آموزش استاد حساب تغییرات و روش‌های پیشرفته ریاضی - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

معادلات لاگرانژی، همیلتونی، حرکت + مسائل Lagrangian, Hamiltonian, Equations of motions + Problems

• اصل کمترین عمل Principle of least action

• اصل تغییرات مشتق شده از قانون دوم نیوتن Variation principle derived from Newton's second law

• همیلتونی Hamiltonian

• مسئله ۱: آونگ دوگانه problem 1: double pendulum

• مسئله ۲: آونگ ساده problem 2: simple pendulum

• مسئله ۳: آونگ ساده متصل به دایره problem 3: simple pendulum attached to circle

• مسئله ۴: سیستم میله‌ها problem 4: system of rods

مسائل مربوط به قوانین پایستگی و ملاحظات نظری در مورد قضیه رینولدز Problems on Conservation laws and theoretical considerations on Reynolds theorem

• مسئله ۵: ذره‌ای که در یک میدان پتانسیل حرکت می‌کند problem 5: particle moving in a potential field

• مسئله ۶: ممنتوم زاویه‌ای در مختصات استوانه‌ای problem 6: angular momentum in cylindrical coordinates

• مسئله ۷: تقارن مارپیچی problem 7: helical symmetry

• بینش‌هایی درباره قوانین پایستگی: قضیه رینولدز، مشتقات انتگرال‌های حجمی Insights on conservation laws: Reynolds theorem, Derivatives of Volume integrals

قضیه لیوویل، تبدیلات کانونی، براکت‌های پواسون Liouville theorem, canonical transformations, Poisson brackets

• مختصات کانونی Canonical coordinates

• اثبات ریاضی قضیه لیوویل Mathematical proof of Liouville theorem

• تبدیلات کانونی و توابع مولد Canonical transformations and generating functions

• معادلات همیلتون از اصل تغییرات Hamilton equations from a variational principle

• اثبات ساده قضیه لیوویل Simple proof of Liouville's theorem

• براکت‌های پواسون و قیاس با مکانیک کوانتومی Poisson brackets and analogies with Quantum Mechanics

اصل مپرتی، منحنی براکیستوکون، معادله کلاسیک ژاکوبی Maupertuis principle, the Brachistochrone curve, Classical Jacobi equation

• اصل مپرتی Maupertuis principle

• یافتن منحنی که زمان سفر از نقطه A به نقطه B را به حداقل می‌رساند Finding the curve which minimizes the time to travel from point A to point B

• اطلاعات بیشتر در مورد مکانیک همیلتونی، توابع مولد، تبدیلات کانونی More on Hamiltonian mechanics, generating functions, canonical transformations

تانسورها توضیح داده شده توسط مقالات انیشتین + تمرینات Tensors explained by Einstein's papers + exercises

• مقدمه‌ای بر بخش تانسورها Intro to the section on tensors

• مروری بر چگونگی تغییر قوانین فیزیک در دستگاه‌های مرجع مختلف Overview on how laws of physics change in different reference frames

• تبدیلات لورنتس و عنصر ثابت Lorentz transformations and the invariant element

• اثبات دیگری از عدم تغییر عنصر طول بی‌نهایت کوچک در نسبیت خاص Another proof of the invariance of the infinitesimal length element in SR

• تبدیلات لورنتس مشتق شده توسط انیشتین Lorentz transformations as derived by Einstein

• معنای فیزیکی که انیشتین به تبدیلات لورنتس نسبت می‌دهد The physical meaning that Einstein attributes to Lorentz transformations

• عنصر طول ثابت (بینش‌های اضافی) invariant length element (additional insights)

• لاگرانژی در نسبیت خاص Lagrangian in special relativity

• ممنتوم و همیلتونی یک ذره نسبیتی، E برابر mc به توان دو Momentum and Hamiltonian of a relativistic particle, E equals mc squared

• اصل هم‌ارزی: نقطه شروع نسبیت عام Equivalence principle: the starting point of General Relativity

• چرا هندسه دیفرانسیل؟ Why differential geometry ?

