آموزش ریاضیات گسسته برای علوم کامپیوتر و مهندسی - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

روش‌های اثبات Proof Methods

• درباره ریاضیات گسسته About Discrete Mathematics

• مرور کلی: روش‌های اثبات Overview: Proof Methods

• گزاره‌ها، جداول دلیل و رابط‌های منطقی Propositions, Truth Tables, and Connectives

• شرطی، عکس، نقیض و معکوس Conditional, Converse, Contrapositive, and Inverse

• برابری‌های منطقی Logical Equivalences

• گزاره‌ها و سورها Predicates and Quantifiers

• نفی عبارت‌های دارای سور و سورهای تو در تو Negating Quantified Expressions and Nested Quantifiers

• قواعد استنتاج Rules of Inference

• اصطلاحات اثبات Proof Terminology

• اثبات مستقیم Direct Proof

• اثبات غیرمستقیم Indirect Proof

• اثبات بدیهی و تهی Trivial and Vacuous Proof

• جمع‌بندی: روش‌های اثبات Wrap-Up: Proof Methods

سایر روش‌های اثبات، دنباله‌ها و مجموع‌ها More Proof Methods, Sequences, and Summations

• سایر روش‌های اثبات و مغالطات More Proof Methods and Fallacies

• اثبات به روش تناقض Proof by Contradiction

• اثبات وجودی سازنده Constructive Existence Proof

• اثبات وجودی غیرسازنده Nonconstructive Existence Proof

• اثبات به روش موارد Proof by Cases

• مثال‌های نقض و مغالطات رایج Counterexamples and Common Fallacies

• مقدمه‌ای بر استقرا Introduction to Induction

• نوشتن اثبات‌ها با استفاده از استقرای ریاضی Writing Proofs Using Mathematical Induction

• استقرای قوی Strong Induction

• نوشتن اثبات‌ها با استفاده از استقرای قوی Writing Proofs Using Strong Induction

• مقدمه‌ای بر دنباله‌ها و مجموع‌ها Introduction to Sequences and Summations

• تصاعد حسابی و هارمونیک Arithmetic and Harmonic Progression

• تصاعد هندسی Geometric Progression

• جمع‌بندی: روش‌های اثبات، دنباله‌ها و مجموع‌ها Wrap-Up: Proof Methods, Sequences, and Summations

