آموزش حساب 1، قسمت 2 از 2: مشتقات با کاربردها

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی دوره Introduction to the course

• اول خبر خوب Good news first

• نرخ تغییر، شیب، و خطوط مماس Rates of change, slopes, and tangent lines

• مشتق در یک نقطه و مشتق به عنوان تابعی که شیب های متغیر را نشان می دهد Derivative at a point and derivative as a function that shows variable slopes

• چرا مشتقات مهم هستند Why derivatives are important

• معادلات دیفرانسیل: همه توابعی را که به روش خاصی تغییر می کنند را پیدا کنید Differential equations: find all the functions that change in a certain way

• توابع ابتدایی و مشتقات آنها: قوانین بیشتر و کمتر شهودی Elementary functions and their derivatives: more and less intuitive rules

• موضوعات پیشرفته در سری پیش حساب Advanced topics in the Precalculus series

تعریف مشتق با چند مثال و مثال Definition of the derivative, with some examples and illustrations

• اصطلاحات و نشانه گذاری Terminology and notation

• کجا می توان چیزهای Precalculus را برای تکرار پیدا کرد: خطوط مستقیم، نرخ تغییر Where to find Precalculus stuff for repetition: straight lines, rates of change

• در چه نوع نکاتی می خواهیم مشتقات را در نظر بگیریم In what kind of points we are going to consider derivatives

• تعریف مشتق در یک نقطه، تمایز پذیری توابع Definition of the derivative at a point, differentiability of functions

• چگونه معادلات خطوط مماس را پیدا کنیم؟ دو روش How to find equations for tangent lines? Two methods

• مشتقات توابع خطی، تمرین 1 Derivatives of linear functions, Exercise 1

• مشتقات توابع درجه دوم، تمرین 2 Derivatives of quadratic functions, Exercise 2

• مشتقات توابع درجه دوم، تمرین 3 Derivatives of quadratic functions, Exercise 3

• مشتق چند جمله ای مکعبی، تمرین 4 Derivative of a cubic polynomial, Exercise 4

• مشتق تابع جذر، تمرین 5 Derivative of the square root function, Exercise 5

• روش دیگر (معادل) برای تعریف مشتقات، تمرین 6 Another (equivalent) way of defining derivatives, Exercise 6

• تابعی که در نقطه ای قابل تمایز نیست، تمرین 7 A function that is not differentiable at some point, Exercise 7

• مقادیر مطلق و کاسپ: تعمیم تمرین 7 Absolute values and cusps: a generalisation of Exercise 7

• روش دیگری برای تعریف تمایزپذیری در یک نقطه Yet another way of defining differentiability at a point

• هر تابع متمایز پیوسته است، اما آیا برعکس آن درست است؟ Each differentiable function is continuous, but is the converse true?

• اختیاری: اثبات قسمت C1 از قضیه در ویدئو 21 Optional: Proof of the part C1 from the theorem in Video 21

• اختیاری: اثبات قسمت C2.1 از قضیه در ویدئو 21 Optional: Proof of the part C2.1 from the theorem in Video 21

• آیا قدر مطلق همیشه یک خبر بد برای تمایز پذیری جهانی است؟ مشکل 1 Is the absolute value always a bad news for global differentiability? Problem 1

• مشتقات توابع تکه ای، مسئله 2 Derivatives of piecewise functions, Problem 2

• شناخت مشتقات، مسئله 3 Recognising derivatives, Problem 3

• شناخت مشتقات، مسئله 4 Recognising derivatives, Problem 4

• شناخت مشتقات، مسئله 5 Recognising derivatives, Problem 5

• محاسبه مشتقات از تعریف، مسئله 6 Computing derivatives from the definition, Problem 6

• یکی از مشکلات مورد علاقه من، مسئله 7 One of my favourite problems, Problem 7

• مشتقات مرتبه بالاتر، تعریف و نماد Higher order derivatives, definition and notation

• تفسیر هندسی دیفرانسیل ها Geometric interpretation of differentials

• خطی سازی چیست و چرا برای شما خوب است What is linearization and why it is good for you

• خطی سازی به صورت محلی کار می کند، مسئله 8 Linearization works locally, Problem 8

