آموزش جبر چکیده: نظریه گروه با جادوگر ریاضی

سرفصل ها و درس ها

مقدمه ای بر عملیات باینری Introduction to Binary Operations

• تعریف عملیات باینری Definition of a Binary Operation

• Associate Binary Operations Associate Binary Operations

• اثبات یک عملیات باینری ارتباطی است Proving a Binary Operation is Associative

• تکلیف نظریه گروه 1 Group Theory Assignment 1

• راه حل های ویدئویی برای تئوری گروه تکلیف 1 Video Solutions to Group Theory Assignment 1

مقدمه ای بر گروه ها Introduction to Groups

• تعریف گروه با مثال Definition of a Group with Examples

• گروه خطی عمومی، گروه خطی ویژه و گروه C^n The General Linear Group, The Special Linear Group, and the Group C^n

• گروه جمعی اعداد صحیح Modulo n The Additive Group of Integers Modulo n

• چهار گروه کلاین The Klein Four-Group

• گروهی که در پاورست تعریف شده است A Group Defined on the Powerset

• اثبات یک مجموعه یک مثال گروهی 1 است Proving a Set is a Group Example 1

• تکلیف تئوری گروه 2 Group Theory Assignment 2

• راه حل های ویدئویی برای تئوری گروه تکلیف 2 Video Solutions to Group Theory Assignment 2

ویژگی های اساسی گروه ها Fundamental Properties of Groups

• اثبات منحصر به فرد بودن عنصر هویت Proof that the Identity Element is Unique

• اثبات منحصر به فرد بودن معکوس ها Proof that Inverses are Unique

• اثبات اینکه معکوس معکوس عنصر اصلی است Proof that the Inverse of the Inverse is the Original Element

• اثبات این که معکوس های یک طرفه معکوس هستند Proof that One Sided Inverses are Inverses

• تئوری گروه تکلیف 3 Group Theory Assignment 3

• راه حل های ویدئویی برای تئوری گروهی تکلیف 3 Video Solutions to Group Theory Assignment 3

• معکوس اثبات یک محصول از عناصر The Inverse of a Product of Elements Proof

• اثبات یک گروه آبلی است Proving a Group is Abelian

• تئوری گروه تکلیف 4 با راه حل های کتبی Group Theory Assignment 4 with Written Solutions

ترتیب یک عنصر The Order of an Element

• مقدمه ای بر ترتیب یک عنصر Introduction to the Order of an Element

• ترتیب یک عنصر مرتبه برهان معکوس است The Order of an Element is the Order of the Inverse Proof

• ترتیب یک عنصر نمونه اثبات The Order of an Element Sample Proof

• تئوری گروهی تکلیف 5 با راه حل های کتبی Group Theory Assignment 5 with Written Solutions

گروه های چرخه ای Cyclic Groups

• مقدمه ای بر گروه های چرخه ای Introduction to Cyclic Groups

• اگر x یک گروه ایجاد کند، اثبات معکوس نیز ایجاد می کند If x Generates a Group so does the Inverse Proof

• اثبات اینکه اعداد واقعی تحت جمع یک گروه چرخه ای نیست Proof that the Real Numbers under Addition is Not a Cyclic Group

• اثبات اینکه محصول مستقیم اعداد صحیح با خودش چرخه ای نیست Proof that the Direct Product of the Integers with Itself is not Cyclic

• هر گروه چرخه ای اثبات آبلی است Every Cyclic Group is Abelian Proof

• تئوری گروهی تکلیف 6 با راه حل های کتبی Group Theory Assignment 6 with Written Solutions

زیر گروه ها Subgroups

• معرفی زیرگروه ها Introduction to Subgroups

• اثبات یک مجموعه یک زیر گروه است Proving a Set is a Subgroup

• اثبات بسته بودن مجموعه خالی محدود تحت عملیات گروه یک زیر گروه است Proving a Finite Empty Set Closed Under the Group Operation is a Subgroup

• تقاطع دو زیر گروه یک زیر گروه است The Intersection of Two Subgroups is a Subgroup

• مرکز یک گروه یک اثبات زیرگروهی است The Center of a Group is a Subgroup Proof

• مرکز یک زیر گروه از گروه خطی عمومی The Center of a Subgroup of the General Linear Group

• تئوری گروه تکلیف 7 Group Theory Assignment 7

• اثبات تفصیلی برای تکلیف 7 مسئله شماره 1 Detailed Proof for Assignment 7 Problem #1

• اثبات تفصیلی برای تکلیف 7 مسئله شماره 2 Detailed Proof for Assignment 7 Problem #2

• اثبات تفصیلی برای تکلیف 7 مسئله شماره 3 Detailed Proof for Assignment 7 Problem #3

• اثبات تفصیلی برای تکلیف 7 مسئله شماره 4 Detailed Proof for Assignment 7 Problem #4

محصولات مستقیم گروه های چرخه محدود Direct Products of Finite Cyclic Groups

• محصولات مستقیم گروه های چرخه محدود قسمت 1 Direct Products of Finite Cyclic Groups Part 1

• محصولات مستقیم گروه های چرخه محدود قسمت 2 Direct Products of Finite Cyclic Groups Part 2

کارکرد Functions

• مقدمه ای بر توابع، دامنه، کدومین، تزریقی، سطحی، بیجکتیو Introduction to Functions, Domain, Codomain, Injective, Surjective, Bijective

• اثبات یک تابع Onto است (Surjective) Proving a Function is Onto(Surjective)

• اثبات یک تابع یک بیجکشن است Proving a Function is a Bijection

گروه های متقارن Symmetric Groups

• مقدمه ای بر گروه متقارن Introduction to the Symmetric Group

• مقدمه ای بر نمادگذاری چرخه Introduction to Cycle Notation

• نوشتن جایگشت در نماد چرخه Writing a Permutation in Cycle Notation

• تبدیل نماد چرخه به نماد آرایه Converting Cycle Notation to Array Notation

• ضرب جایگشت در نماد آرایه Multiplying Permutations in Array Notation

• ضرب چرخه مثال 1 Cycle Multiplication Example 1

• ضرب چرخه مثال 2 Cycle Multiplication Example 2

• ضرب چرخه مثال 3 Cycle Multiplication Example 3

• ضرب چرخه مثال 4 Cycle Multiplication Example 4

• ضرب چرخه مثال 5 Cycle Multiplication Example 5

روابط Relations

• روابط هم ارزی Equivalence Relations

• کلاس های هم ارزی یک مجموعه را تقسیم بندی می کنند Equivalence Classes Partition a Set

• رابطه هم ارزی در یک گروه Equivalence Relation on a Group

• Coset ها کلاس های هم ارزی هستند Cosets are Equivalence Classes

قضیه لاگرانژ و برخی پیامدهای مهم Lagrange's Theorem and Some Important Consequences

• اثبات قضیه لانگرانژ Proof of Langrange's Theorem

• نتیجه قضیه لاگرانژ مثال 1 Consequence of Lagrange's Theorem Example 1

• نتیجه قضیه لاگرانژ مثال 2 Consequence of Lagrange's Theorem Example 2

• نتیجه قضیه لاگرانژ مثال 3 Consequence of Lagrange's Theorem Example 3

کلاس های مزدوج Conjugacy Classes

• Conjugacy یک رابطه هم ارزی است Conjugacy is an Equivalence Relation

• نتیجه کلید کلاس conjugacy مثال 1 Conjugacy Class Key Result Example 1

• نتیجه کلید کلاس conjugacy مثال 2 Conjugacy Class Key Result Example 2

• معادله کلاس The Class Equation

• هر گروه p دارای مرکز غیرمعمولی است Every p-group has Nontrivial Center

Cosets Cosets

• پیدا کردن Cosets مثال 1 Finding the Cosets Example 1

• پیدا کردن Cosets مثال 2 Finding the Cosets Example 2

• پیدا کردن Cosets مثال 3 Finding the Cosets Example 3

زیرگروه های عادی Normal Subgroups

• زیر گروه های گروه های آبلیان عادی هستند Subgroups of Abelian Groups are Normal

• تقاطع زیرگروه های عادی نرمال است The Intersection of Normal Subgroups is Normal

• زیر گروه های شاخص 2 نرمال هستند Subgroups of Index 2 are Normal

• گروه کواترنیون The Quaternion Group

• محصول مستقیم زیرگروه های نرمال عادی است The Direct Product of Normal Subgroups is Normal

هممورفیسم های گروهی Group Homomorphisms

• هممورفیسم گروهی چیست؟ What is a Group Homomorphism?

• مقدمه ای بر ایزومورفیسم های گروهی Introduction to Group Isomorphisms

• هممورفیسم های گروه تزریقی و هسته Injective Group Homomorphisms and The Kernel

• صرف یک اتومورفیسم است Conjugation is an Automorphism

• تصویر معکوس یک زیر گروه Inverse Image of a Subgroup

• تصویر مستقیم از یک زیر گروه Direct Image of a Subgroup

• هسته هممورفیسم گروهی Kernel of a Group Homomorphism

• تصویر معکوس یک زیرگروه عادی Inverse Image of a Normal Subgroup

• تصویر اپی‌مورفیک از یک زیر گروه عادی Epimorphic Image of a Normal Subgroup

• ایزومورفیسم ها خاصیت آبلی بودن را حفظ می کنند Isomorphisms Preserve the Property of being Abelian

• ایزومورفیسم ها خاصیت چرخه ای بودن را حفظ می کنند Isomorphisms Preserve the Property of being Cyclic

• گروهی که به یک زیرگروه مناسب هم شکل است A Group that is Isomorphic to a Proper Subgroup

گروه های ضریب Quotient Groups

• یافتن گروه ضریب مثال 1 Finding the Quotient Group Example 1

• یافتن گروه ضریب مثال 2 Finding the Quotient Group Example 2

• یافتن گروه ضریب مثال 3 Finding the Quotient Group Example 3

• اگر G چرخه ای باشد، گروه ضریب نیز همینطور است If G is Cyclic so is the Quotient Group

• اگر G/N حلقوی و N در Z(G) باشد، G آبلی است. G is Abelian if G/N is Cylic and N is in Z(G)

قضایای ایزومورفیسم The Isomorphism Theorems

• اولین قضیه ایزومورفیسم The First Isomorphism Theorem

• قضیه دوم ایزومورفیسم The Second Isomorphism Theorem