• ثابت در نماد تانسوری invariant in tensor notation

• قوانین تبدیل برای تانسورها Transformation Rules for Tensors

• برخی از عملیات‌های اساسی با تانسورها Some basic operations with tensors

• چگونگی نشان دادن انیشتین از اینکه معکوس تانسور متریک نیز یک تانسور است How Einstein shows that the inverse of the metric tensor is also a tensor

• چگونگی نشان دادن انیشتین از عدم تغییر عنصر حجم بی‌نهایت کوچک How Einstein shows the invariance of the infinitesimal volume element

• چگونگی استخراج انیشتین معادله خط ژئودزیک How Einstein derives the equation of a geodetic line

• استخراج معادله ژئودزیک بدون استفاده از اصل تغییرات A derivation of the geodetic equation without using the Variational Principle

• چگونگی استخراج انیشتین مفهوم مشتق کواریانت How Einstein derives the concept of covariant derivative

• قاعده مشتق‌گیری از دترمینان‌ها (مهم در نسبیت عام) Rule of differentiation of determinants (important in GR)

• چگونگی استخراج انیشتین مفهوم واگرایی کواریانت How Einstein derives the concept of covariant divergence

• دیگر عبارات تانسوری مهم استخراج شده توسط انیشتین در مقاله خود در مورد نسبیت عام Other important tensor expressions derived by Einstein in his paper on GR

• چگونگی استخراج انیشتین تانسور ریمان در مقاله خود در مورد نسبیت عام How Einstein derives the Riemann tensor in his paper on General Relativity

• چگونگی استخراج انیشتین معادلات میدان در نبود ماده How Einstein derives the field equations in the absence of matter

• چگونگی استخراج انیشتین معادلات خود از اصل عمل، پایستگی انرژی How Einstein derives his equations from the action principle,energy conservation

• چگونگی استخراج انیشتین معادلات میدان در حضور ماده How Einstein derives the field equations in the presence of matter

• چگونگی استخراج انیشتین نظریه نسبیت عام خود از اصل همیلتون How Einstein derives his General Relativity theory from Hamilton's principle

ژئودزیک‌ها، سطوح، قضیه اگریگیوم گاوس، انواع مختلف انحنا Geodesics, surfaces, Gauss Theorema Egregium, different types of curvatures

• تمرین با تانسورها: ژئودزیک‌ها روی سطوح دوران Exercise with tensors: Geodesics on surfaces of revolution

• انحنای نرمال و انحنای اصلی (سطوح در ۳ بعد) Normal curvature and principal curvatures (surfaces in 3 dimensions)

• انحنای گاوس و اثبات قضیه اگریگیوم گاوس Gauss Curvature and proof of Gauss Theorema Egregium

• انحنای اصلی یک سطح دوران Principal curvatures of a surface of rotation

کاربرد تانسورها و اصل عمل در نظریه الاستیسیته Application of tensors and action principle to the theory of elasticity

• استخراج تانسور کرنش از نظریه الاستیسیته Derivation of the strain tensor from the theory of elasticity

• نظریه کلاسیک صفحات نازک مشتق شده از اصل عمل Classical Theory of Thin Plates derived from the Action Principle

• استخراج تانسور کرنش در مختصات کروی Derivation of the strain tensor in spherical coordinates

• گرادیان در مختصات کروی (با استفاده از تانسورها و ماتریس‌ها) Gradient in spherical coordinates (using tensors and matrices)

• لاپلاسین در مختصات کروی (با استفاده از تانسورها و ماتریس‌ها) Laplacian in Spherical Coordinates (using tensors and matrices)

نظریه میدان نسبیتی، مشتقات تابعی Relativistic field theory, functional derivatives

• معادله همیلتون ژاکوبی نسبیتی Relativistic Hamilton Jacobi equation

• مروری بر نظریه میدان کلاسیک Review of Classical Field Theory

• مشتق تابعی و معادلات اویلر لاگرانژ در نظریه میدان کلاسیک Functional derivative and Euler Lagrange equations in Classical Field Theory

• کاربرد مشتق تابعی Application of the functional derivative

• سطوح مینیمم در حساب تغییرات Minimal surfaces in Calculus of Variations

• تمرین در مورد تغییر دترمینان تانسور متریک Exercise on the variation of the determinant of the metric tensor

• تریس لگاریتم یک ماتریس و دترمینان Trace of the logarithm of a matrix and the determinant

• اثبات هویت ژاکوبی Proof of the Jacobi identity

• سری نومان Neumann series

• فیزیک صفحات نازک مشتق شده از اصل تغییرات Physics of thin plates derived from the variational principle

• استخراج شهودی انتگرال مسیر از نظریه کلاسیک میدان‌ها Heuristic derivation of the path integral from the classical theory of fields

• از معادله همیلتون ژاکوبی به معادله شرودینگر From the Hamilton Jacobi equation to the Schrodinger equation

• مشتقات تابعی و تعمیم معادلات اویلر لاگرانژ در QFT Functional derivatives and generalization of Euler Lagrange equations in QFT

باقیمانده‌ها و مبانی آنالیز مختلط Residues and Basics of Complex Analysis

• توابع متغیر مختلط بخش ۱ Functions of a complex variable part 1

• توابع متغیر مختلط بخش ۲ Functions of a complex variable part 2

• معرفی مشتق در حساب مختلط Introducing the derivative in complex calculus

• معرفی انتگرال‌های توابع مختلط و قضیه کوشی Introducing integrals of complex functions and Cauchy theorem

• گسترش قضیه کوشی Extension of Cauchy theorem

• فرمول انتگرال کوشی بخش ۱ Cauchy integral formula part 1

• فرمول انتگرال کوشی بخش ۲ Cauchy integral formula part 2

• سری لوران Laurent series

• سری لوران در فرم فشرده Laurent Series in compact form

• استخراج سری فوریه از سری لوران Fourier series derivation from Laurent series

• تعریف کلی سری فوریه برای هر دوره زمانی T Fourier series generalization to any generic period T

• استخراج سری تیلور از سری لوران Taylor series derivation from Laurent series

• مفهوم باقیمانده Concept of Residue

• قضیه باقیمانده Residue Theorem

• محاسبه باقیمانده‌ها و ضرایب سری لوران Calculation of residues and coefficients of the Laurent series

• محاسبه انتگرال حقیقی با استفاده از انتگرال‌گیری مختلط Evaluation of a real integral using complex integration

• نمايش دلتای دیراک representation of the Dirac delta

• نمايش ديگر دلتای دیراک Another integral representation of the Dirac Delta

• محاسبه انتگرال‌های گوسی مختلط Evaluation of complex Gaussian integrals

• حل یک انتگرال از کتاب فاینمن (با ظرافت بیشتر از ChatGPT) Solving an Integral from Feynman's Book (more elegantly than ChatGPT)

سری فوریه و تبدیلات Fourier series and Transforms

• سری فوریه و تبدیل فوریه Fourier Series and Fourier Transform

• نمادگذاری برای تبدیل فوریه Notation for the Fourier Transform

• اهمیت دلتای دیراک در تعریف تبدیل فوریه معکوس The importance of the Dirac Delta in defining the Inverse Fourier Transform

• استخراج اصل عدم قطعیت Derivation of the Uncertainty "principle"

• اطلاعات بیشتر در مورد دلتای دیراک و رابطه آن با تبدیل فوریه معکوس More on the Dirac delta and its relation to the Inverse Fourier Transform

• کاربرد تبدیل فوریه بر مشتق یک تابع Fourier Transform applied to the derivative of a function

• پدیده گیبس و رابطه آن با سری فوریه Gibbs phenomenon and its relation to the Fourier series

• تمرین در مورد کانولوشن‌های چندگانه و تبدیل فوریه Exercise on multiple convolutions and Fourier Transforms

• انرژی سیگنال‌ها و تبدیل فوریه (سیگنال‌های با پهنای باند محدود) Energy of signals and Fourier Transforms (signals with limited bandwidth)

• مقدمه‌ای بر تبدیل لاپلاس از تبدیل فوریه Intro to the Laplace Transform from the Fourier Transform

• حل معادله انتشار با استفاده از حساب مختلط (تبدیل لاپلاس) Solution to the diffusion equation using complex calculus (Laplace transform)

• معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم حل شده از طریق تبدیل فوریه 2nd order non-homogeneous differential equation solved via Fourier Transform

• محاسبه تبدیل لاپلاس معکوس با باقیمانده‌ها Calculation of Inverse Laplace Transform with residues

• سری فوریه جالب در ۲ بعد Interesting Fourier series in 2 dimensions

• بسط سری فوریه برای صفحات نازک Fourier series expansion for thin plates

• چگونه کانولوشن‌ها در انتگرال مسیر به معادله شرودینگر منجر می‌شوند How convolutions in the path integral lead to the Schrodinger equation

• از انتگرال‌های مسیر به نظریه اختلال و سپس به نمودارهای فاینمن From Path Integrals to Perturbation Theory and then to Feynman Diagrams

• از انتگرال مسیر به عمل مؤثر، گروه نرمال‌سازی مجدد، کوپلینگ‌ها From the path integral to the effective action, renormalization group, couplings

• محدوده مجانبی و سری واگرا Asymptotics and divergent series

مروری بر خواص گروه لورنتس Overview on the properties of the Lorentz group

• گروه‌های لورنتس و پوانکاره، نمایش‌ها، ممنتوم زاویه‌ای، جبرهای لی Lorentz and Poincare groups, representations, angular momentum, Lie algebras

• استخراج جبر لی گروه لورنتس Derivation of the Lie algebra of the Lorentz group

• تبدیل یک میدان برداری با توجه به جبر لورنتس Transformation of a vector field according to the Lorentz algebra

• تبدیل یک میدان اسپینوری با تعمیم یک میدان برداری Transformation of a spinor field derived by generalizing a vector field

• مولدهای تبدیل یک بردار جبر لورنتس را ارضا می‌کنند The generators of the transformation of a vector satisfy the Lorentz algebra

• مولدهای تبدیل یک اسپینور جبر لورنتس را ارضا می‌کنند The generators of the transformation of a spinor satisfy the Lorentz algebra

• استخراج کموتاتور ممنتوم زاویه‌ای از جبر لی لورنتس Derivation of the commutator of angular momentum from the Lorentz Lie algebra

• ضمیمه: نمایی از یک ماتریس APPENDIX: exponential of a matrix

اپراتورهای هرمیتی، اپراتورهای ممنتوم زاویه‌ای، ماتریس‌های پائولی، ماتریس‌های گاما Hermitian operators, Angular momentum operators, Pauli matrices, Gamma matrices

• ملاحظاتی در مورد اپراتورها، مکانیک کوانتومی، معادله شرودینگر Considerations on operators, quantum mechanics, Schrodinger equation

• اهمیت اپراتورهای هرمیتی Importance of Hermitian operators

• اپراتور مربوط به مجذور ممنتوم زاویه‌ای Operator related to the square of angular momentum

• اصل عدم قطعیت مشتق شده با اپراتورها Uncertainty principle derived with operators

• اپراتورهای ممنتوم زاویه‌ای: محاسبه طیف (مقدمه) Angular Momentum Operators: calculation of the spectrum (introduction)

• خواص اپراتورهای ممنتوم زاویه‌ای: محاسبه طیف properties of angular momentum operators: calculation of the spectrum

• اپراتورهای ممنتوم زاویه‌ای: ادامه محاسبه طیف angular momentum operators: continuing the calculation of the spectrum

• نمایش ماتریسی ممنتوم زاویه‌ای Matrix representation of angular momentum

• ذرات اسپین یک دوم Spin one-half particles

• معادله دیراک و ماتریس‌های دیراک مشتق شده از ماتریس‌های پائولی Dirac equation and Dirac matrices derived from Pauli matrices

• ملاحظاتی در مورد معادله دیراک و ماتریس‌های دیراک Considerations on the Dirac equation and Dirac matrices

• ملاحظاتی در مورد معادله دیراک مشتق شده از لاگرانژی Considerations on the Dirac equation derived from a lagrangian

• اهمیت اپراتورهای یونیتاری Importance of unitary operators

• خواص مهم ماتریس‌های یونیتاری و نظریه گروه Important properties of unitary matrices and group theory

ضرایب لاگرانژ، مسائل بهینه‌سازی Lagrange multipliers, optimization problems

• درک شهودی ریاضی پشت ضرایب لاگرانژ Mathematical Intuition behind Lagrange Multipliers

• مدل مارکوویتز برای به حداقل رساندن ریسک در یک پرتفوی مالی Markowitz Model for risk minimization in a financial portfolio

• نشان دادن اینکه محیط، منحنی مسطحی است که بزرگترین مساحت را در بر می‌گیرد Showing that the circumference is the plane curve enclosing the largest area