استخراج مشتقات توابع ابتدایی Deriving the derivatives of elementary functions

• طرح ما Our plan

• مشتق تک‌جملات مونی (توابع توان 1)، روش 1 The derivative of monic monomials (power functions 1), method 1

• مشتق تک‌جملات مونی (توابع توان 1)، روش 2 The derivative of monic monomials (power functions 1), method 2

• مشتق ریشه ها (توابع قدرت 2)، روش 1 The derivative of roots (power functions 2), method 1

• مشتق توابع توان 3، روش 1 The derivative of power functions 3, method 1

• مشتق سینوس، روش 1 The derivative of sine, method 1

• مشتق کسینوس، روش 1 The derivative of cosine, method 1

• مشتق سینوس و کسینوس، روش 2 The derivative of sine and cosine, method 2

• مشتق معکوس سینوسی، روش 1 The derivative of sine inverse, method 1

• مشتق معکوس کسینوس The derivative of cosine inverse

• مشتق تابع نمایی The derivative of the exponential function

• مشتق لگاریتم طبیعی، روش 1 The derivative of the natural logarithm, method 1

• مشتق لگاریتم با هر پایه The derivative of logarithms with any base

• قواعد تمایز: قضیه اصلی Rules of differentiation: the main theorem

• تصویری برای قانون جمع An illustration for the Sum Rule

• برخی از تصاویر برای قانون محصول Some illustrations for the Product Rule

• سه روش برای نوشتن اثبات قانون جمع Three ways of writing a proof of the Sum Rule

• سه روش برای نوشتن اثبات قانون مقیاس بندی Three ways of writing a proof of the Scaling Rule

• خطی بودن عملگر دیفرانسیل و پیامدهای آن Linearity of the differential operator, and its consequences

• اثبات قانون محصول A proof of the Product Rule

• مشتقات چند جمله ای ها چند جمله ای هستند Derivatives of polynomials are polynomials

• اثبات قاعده ضریب (و متقابل). A proof of the Quotient (and Reciprocal) Rule

• مشتق توابع توان 3، روش 2 The derivative of power functions 3, method 2

• مشتقات توابع گویا، توابع گویا هستند Derivatives of rational functions are rational functions

• تعمیم قانون محصول A generalization of the Product Rule

• مشتق مماس The derivative of tangent

• مشتق تانژانت، روش 1 The derivative of arctangent, method 1

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 1 Some practice in differentiation, Exercise 1

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 2 Some practice in differentiation, Exercise 2

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 3 Some practice in differentiation, Exercise 3

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 4 Some practice in differentiation, Exercise 4

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 5 Some practice in differentiation, Exercise 5

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 6 Some practice in differentiation, Exercise 6

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 7 Some practice in differentiation, Exercise 7

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 8 Some practice in differentiation, Exercise 8

• کمی تمرین در تمایز، تمرین 9 Some practice in differentiation, Exercise 9

• مقداری تمرین در تمایز، تمرین 10 Some practice in differentiation, Exercise 10

• تمایز توابع تکه ای، تمرین 11 Differentiability of piecewise functions, Exercise 11

• مشتق سینوس آرگومان مقیاس شده The derivative of the sine of a scaled argument

• تمایز توابع تکه ای، تمرین 12 Differentiability of piecewise functions, Exercise 12

• صفرهای چند جمله ای و شکل های گرد نمودارها Multiple zeros of polynomials and the round shapes of the graphs

• یک مسئله بسیار جالب در مورد چند جمله ای ها، مسئله 1 A really cool problem about polynomials, Problem 1

• اونی که عکس داره، مسئله 2 The one with a picture, Problem 2

• پیدا کردن خط مماس، مسئله 3 Finding the tangent line, Problem 3

• از کجا می توان تمرین های بیشتری برای تمرین پیدا کرد. چند نکته و ترفند Where to find more exercises for practice; some hints and tricks

قانون زنجیره و نرخ های مرتبط The Chain Rule and related rates

• درباره این بخش؛ چند توصیه برای خواندن About this section; some reading recommendations

• تکرار از پیش حساب 1: ترکیب توابع Repetition from Precalculus 1: compositions of functions

• دگرگونی‌های نمودارها که شامل مقیاس‌بندی آرگومان است Transformations of graphs that involve scalings of the argument

• قاعده زنجیره ای: قضیه، مثال و برهان The Chain Rule: the theorem, an example, and a proof

• تعمیم قانون زنجیره و برخی موضوعات مرتبط A generalization of The Chain Rule and some related topics

• بازگشت به ویدیو 87 در پیش حساب 1 Back to Video 87 in Precalculus 1

• بازگشت به ویدیو 88 از Pre1: ترتیب توابع در یک ترکیب مهم است Back to Video 88 from Pre1: the order of functions in a composition is important

• مشتق توابع توان 3، روش 3 The derivative of power functions 3, method 3

• مشتق توابع توان 4 The derivative of power functions 4

• چند فرمول مفید از Precalculus 4 Some useful formulas from Precalculus 4

• مشتق توابع توان 5 The derivative of power functions 5

• مشتق توابع نمایی The derivative of exponential functions

• نه توابع نمایی و نه توابع توانی Neither exponential nor power functions

• بازگشت به برخی جزئیات از ویدیوهای 48 و 77 Back to some details from Videos 48 and 77

• قانون زنجیره ای، یک مثال The Chain Rule, an example

• نحوه رسیدگی به تمایز در موارد آسان و پیچیده How to handle differentiation in easy and complicated cases

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 1 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 1

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 2 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 2

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 3 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 3

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 4 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 4

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 5 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 5

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 6 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 6

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 7 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 7

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 8 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 8

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 9 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 9

• مقداری تمرین در تمایز (ChR)، تمرین 10 Some practice in differentiation (ChR), Exercise 10

• مشتقات توابع هذلولی، تمرین 11 Derivatives of hyperbolic functions, Exercise 11

• مشتقات توابع هذلولی معکوس، تمرین 12 Derivatives of inverse hyperbolic functions, Exercise 12

• نرخ های مرتبط و قانون زنجیره Related rates and The Chain Rule

• نرخ های مرتبط، مسئله 1 Related Rates, Problem 1

• نرخ های مرتبط، مسئله 2 Related Rates, Problem 2

• نرخ های مرتبط، مسئله 3 Related Rates, Problem 3

• نرخ های مرتبط، مسئله 4 Related Rates, Problem 4

• نرخ های مرتبط، مسئله 5 Related Rates, Problem 5

• تمرین بیشتر: در مقاله و کتاب More practice: in the article and in the book

مشتقات توابع معکوس Derivatives of inverse functions

• مشتق توابع معکوس به توابع متمایز، یک شهود Derivative of functions inverse to differentiable functions, an intuition

• مشتق توابع معکوس به توابع متمایز، قضیه Derivative of functions inverse to differentiable functions, the theorem

• مشتق توابع معکوس به توابع متمایز، مثال 1 Derivative of functions inverse to differentiable functions, Example 1

• مشتق معکوس، مثال 2 The derivative of an inverse, Example 2

• مشتق ریشه ها (توابع قدرت 2)، روش 2 The derivative of roots (power functions 2), method 2

• مشتق لگاریتم طبیعی، روش 2 The derivative of the natural logarithm, method 2

• مشتق معکوس سینوسی، روش 2 The derivative of sine inverse, method 2

• مشتق تانژانت، روش 2 The derivative of arctangent, method 2

• اختیاری: معادلات خط مستقیم را قطع کنید Optional: Intercept equations of straight line

• اختیاری: یک بیانیه نظری در مورد خطوط مماس Optional: A theoretical statement about tangent lines

• مشتق معکوس، مسئله 1 The derivative of an inverse, Problem 1

• مشتق معکوس، مسئله 2 The derivative of an inverse, Problem 2

• مشتق معکوس، مسئله 3 The derivative of an inverse, Problem 3

قضایای ارزش میانگین و قضایای مهم دیگر Mean value theorems and other important theorems

• بسیاری از نظریه ها که می توانند به روشی بسیار شهودی نشان داده شوند Lots of theory that can be illustrated in a very intuitive way

• مفاهیم حداکثر و حداقل برای توابع پیوسته محفوظ نیست The concepts of maximum and minimum are not reserved for continuous functions

• مفهوم یکنواختی مختص توابع پیوسته نیست The concept of monotonicity is not reserved for continuous functions

• لم در مورد مشتقات مثبت و منفی Lemma about positive and negative derivatives

• مقادیر مطلق و کاسپ: اثبات قسمت C2.2 از V21 Absolute values and cusps: proof of part C2.2 from V21

• قضیه فرما: شرط لازم برای اکستروم ها در نقاط داخلی Fermat's Theorem: Necessary condition for extremums at interior points

• نقاط بحرانی (ایستا) و نقاط منفرد. فلات ها Critical (stationary) points and singular points; plateaus

• قضیه رول: درباره وجود یک نقطه ثابت Rolle's Theorem: About existence of a stationary point

• قضیه رول، مثال 1 Rolle's Theorem, Example 1

• قضیه رول، مثال 2 Rolle's Theorem, Example 2

• قضیه مقدار میانگین (لاگرانژ) The Mean Value Theorem (Lagrange)

• قضیه لاگرانژ، مثال 1 Lagrange's Theorem, Example 1

• قضیه لاگرانژ، مثال 2 Lagrange's Theorem, Example 2

• قضیه لاگرانژ، مثال 3 Lagrange's Theorem, Example 3

• قضیه میانگین مقدار گسترده (کوشی) Extended Mean Value Theorem (Cauchy)

• خاصیت داربوکس برای مشتقات Darboux property for derivatives

• ویژگی Darboux برای مشتقات، چند نمونه Darboux property for derivatives, some examples

• درباره یکنواختی توابع متمایز About monotonicity of differentiable functions

• در مورد یکنواختی توابع متمایز، چند مثال About monotonicity of differentiable functions, some examples

• یکنواختی توابع نمایی Monotonicity of exponential functions

• بازگشت به مشتقات توابع معکوس، مسئله 4 Back to the derivatives of inverse functions, Problem 4

• توابع با مشتق برابر با صفر Functions with derivative equal to zero

• نتیجه در مورد توابعی که مشتق یکسانی در یک بازه دارند Corollary about functions that have the same derivative on an interval

• بازگشت به ویدیو 106: توضیح برخی از نکات ظریف در Corollary در V152 Back to Video 106: explaining some subtleties in the Corollary in V152

• بازگشت به ویدئو 107: توضیح برخی از نکات ظریف در Corollary در V152 Back to Video 107: explaining some subtleties in the Corollary in V152

• اختیاری: بازگشت به ویدیو 107. یک راه حل مبتنی بر مثلثات Optional: Back to Video 107; a trigonometry-based solution

کاربردها: یکنواختی و بهینه سازی Applications: monotonicity and optimisation

• شما همه آنچه را که باید در مورد یکنواختی و بهینه سازی بدانید می دانید You know everything you need to know about monotonicity and optimisation

• چند جمله ای ها: چند نمونه از پیش حساب 2 بازبینی شده است Polynomials: some examples from Precalculus 2 revisited

• اگر از تکمیل مربع متنفرید، چگونه راس سهمی را پیدا کنید؟ How to find the vertex of a parabola if you hate completing the square

• یک تابع منطقی، مسئله 1 از V220 در Calc1p1 A rational function, Problem 1 from V220 in Calc1p1

• یکی با دو ریشه مربع، مسئله 2 از V221 در Calc1p1 The one with two square roots, Problem 2 from V221 in Calc1p1

• یکی با آرکتتانژانت، مسئله 3 از V222 در Calc1p1 The one with arctangent, Problem 3 from V222 in Calc1p1

• در جایی که مشتق کمک زیادی نمی کند، مسئله 4 از V223 در Calc1p1 Where the derivative doesn't help much, Problem 4 from V223 in Calc1p1

• یکی با مجانب عمودی یک طرفه، مسئله 5 از V224 در Calc1p1 The one with a one-sided vertical asymptote, Problem 5 from V224 in Calc1p1

• اولین آزمون مشتق The First Derivative Test

• آزمون مشتق دوم The Second Derivative Test

• مقایسه بین دو آزمون: مزایا و معایب Comparison between two tests: advantages and disadvantages

• بهینه سازی توابع پیوسته در حوزه های فشرده و غیر فشرده Optimisation of continuous functions on compact and non-compact domains

• بهینه سازی، مسئله 1 Optimisation, Problem 1

• بهینه سازی، مسئله 2 Optimisation, Problem 2

• بهینه سازی، مسئله 3 Optimisation, Problem 3

• بهینه سازی، مسئله 4 Optimisation, Problem 4

• بهینه سازی، مسئله 5 Optimisation, Problem 5

• مقایسه اعداد، مسئله 6 Comparing numbers, Problem 6

• مقایسه اعداد، مسئله 7 Comparing numbers, Problem 7

تحدب و مشتقات دوم Convexity and second derivatives

• تحدب، تقعر، نقاط عطف Convexity, concavity, inflection points

• تحدب، تقعر، نقاط عطف: مثال های فراوان Convexity, concavity, inflection points: many examples

• تحدب، مسئله 1 Convexity, Problem 1

• تحدب، مسئله 2 Convexity, Problem 2

• تحدب، مسئله 3 Convexity, Problem 3

قانون l'Hôpital با برنامه های کاربردی l'Hôpital's rule with applications

• قاعده l'Hôpital، قضیه با یک برهان (در یک مقاله) l'Hôpital's rule, the theorem with a proof (in an article)

• قانون l'Hôpital، تمرین 1 l'Hôpital's rule, Exercise 1

• قانون l'Hôpital، تمرین 2 l'Hôpital's rule, Exercise 2

• قانون l'Hôpital، تمرین 3 l'Hôpital's rule, Exercise 3

• قانون l'Hôpital، تمرین 4 l'Hôpital's rule, Exercise 4

• قانون l'Hôpital، تمرین 5 l'Hôpital's rule, Exercise 5

• قانون l'Hôpital، تمرین 6 l'Hôpital's rule, Exercise 6

• قانون l'Hôpital، تمرین 7 l'Hôpital's rule, Exercise 7

• قانون l'Hôpital، تمرین 8 l'Hôpital's rule, Exercise 8

• قانون l'Hôpital، تمرین 9 l'Hôpital's rule, Exercise 9

مشتقات مرتبه بالاتر و مقدمه ای برای فرمول تیلور Higher order derivatives and an intro to Taylor's formula

• چرا می خواهیم توابع را با چند جمله ای ها تقریب کنیم Why we want to approximate functions with polynomials

• تک جملات مونیکی نزدیک به صفر Monic monomials closely to zero

• مشتقات مرتبه بالاتر را به خاطر دارید؟ عملکردهای صاف و کمتر صاف Remember higher-order derivatives? Smooth and less smooth functions

• چگونه یک چند جمله ای بسازیم که در نقطه ای مشتقات یکسانی با f داشته باشد How to construct a polynomial that has the same derivatives at some point as f

• چند جمله ای ماکلورین برای تابع نمایی Maclaurin polynomial for the exponential function

• چند جمله ای مکلارین برای سینوس Maclaurin polynomial for the sine

• چند جمله ای ماکلورین برای کسینوس Maclaurin polynomial for cosine

• چند جمله ای تیلور و آزمون مشتق دوم (و بیشتر!). Taylor polynomial and the Second (and more!) Derivative Test

• تقریب، یک مثال Approximation, an example

• محدود، یک مثال Limit, an example

• رابطه ترتیب در کلاس های توابع معرفی شده در V192 Order relation on the classes of functions introduced in V192

تمایز ضمنی Implicit differentiation

• صریح در مقابل ضمنی، مثال 0 Explicit versus implicit, Example 0

• تمایز ضمنی و نحوه کار آن Implicit differentiation and how it works

• یک مثال دیگر که به هر دو صورت قابل رسیدگی است، مثال 1 One more example easy to handle both ways, Example 1

• مشتق لگاریتم، روش 3 Derivative of the logarithm, method 3

• مشتق ریشه ها (توابع قدرت 2)، روش 3 The derivative of roots (power functions 2), method 3

• مشتق تانژانت، روش 3 Derivative of arctangent, method 3

• مشتق آرکسین، روش 3 Derivative of arcsine, method 3

• اونی که قلب داره The one with a heart

• بسیاری از مشکلات برای حل؛ از میان دو تای آنها عبور می کنیم Plenty of problems to solve; we walk through two of them

تمایز لگاریتمی Logarithmic differentiation

• تمایز لگاریتمی، مسئله 1 Logarithmic differentiation, Problem 1

• تمایز لگاریتمی، مسئله 2 Logarithmic differentiation, Problem 2

• تمایز لگاریتمی، مسئله 3 Logarithmic differentiation, Problem 3

• تمایز لگاریتمی، مسئله 4 Logarithmic differentiation, Problem 4

• تمایز لگاریتمی، مسئله 5 Logarithmic differentiation, Problem 5

(اختیاری/پیشرفته/آینده): بسیار مختصر در مورد مشتقات جزئی (Optional/advanced/future): Very briefly about partial derivatives

• توابع چندین متغیر Functions of several variables

• مشتقات جزئی، تمرین 1 Partial derivatives, Exercise 1

• مشتقات جزئی مرتبه بالاتر، تمرین 2 Higher-order partial derivatives, Exercise 2

(اختیاری/پیشرفته/آینده): بسیار مختصر در مورد ضد مشتقات (Optional/advanced/future): Very briefly about antiderivatives

• برگرداندن تمایز Reverting differentiation

• چند کلمه در مورد تکنیک های ادغام اصلی A word about main integration techniques

• مفیدتر از آن چیزی است که فکر می کنید It is more useful than you think

(اختیاری/پیشرفته/آینده): مقدمه ای بسیار کوتاه بر مبحث ODE (Optional/advanced/future): A very brief introduction to the topic of ODE

• انواع مختلف معادلات Various types of equations

• معادلات دیفرانسیل ذکر شده در پیش حساب 4 Differential equations mentioned in Precalculus 4

• حل در مقابل تأیید راه حل های ODE Solving versus verifying solutions to ODE

(اختیاری/آینده): مفاهیم پیشرفته‌تر بر اساس مفهوم مشتق (Optional/future): More advanced concepts built upon the concept of derivative

• بسیاری از موجودات مشتق مانند Plenty of derivative-like creatures

• چند جمله ای های چند متغیره تیلور Multivariate Taylor polynomials

• قضیه میانگین مقدار برای توابع چندین متغیر استفاده می شود Mean Value Theorem used for functions of several variables

حل مسئله: بهینه سازی Problem solving: optimisation

• بهینه سازی: یک بخش کاربردی Optimisation: a practical section

• بهینه سازی، مسئله 1 Optimisation, Problem 1

• بهینه سازی، مسئله 2 Optimisation, Problem 2

• بهینه سازی، مسئله 3 Optimisation, Problem 3

• بهینه سازی، مسئله 4 Optimisation, Problem 4

• بهینه سازی، مسئله 5 Optimisation, Problem 5

• بهینه سازی، مسئله 6 Optimisation, Problem 6

• اثبات نابرابری ها، مسئله 7 Proving inequalities, Problem 7

• اثبات نابرابری ها، مسئله 8 Proving inequalities, Problem 8

حل مسئله: رسم توابع Problem solving: plotting functions

• چگونه جدولی از تغییرات (نشانه) درست کنیم How to make a table of (sign) variations

• یک تکرار مختصر در مورد مجانب A brief repetition about asymptotes

• توابع رسم، مسئله 1 Plotting functions, Problem 1

• توابع رسم، مسئله 2 Plotting functions, Problem 2

• توابع رسم، مسئله 3 Plotting functions, Problem 3

• توابع رسم، مسئله 4 Plotting functions, Problem 4

• توابع رسم، مسئله 5 Plotting functions, Problem 5

• توابع رسم، مسئله 6 Plotting functions, Problem 6

• توابع رسم، مسئله 7 Plotting functions, Problem 7

• جمع بندی حساب 1 Wrap-up Calculus 1

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture