جبر خطی و هندسه عملی

سرفصل ها و درس ها

مقدمه Introduction

• خوش آمدید Welcome

• در این دوره چه چیزی یاد خواهید گرفت؟ What you will learn at this course?

• مقدمه Introduction

ماتریس ها و حذف گاوسی Matrices and Gaussian Elimination

• مقدمه ای بر سیستم های خطی Introduction to Linear Systems

• ماتریس های تقویت شده Augmented Matrices

• هدف حذف گاوسی The Goal of The Gaussian Elimination

• فرم ردیف ردیف Row Echelon Form

• مراحل حذف گاوسی Steps of Gaussian Elimination

• روش گاوس-جردن Gauss-Jordan Method

• راه حل های بی اهمیت برای Ax=0 Trivial Solutions to Ax=0

• متغیرهای رایگان Free Variables

• یادداشت سریع. Quick Note.

• مثال 1 Example 1

• آزمون 1: حذف گاوسی Quiz 1: Gaussian Elimination

• تعاریف، تروم ها و اظهارات Definitions, Theroms and Remarks

• ماتریس های عملیات ابتدایی Matrices of Elementary Operations

• ماتریس جمع و تفریق Matrix Addition and Subtractions

• آزمون 2: جمع و تفریق ماتریس Quiz 2: Matrix Addition and Subtractions

• ضرب ماتریس Matrix Multiplication

• روش اول ضرب ماتریس First Method of Matrix Multiplication

• روش دوم ضرب ماتریس Second Method of Matrix Multiplication

• روش های بیشتر ضرب ماتریس و خواص ماتریس ها More Methods of Matrix Multiplication and Properties of Matrices

• آزمون 3: ضرب ماتریس Quiz 3: Matrix Multiplication

• جابجایی یک ماتریس، ماتریس های متقارن و ردیابی Transpose of a Matrix, Symmetric Matrices and Traces

• ماتریس ها و معکوس های معکوس Invertible Matrices and Inverses

• آزمون 4: ماتریس های معکوس و جابجایی Quiz 4: Invertible Matrices and Transpose

• تجزیه LU LU Decomposition

• مشکلات تمرین Practice Problems

• تست تمرین نهایی Final Practice Test

فضاهای برداری Vector Spaces

• مقدمه Introduction

• مثال 1 Example 1

• مثال 2 Example 2

• ویژگی های فضاهای برداری Properties of Vector Spaces

• آزمون 1: فضاهای برداری Quiz 1: Vector Spaces

• فضاهای فرعی Subspaces

• مثال 3 Examples 3

• تقاطع دو فضای فرعی Intersectiton of two Subspaces

• آزمون 2: فضاهای فرعی Quiz 2: Subspaces

• فضای ستون یک ماتریس Column Space of a Matrix

• فضای خالی یک ماتریس The Null Space of a Matrix

• آزمون 3: فضاهای فرعی یک ماتریس Quiz 3: Subspaces of a Matrix

• راه حل کامل برای Ax=b The complete solution to Ax=b

• بردارهای مستقل خطی Linearly Independent Vectors

• اساس یک فضای برداری Basis of a Vector Space

• آزمون 4: استقلال خطی و اساس Quiz 4: Linear Indepedence and Basis

• تصویر کامل فضاهای برداری Complete Picture of Vector Spaces

• نمودارها Graphs

• مشکلات تمرین Practice Problems

• تست تمرین نهایی Final Practice Test

متعامد بودن Orthogonality

• مقدمه Introduction

• زیر فضاهای متعامد Orthogonal Subspaces

• آزمون 1: زیر فضاهای متعامد Quiz 1: Orthogonal Subspaces

• پیش بینی ها Projections

• راه حل ممکن برای سیستم های ناسازگار Possible Solution to Inconsistent Systems

• حداقل مربع Least Square

• برگشت ناپذیری A^T*A Invertibility of A^T*A

• آزمون 2: حداقل مربع Quiz 2: Least Square

• بردارهای متحد متعامد Orthogonal Unite Vectors

• متعامدسازی گرام اشمیت Gram-Schmidt Orthogonalization

• مثال 1 Example 1

• مشکلات تمرین Practice Problems

• امتحان نهایی Final Quiz

عوامل تعیین کننده Determinants

• مقدمه Introduction

• ویژگی های دترمینان 01 Properties of Determinants 01

• مثال 1 Example 1

• مثال 2 Example 2

• ویژگی های دترمینان 02 Properties of Determinants 02

• مثال 3 Example 3

• آزمون 1: عوامل تعیین کننده Quiz 1: Determinants

• عوامل تعیین کننده ماتریس های 3x3 Determinants of 3x3 Matrices

• مثال 4 Example 4

• کوفاکتورها Cofactors

• مثال 5 Example 5

• آزمون 2: تعیین کننده های ماتریس 3x3 Quiz 2: Determinants of 3x3 Matrices

• تعیین کننده ماتریس های سه ضلعی Determinant of Tridiagonal Matrcies

• ماتریس های معکوس Invertible Matrcies

• مثال 6 Example 6

• آزمون 3: ماتریس های معکوس Quiz 3: Invertible Matrcies

• راه حل Ax = b Solution to Ax = b

• مثال 7 Example 7

• شهود هندسی عوامل تعیین کننده Geometric Intuition of determinants

• مشکلات تمرین Practice Problems

• امتحان نهایی Final Quiz

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Eigenvalues and Eigenvectors

• مقدمه Introduction

• مثال 1 Example 1

• محاسبه مقادیر ویژه Computing the Eigenvalues

• مثال 2 Example 2

• مثال 3 Example 3

• مثال 4 Example 4

• آزمون 1: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Quiz 1: Eigenvalues and Eigenvectors

• مقادیر ویژه متمایز Distinct Eigenvalues

• مورب سازی Diagonalization

• قدرت های یک ماتریس Powers of a Matrix

• نماگر یک ماتریس Exponent of a Matrix

• آزمون 2: مورب Quiz 2: Diagonalization

• مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس های متقارن Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Matrcies

• قضیه: ماتریس های متقارن Theorem: Symmetric Matrices

• مثال 5 Example 5

• مشکلات تمرین Practice Problems

• امتحان نهایی Final Quiz

ماتریس های قطعی مثبت Positive Definite Matrices

• مقدمه Introduction

• لماس Lemmas

• آزمون 1: ماتریس های قطعی مثبت Quiz 1: Positive Definite Matrices

• ماتریس های مشابه Similar Matrices

• ویژگی های ماتریس های مشابه Properties of Similar Matrices

• آزمون 2: ماتریس های مشابه Quiz 2: Similar Matrices

• تجزیه ارزش منفرد (SVD) Singular Value Decomposition (SVD)

تبدیل های خطی Linear Transformations

• مقدمه Introduction

• تابع تبدیل های خطی Function of Linear Transformations

• ماتریس تبدیل های خطی Matrix of Linear Transformations

• مثال 1 Example 1

• آزمون 1: تبدیل های خطی Quiz 1: Linear Transformations

• تغییر مبنا از طریق تبدیل های خطی Change of basis via Linear Transformations

• مثال 2 Example 2

• معکوس چپ، معکوس راست، معکوس پسودو Left-Inverse, Right-Inverse, Pesudo-Inverse