

• انتگرال های خطی توابع، کاربردها و خصوصیات Line integrals of functions, applications and properties

• انتگرال های خطی توابع، مسئله 1 Line integrals of functions, problem 1

• انتگرال های خطی توابع، مسئله 2 Line integrals of functions, problem 2

• انتگرال خطی توابع، مسئله 3 Line integrals of functions, problem 3

• انتگرال خطی توابع، مسئله 4 Line integrals of functions, problem 4

انتگرال های خطی فیلدهای برداری Line integrals of vector fields

• انتگرال های خطی فیلدهای برداری، نمادگذاری، تعریف و کاربرد Line integrals of vector fields, notation, definition and application

• انتگرال های خطی فیلدهای برداری، خواص Line integrals of vector fields, properties

• انتگرال های خطی از زمینه های برداری، مسئله 1 از تعریف Line integrals of vector fields, problem 1 from definition

• انتگرال های خطی از زمینه های برداری، مسئله 2 از تعریف Line integrals of vector fields, problem 2 from definition

• انتگرال خط فیلدهای برداری، مسئله 3 از تعریف Line integrals of vector fields, problem 3 from definition

• انتگرال های خطی میدان های برداری، فرمول دیفرانسیل Line integrals of vector fields, differential formula

• انتگرال های خطی میدان های برداری، فرمول دیفرانسیل، مسئله 4 Line integrals of vector fields, differential fomula, problem 4

• قضیه اساسی برای میدان های برداری محافظه کارانه Fundamental theorem for conservative vector fields

• استقلال مسیر انتگرال های خط Path independence of line integrals

• استقلال مسیر، مسئله 5 Path independence, problem 5

• استقلال مسیر، مسئله 6 Path independence, problem 6

• استقلال مسیر، مسئله 7 Path independence, problem 7

• استقلال مسیر، مسئله 8 Path independence, problem 8

• استقلال مسیر، مسئله 9 Path independence, problem 9

• انتگرال های خطی فیلدهای برداری، جمع بندی Line integrals of vector fields, wrap-up

سطوح Surfaces

• چرا سطوح و چه هستند Why surfaces and what they are

• روش های مختلف تعریف سطوح Different ways of defining surfaces

• مرز یک سطح؛ سطوح بسته و کامپوزیت Boundary of a surface; closed and composite surfaces

• بردار معمولی و جهت یک سطح Normal vector and orientation of a surface

• بردارهای معمولی به برخی از سطوح مهم Normal vectors to some important surfaces

• عنصر سطح، هم برای سطوح تعریف شده به عنوان نمودار و هم برای سطوح پارامتری Surface element, both for surfaces defined as graphs and parametric surfaces

انتگرال های سطحی Surface integrals

• انتگرال های سطحی: نشانه گذاری Surface integrals: notation

• انتگرال های سطحی توابع: تعریف و کاربردها Surface integrals of functions: definition and applications

• انتگرال های سطحی توابع: محاسبات و خواص Surface integrals of functions: computations and properties

• انتگرال های سطحی توابع، مسئله 1 Surface integrals of functions, problem 1

• انتگرال های سطحی توابع، مسئله 2 Surface integrals of functions, problem 2

• انتگرال های سطحی توابع، مسئله 3 Surface integrals of functions, problem 3

• انتگرال های سطحی توابع، مسئله 4 Surface integrals of functions, problem 4

سطوح جهت دار و انتگرال های شار Oriented surfaces and flux integrals

• جهت سطحی که با جهت مرز آن مطابقت دارد Orientation of a surface which agrees with orientation of its boundary

• انتگرال های شار: نماد، تعریف، محاسبات و برنامه های کاربردی Flux integrals: notation, definition, computations and applications

• انتگرال های شار: خواص Flux integrals: properties

• انتگرال های شار، مسئله 1 Flux integrals, problem 1

• انتگرال های شار، مسئله 2 Flux integrals, problem 2

• انتگرال های شار، مسئله 3 Flux integrals, problem 3

گرادیان، واگرایی و پیچ خوردگی Gradient, divergence and curl

• مشتقات: گرادیان، چرخش (پیچ)، واگرایی Derivatives: gradient, rotation (curl), divergence

• کرل، یک تفسیر: فیلدهای برداری غیر چرخشی Curl, an interpretation: irrotational vector fields

• چرخش (کول) یک میدان برداری سه بعدی، یک مثال Rotation (curl) of a 3D vector field, an example

• واگرایی، یک تفسیر; میدان های برداری سلونوئیدی Divergence, an interpretation; solenoidal vector fields

• قوانین محصول برای گرادیان، واگرایی و پیچ خوردگی Product rules for gradient, divergence and curl

• قانون محصول برای گرادیان Product rule for gradient

• قانون محصول برای واگرایی Product rule for divergence

• قانون محصول برای فر Product rule for curl

• پیچ هر فیلد برداری به صورت سلونوئیدی است. پتانسیل های برداری Curl of each vector field is solenoidal; vector potentials

• میدان های بردار محافظه کار غیر چرخشی هستند Conservative vector fields are irrotational

• لاپلاسی Laplacian

قضیه گرین در هواپیما Green's theorem in the plane

• قضیه گرین: سومین قضیه اساسی ما Green's theorem: our third fundamental theorem

• قضیه گرین: صورت بندی قضیه Green's theorem: formulation of the theorem

• قضیه گرین: اثبات Green's theorem: proof

• قضیه گرین: سه مسئله رایج و نحوه رسیدگی به آنها Green's theorem: three common issues and how to handle them

• قضیه گرین: مسئله 1 Green's theorem: problem 1

• قضیه گرین: مسئله 2 Green's theorem: problem 2

• قضیه گرین: مسئله 3 Green's theorem: problem 3

• قضیه گرین: مسئله 4 Green's theorem: problem 4

• قضیه گرین: مسئله 5 Green's theorem: problem 5

• میدان مغناطیسی و تکینگی های محصور کننده Magnetic field and enclosing singularities

• شرط لازم و کافی برای میدان های برداری محافظه کارانه (صفحه). Necessary and sufficient condition for (plane) conservative vector fields

• مساحت با کمک قضیه گرین Area with help of Green's theorem

قضیه گاوس (قضیه واگرایی) در 3 فضایی Gauss' theorem (Divergence theorem) in 3-space

• قضیه گاوس: چهارمین قضیه اساسی ما Gauss' theorem: our fourth fundamental theorem

• قضیه گاوس: صورت بندی قضیه Gauss' theorem: formulation of the theorem

• قضیه گاوس: اثبات Gauss' theorem: proof

• قضیه گاوس: سه مسئله رایج و نحوه رسیدگی به آنها Gauss' theorem: three common issues and how to handle them

• قضیه گاوس: مسئله 1 Gauss' theorem: problem 1

• قضیه گاوس: مسئله 2 Gauss' theorem: problem 2

• قضیه گاوس: مسئله 3 Gauss' theorem: problem 3

• قضیه گاوس: مسئله 4 Gauss' theorem: problem 4

• مثالی که در آن نمی توان قضیه گاوس را به کار برد An example where Gauss' theorem cannot be applied

• حجم یک مخروط Volume of a cone

قضیه استوکس Stokes' theorem

• قضیه استوکس: پنجمین قضیه اساسی ما Stokes' theorem: our fifth fundamental theorem

• قضیه استوکس: فرمول بندی Stokes' theorem: formulation

• قضیه استوکس: اثبات Stokes' theorem: proof

• قضیه استوکس: نحوه استفاده از آن Stokes' theorem: how to use it

• قضیه استوکس: چگونه کمک می کند. مثال 1 Stokes' theorem: how it helps; example 1

• قضیه استوکس: تأیید بر روی یک مثال (مثال 2) Stokes' theorem: verification on an example (example 2)

• قضیه استوکس: مثال 3 Stokes' theorem: example 3

• قضیه استوکس: استقلال سطح، مثال 4 Stokes' theorem: surface independence, example 4

• قضیه استوکس: انتگرال سطحی پیچش روی سطوح بسته، حوزه های منظم Stokes' theorem: surface integral of curl over closed surfaces, regular domains

• به سادگی مجموعه های متصل در فضا Simply connected sets in space

• شرط لازم و کافی برای میدان های برداری محافظه کارانه Necessary and sufficient condition for conservative vector fields

• قضیه استوکس، مسئله 1 Stokes' theorem, problem 1

• قضیه استوکس، مسئله 2 Stokes' theorem, problem 2

• قضیه استوکس، مسئله 3 Stokes' theorem, problem 3

• قضیه استوکس، مسئله 4 Stokes' theorem, problem 4

• قضیه استوکس، مسئله 5 Stokes' theorem, problem 5

• قضیه استوکس، مسئله 6 Stokes' theorem, problem 6

• قضیه استوکس برای محاسبات انتگرال سطح، پتانسیل برداری Stokes' theorem for computations of surface integrals, vector potentials

جمع بندی حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره/حساب 3، قسمت 2 از 2 Wrap-up Multivariable calculus / Calculus 3, part 2 of 2

• حساب 3، جمع بندی Calculus 3, wrap-up

• کلمات پایانی Final words

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture