حساب 1، قسمت 2 از 2: مشتقات با کاربردها
حساب تک متغیری
S1. معرفی دوره
با محتوای این دوره و اهمیت حساب دیفرانسیل آشنا خواهید شد. هدف این بخش این نیست که همه جزئیات را به شما آموزش دهد (این در ادامه دوره آمده است) بلکه نشان دادن تصویر بزرگ به شما است.
S2. تعریف مشتق با چند مثال و مثال
شما یاد خواهید گرفت: تعریف رسمی مشتقات و تمایزپذیری. اصطلاحات و نشانه گذاری؛ تفسیر هندسی مشتق در یک نقطه. خطوط مماس و معادلات آنها. چگونه می توان برخی از مشتقات را مستقیماً از تعریف محاسبه کرد و نتیجه آن را همراه با نمودار تابع در سیستم مختصات مشاهده کرد. تداوم در مقابل تمایز پذیری؛ مشتقات مرتبه بالاتر؛ دیفرانسیل ها و تفسیر هندسی آنها. خطی سازی.
S3. استخراج مشتقات توابع ابتدایی
شما یاد خواهید گرفت: چگونه فرمول های مشتقات توابع ابتدایی اصلی را استخراج کنید: تابع ثابت، تک اسم های مونی، ریشه ها، توابع مثلثاتی و معکوس، توابع نمایی، توابع لگاریتمی، و برخی از توابع توان (بیشتر در ادامه آمده است. بخش بعدی)؛ چگونه می توان قانون جمع، قانون مقیاس بندی، قانون محصول و قانون ضریب را برای مشتقات اثبات و اعمال کرد، و چگونه از این قوانین برای متمایز کردن تعداد زیادی از توابع ابتدایی جدید تشکیل شده از توابع پایه استفاده کرد. تمایز توابع تکه ای پیوسته با کمک توابع ابتدایی تعریف شده است.
S4. قانون زنجیره و نرخ های مرتبط
شما یاد خواهید گرفت: چگونه مشتقات توابع مرکب را با استفاده از قانون زنجیره محاسبه کنید. برخی از تصاویر و اثبات قانون زنجیره ای. مشتقات فرمول های مشتقات یک نوع کلی تر از توابع توان، و توابع نمایی با پایه متفاوت از e. نحوه حل برخی از انواع مشکلات مربوط به نرخ های مرتبط (مشکلاتی که با کمک قانون زنجیره ای قابل حل هستند).
S5. مشتقات توابع معکوس
شما یاد خواهید گرفت: فرمول مشتق یک تابع معکوس به یک تابع معکوس قابل تفکیک تعریف شده در یک بازه (با یک شهود هندسی/مثلثی بسیار خوب در پشت آن). برخی از فرمولهایی که قبلاً در دوره استخراج شدهاند را مجدداً بررسی خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که چگونه میتوان با کمک قضیه جدید انگیزه ایجاد کرد، اما شما همچنین نمونههای دیگری از کاربرد این قضیه را خواهید دید.
S6. قضایای مقدار میانگین و سایر قضایای مهم
شما یاد خواهید گرفت: قضایای مختلفی که نقش مهمی برای کاربردهای بعدی دارند: قضایای مقدار میانگین (لاگرانژ، کوشی)، ویژگی داربوکس، قضیه رول، قضیه فرما. فرمولبندیها، اثباتها، تفاسیر شهودی/هندسی، مثالهایی از کاربردها، اهمیت مفروضات مختلف را خواهید آموخت. شما برخی از اصطلاحات جدید مانند CP (نقطه بحرانی، به نام نقطه ثابت) و نقطه مفرد را یاد خواهید گرفت. تعاریف ماکزیمم/حداقل نسبی و جهانی/حداکثر مطلق/حداقل از پیش حساب 1 تکرار خواهد شد تا بتوانیم از آنها در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کنیم (آنها به صورت عملی تر در بخش های 7 و 17 مورد بحث قرار خواهند گرفت، و 18).
S7. کاربردها: یکنواختی و بهینه سازی
شما یاد خواهید گرفت: چگونه نتایج بخش قبل را در تنظیمات کاربردی تر مانند بررسی یکنواختی توابع قابل تمایز و بهینه سازی توابع (عمدتاً پیوسته) اعمال کنید. آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم برای طبقه بندی CP (نقاط بحرانی) توابع قابل تمایز.
S8. تحدب و مشتقات دوم
شما یاد خواهید گرفت: چگونه با کمک مشتق دوم تعیین کنید که آیا یک تابع در یک بازه محدب مقعر است یا خیر. نقاط عطف و نحوه مشاهده آنها در نمودار توابع. مفهوم تحدب یک مفهوم کلی است، اما در اینجا ما آن را فقط برای دو برابر توابع قابل تمایز اعمال می کنیم.
S9. قانون l'Hôpital با برنامه های کاربردی
میآموزید: از قانون l'Hôpital برای محاسبه حدود اشکال نامشخص استفاده کنید. در مقاله ای که به اولین ویدیوی این بخش پیوست شده است، مدرک بسیار دقیقی دریافت می کنید.
S10. مشتقات مرتبه بالاتر و مقدمه ای برای فرمول تیلور
شما خواهید آموخت: در مورد کلاس های توابع با ارزش واقعی یک متغیر واقعی: C^0، C^1، ...، C^∞ و برخی از اعضای برجسته این کلاس ها. اهمیت چندجمله ای های تیلور/مکلارین و شکل آنها برای تابع نمایی، برای سینوس و برای کسینوس. شما فقط یک نگاه اجمالی به این موضوعات خواهید داشت، زیرا آنها معمولاً بخشی از حساب 2 هستند.
S11. تمایز ضمنی
شما خواهید آموخت: چگونه مشتق y'(x) را از یک رابطه ضمنی F(x,y)=0 با ترکیب قوانین مختلف برای تمایز پیدا کنید. نمونه هایی از منحنی ها را خواهید دید که با روابط ضمنی توصیف شده اند، اما مطالعه آنها در این درس گنجانده نشده است (معمولاً در "هندسه جبری"، "هندسه دیفرانسیل" یا "هندسه و توپولوژی" مطالعه می شود؛ موضوع نیز تا حدی در "حساب 3 (حساب حسابان چند متغیره)، قسمت 1 از 2": قضیه تابع ضمنی).
S12. تمایز لگاریتمی
خواهید آموخت: چگونه تمایز لگاریتمی را انجام دهید و در چه نوع مواردی اعمال آن عملی است.
S13. به طور خلاصه در مورد مشتقات جزئی
شما خواهید آموخت: چگونه مشتقات جزئی را به توابع چند متغیره محاسبه کنید (فقط یک مقدمه).
S14. به طور خلاصه در مورد آنتی مشتقات
شما خواهید آموخت: در مورد کاربرد فوق العاده انتگرال ها و در مورد تکنیک های اصلی ادغام.
S15. مقدمه ای بسیار کوتاه بر مبحث ODE
میآموزید: چند چیز بسیار اساسی در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی.
S16. مفاهیم پیشرفتهتر بر اساس مفهوم مشتق
ساخته شدهاندشما خواهید آموخت: در مورد برخی از مفاهیم پیشرفته تر مبتنی بر مفهوم مشتق: مشتق جزئی، گرادیان، ژاکوبین، هسی، مشتق توابع با ارزش برداری، واگرایی، چرخش (کمپی).
S17. حل مسئله: بهینه سازی
میآموزید: چگونه مسائل بهینهسازی را حل کنید (در بخش 7 تمرین کنید).
S18. حل مسئله: رسم توابع
یاد خواهید گرفت: چگونه جدول تغییرات (علامت) تابع و مشتقات آن را بسازید. شما در ترسیم توابع تمرین زیادی دارید (موضوع تا حدی در "حساب 1، بخش 1 از 2: محدودیت ها و تداوم" پوشش داده شده است و در بخش های 6-8 دوره حاضر تکمیل شده است).
S19. موارد اضافی
درباره همه دورههایی که ارائه میدهیم یاد خواهید گرفت. همچنین نگاهی اجمالی به برنامههای ما برای دورههای آینده، با تاریخهای انتشار تقریبی (بسیار فرضی!) خواهید داشت.
مطمئن شوید که با استاد خود بررسی کرده اید که چه بخش هایی از دوره برای امتحان نهایی خود نیاز دارید. چنین مواردی از کشوری به کشور دیگر، از دانشگاهی به دانشگاه دیگر متفاوت است، و حتی ممکن است از سالی به سال دیگر در همان دانشگاه متفاوت باشد.
شرح مفصلی از محتوای دوره به همراه تمامی 245 ویدئو و عنوان آنها و با متون تمامی 330 مشکل حل شده در این دوره در فایل منبع ارائه شده است
"001 List_of_all_Videos_and_Problems_Calculus_1_p2.pdf"
در ویدیوی 1 ("مقدمه ای بر دوره"). این محتوا در ویدیوی 1 نیز ارائه شده است.
Hania Uscka-Wehlou
معلم دانشگاه در ریاضیات، PhDI یک ریاضیدان چند زبانه با اشتیاق به آموزش ریاضیات است. من همیشه سعی میکنم سادهترین توضیحات ممکن را برای مفاهیم و نظریههای ریاضی، تا حد امکان، با تصاویر و با انگیزههای هندسی پیدا کنم. من به عنوان مدرس ارشد ریاضیات در دانشگاه اوپسالا (از آگوست 2017 تا آگوست 2019) و در دانشگاه Mälardalen (از آگوست 2019 تا مه 2021) در سوئد کار کردم، اما به کار دائم خود پایان دادم تا بتوانم دوره هایی را برای Udemy ایجاد کنم. زمان. من اصالتاً اهل لهستان هستم که در آنجا ریاضیات نظری خواندم و مدارک آموزشی را در دانشگاه کوپرنیک در تورون (1992-1997) دریافت کردم. قبل از آن، من در یک کلاس ریاضی در دبیرستان "لیسه چهارم" در تورون از یک آموزش ریاضی بسیار دقیق لذت بردم، که زمینه بسیار محکمی برای هر چیز دیگری که بعدا آموختم و تدریس کردم به من داد. پایان نامه دکتری من (2009) در دانشگاه اوپسالا در سوئد با عنوان "خطوط دیجیتال، کلمات استورمیان و کسرهای ادامه دار" بود.
نمایش نظرات