مجموعه‌ها و توابع Sets and Functions

• مقدمه‌ای بر فصل Introduction to the Module

• مبانی نظریه مجموعه‌ها Fundamentals of Set Theory

• زیرمجموعه‌ها و برابری مجموعه‌ها Subsets and Equality of Sets

• مجموعه تهی و مجموعه توانی Null Set and Power Set

• کاردینالیته و ضرب دکارتی Cardinality and Cartesian Products

• عملیات روی مجموعه‌ها: بخش اول Set Operations: Part 1

• عملیات روی مجموعه‌ها: بخش دوم Set Operations: Part 2

• هم‌نهشتی‌های مجموعه‌ای: بخش اول Set Identities: Part 1

• هم‌نهشتی‌های مجموعه‌ای: بخش دوم Set Identities: Part 2

• نمایش کامپیوتری مجموعه‌ها Computer Representation of Sets

• مقدمه‌ای بر توابع Introduction to Functions

• توابع کف و سقف Floor and Ceil Functions

• توابع یک‌به-یک و پوشا Injective and Surjective Functions

• توابع یک‌به-یک و پوشا (بیژکتیو) Bijective Functions

• عملگرهای تابع: بخش اول Function Operators: Part 1

• عملگرهای تابع: بخش دوم Function Operators: Part 2

• جمع‌بندی فصل: مجموعه‌ها و توابع Module Wrap-Up: Sets and Functions

روابط و مجموعه‌های شمارش‌پذیر Relations and Countable Sets

• مقدمه‌ای بر مجموعه‌های شمارش‌پذیر Introduction to Countable Sets

• مجموعه‌های شمارش‌ناپذیر Uncountable Sets

• شمارش‌پذیری مجموعه‌ها: مثال‌ها Countability of Sets: Examples

• مقدمه‌ای بر روابط Introduction to Relations

• روابط معکوس و مکمل Inverse and Complementary Relations

• ویژگی‌های روابط: بخش اول Properties of Relations: Part 1

• ویژگی‌های روابط: بخش دوم Properties of Relations: Part 2

• روابط مرکب Composite Relations

• روابط n-تایی n-ary Relations

• نمایش روابط Representation of Relations

• بستار روابط Closure of Relations

• کاربردهای روابط: بخش اول Applications of Relations: Part 1

• کاربردهای روابط: بخش دوم Applications of Relations: Part 2

• کاربردهای روابط: بخش سوم Applications of Relations: Part 3

• جمع‌بندی فصل: روابط و مجموعه‌های شمارش‌پذیر Module Wrap-Up: Relations and Countable Sets

روابط هم‌ارزی و ترتیب جزئی Equivalence and Partial Ordered Relations

• مقدمه‌ای بر روابط هم‌ارزی Introduction to Equivalence Relations

• مثال‌هایی از روابط هم‌ارزی Examples of Equivalence Relations

• افراز یک مجموعه Partitions of a Set

• کلاس‌های هم‌ارزی و افرازها: بخش اول Equivalent Classes and Partitions: Part 1

• کلاس‌های هم‌ارزی و افرازها: بخش دوم Equivalent Classes and Partitions: Part 2

• کلاس‌های هم‌ارزی و افرازها: بخش سوم Equivalent Classes and Partitions: Part 3

• رابطه هم‌ارزی برای افراز یک مجموعه Equivalence Relation for Partition of a Set

• مقدمه‌ای بر روابط ترتیب جزئی Introduction to Partial Order Relations

• مجموعه‌های دارای ترتیب کامل Totally Ordered Sets

• نمودار هاسه Hasse Diagram

• عناصر بیشینه و کمینه Maximal and Minimal Elements

• کران‌های بالا و پایین: بخش اول Upper and Lower Bounds: Part 1

• کران‌های بالا و پایین: بخش دوم Upper and Lower Bounds: Part 2

• لتیس (شبکه) Lattice

• ویدیو جمع‌بندی فصل: روابط هم‌ارزی و ترتیب جزئی Module Wrap-Up Video: Equivalence and Partial Ordered Relations

تکنیک‌های شمارش Counting Techniques

• مقدمه‌ای بر ترکیبیات و شمارش Introduction to Combinatorics and Counting

• قاعده ضرب تعمیم‌یافته The Extended Product Rule

• شمارش زیرمجموعه‌های یک مجموعه متناهی Counting Subsets of a Finite Set

• قاعده جمع The Sum Rule

• قاعده جمع و ضرب: یک مثال The Sum and Product Rule: An Example

• اصل شمول و عدم شمول The Inclusion-Exclusion Principle

• اصل لانه کبوتر: بخش اول The Pigeonhole Principle: Part 1

• اصل لانه کبوتر: بخش دوم The Pigeonhole Principle: Part 2

• اصل لانه کبوتر تعمیم‌یافته: بخش اول Generalized Pigeonhole Principle: Part 1

• اصل لانه کبوتر تعمیم‌یافته: بخش دوم Generalized Pigeonhole Principle: Part 2

• جایگشت‌ها: بخش اول Permutations: Part 1

• جایگشت‌ها: بخش دوم Permutations: Part 2

• ترتیبیات: بخش اول Combinations: Part 1

• ترتیبیات: بخش دوم Combinations: Part 2

• ویدیو جمع‌بندی فصل: تکنیک‌های شمارش Module Wrap-Up Video: Counting Techniques

توابع بازگشتی و روابط بازگشتی Recursive Functions and Recurrence Relations

• مقدمه‌ای بر تعریف‌های بازگشتی Introduction to Recursive Definitions

• توابع تعریف شده به صورت بازگشتی: بخش اول Recursively Defined Functions: Part 1

• توابع تعریف شده به صورت بازگشتی: بخش دوم Recursively Defined Functions: Part 2

• مجموعه‌های تعریف شده به صورت بازگشتی Recursively Defined Sets

• استقرای ساختاری Structural Induction

• مثال‌هایی از اثبات‌ها با استقرای ساختاری: بخش اول Examples of Proofs Using Structural Induction: Part 1

• مثال‌هایی از اثبات‌ها با استقرای ساختاری: بخش دوم Examples of Proofs Using Structural Induction: Part 2

• مقدمه‌ای بر روابط بازگشتی Introduction to Recurrence Relations

• مثال‌هایی از روابط بازگشتی: بخش اول Examples of Recurrence Relations: Part 1

• مثال‌هایی از روابط بازگشتی: بخش دوم Examples of Recurrence Relations: Part 2

• مثال‌هایی از روابط بازگشتی: بخش سوم Examples of Recurrence Relations: Part 3

• روابط بازگشتی خطی Linear Recurrence Relations

• حل روابط بازگشتی خطی: بخش اول Solving Linear Recurrence Relations: Part 1

• حل روابط بازگشتی خطی: بخش دوم Solving Linear Recurrence Relations: Part 2

• جمع‌بندی فصل: توابع بازگشتی و روابط بازگشتی Module Wrap–Up: Recursive Functions and Recurrence Relations

مقدمه‌ای بر گراف‌ها Introduction to Graphs

• مقدمه‌ای بر مدل‌سازی محیط‌های واقعی با گراف‌ها Introduction to Modeling Real-World Settings with Graphs

• تعاریف گراف‌ها Definitions of Graphs

• اصطلاحات گراف‌های بدون جهت Undirected Graphs Terminology

• اصطلاحات گراف‌های جهت‌دار Directed Graphs Terminology

• زیرگراف‌ها Subgraphs

• نمایش گراف‌ها: لیست مجاورتی Representing Graphs: Adjacency Lists

• نمایش گراف‌ها: ماتریس مجاورتی و ماتریس وقوع Representing Graphs: Adjacency Matrices and Incidence Matrices

• برخی گراف‌های ساده خاص Some Special Simple Graphs

• گراف‌های دوپاشتی Bipartite Graphs

• تطبیق‌ها Matchings

• ایزومورفیسم گراف‌ها Isomorphism of Graphs

• جمع‌بندی فصل: مقدمه‌ای بر گراف‌ها Module Wrap–Up: Introduction to Graphs

مباحث پیشرفته گراف‌ها، مسیرها و اتصال Advanced Topics on Graphs, Paths, and Connectivity

• مبانی اتصال گراف: مسیرها، دورها و مسیرهای ساده Basics of Graph Connectivity: Paths, Cycles, and Simple Paths

• اتصال در گراف‌های بدون جهت Connectedness in Undirected Graphs

• اتصال در گراف‌های جهت‌دار Connectedness in Directed Graphs

• مسیرها و دورهای اویلر Euler Paths and Circuits

• مسیرها و دورهای هامیلتون Hamilton Paths and Circuits

• گراف‌های پلانار و فرمول اویلر Planar Graphs and Euler’s Formula

• رنگ‌آمیزی گراف Graph Coloring

• جمع‌بندی فصل: مباحث پیشرفته گراف‌ها، مسیرها و اتصال Module Wrap–Up: Advanced Topics on Graphs, Paths, and Connectivity

درخت‌ها و ساختارهای جبری پایه Trees and Basic Algebraic Structures

• مدل‌سازی محیط‌های واقعی به عنوان درخت Modeling Real-World Settings as Trees​

• درخت‌ها و درخت‌های ریشه‌دار Trees and Rooted Trees

• ویژگی‌های درخت‌ها Properties of Trees

• درخت‌های پوشا Spanning Trees

• یافتن درخت پوشای کمینه با الگوریتم پریم Finding Minimum Spanning Trees with Prim's Algorithm

• یافتن درخت پوشای کمینه با الگوریتم کروسکال Finding Minimum Spanning Trees with Kruskal's Algorithm

• انتزاع و جبر انتزاعی Abstraction and Abstract Algebra

• نیم‌گروه‌ها و مونویدها Semi-Groups and Monoids

• گروه‌ها Groups

• زیرگروه‌ها Subgroups

• حلقه‌ها Rings

• جمع‌بندی: درخت‌ها و ساختارهای جبری پایه Wrap–Up: Trees and Basic Algebraic Structures