آموزش کلاس کارشناسی ارشد ریاضیات کامل: سطح کالج و دانشگاه

سرفصل ها و درس ها

[بخش آزمایشی] اگر به تازگی مدرسه را تمام کرده اید: آنچه می دانید و آنچه خواهید آموخت [Pilot Section] If you just finished school: What you know & what you will learn

• نمای کلی دوره Overview of the course

• تصویر اجمالی Overview image

• معرفی بخش Section intro

• نمای کلی این بخش آزمایشی: آنچه می دانید و آنچه هنوز نمی دانید Overview of this pilot section: What you know and what you don't know yet

• تابع دقیقا چیست؟ What exactly is a function?

• توابع خطی Linear functions

• توابع درجه دوم و حل معادلات درجه دوم Quadratic functions and solving quadratic equations

• فاکتورسازی چند جمله ای ها با استفاده از ریشه و چشم انداز آنها: اعداد مختلط Factorizing polynomials using their roots & Outlook: Complex numbers

• تابع نمایی: دقیقاً چگونه تعریف می شود؟ Exponential function: How is it defined exactly?

• جبر برداری در سیستم مختصات قطبی Vector algebra in polar coordinate system

• چرخش برداری با استفاده از ماتریس ها Vector rotation using matrices

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

[بخش 1] در سطح کالج: آنچه از شما انتظار می رود در دانشگاه بدانید [Part 1] College-level: What you are expected to know at university

• مروری بر بخش اول این دوره Overview of the first part of this course

• تصویر اجمالی Overview image

محدودیت توابع Limits of functions

• معرفی بخش Section intro

• محدودیت ها: سر و کار داشتن با بی نهایت Limits: Dealing with infinity

• محدودیت ها در مقابل مقادیر تابع Limits versus function values

• کسرهای چند جمله ای Polynomial fractions

• رفتار مجانبی Asymptotic behavior

• قوانین مفید Useful rules

• نوبت شماست! در مورد تمرینات Your turn! About exercises

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• راه حل های وظایف 1 و 2 - محدودیت های توابع Solutions of Tasks 1 & 2 - Limits of functions

• راه حل های وظایف 3 و 4 - محدودیت های توابع Solutions of Tasks 3 & 4 - Limits of functions

• اضافه کردن: دو سخنرانی و نتایج پیشرفته که بعداً به آنها نیاز داریم Add on: Two advanced lectures & results that we need later on

• قضیه فشار: حد sin(x)/x برای x تا 0 Squeeze theorem: Limit of sin(x)/x for x to 0

• قانون L'Hospital (قانون L'Hôpital) L'Hospital's rule (L'Hôpital's rule)

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

مشتقات در یک بعد Derivatives in one dimension

• معرفی بخش Section intro

• مشتق چیست؟ What is a derivative?

• مشتق توابع ثابت، خطی و درجه دوم Derivative of constant, linear and quadratic functions

• قانون جمع برای مشتقات Sum rule for derivatives

• مشتق چند جمله ای ها Derivative of polynomials

• قانون محصول برای مشتقات Product rule for derivatives

• مشتق تابع 1/x Derivative of the 1 / x function

• قانون زنجیره ای برای مشتقات Chain rule for derivatives

• قانون ضریب برای مشتقات Quotient rule for derivatives

• مشتق تابع معکوس Derivative of the inverse function

• مشتق توابع ریشه Derivative of root functions

• مشتق توابع قدرت Derivative of power functions

• مشتق توابع نمایی و لگاریتمی Derivative of exponential & logarithm functions

• مشتق توابع مثلثاتی: سینوس و کسینوس Derivative of trigonometric functions: Sine & Cosine

• چشم انداز: مشتق توابع مثلثاتی با بسط سری Outlook: Derivative of trigonometric functions by series expansion

• مشتقات بالاتر Higher derivatives

• افراطی از توابع و نقاط عطف Extrema of functions & Inflection points

• طراحی منحنی Curve sketching

• خلاصه قوانین مشتقات Summary of the rules for derivatives

• نوبت شماست! در مورد تمرینات Your turn! About exercises

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• راه حل ها کار 1 - مشتقات Solutions Task 1 - Derivatives

• راه حل وظایف 2 و 3 - مشتقات Solutions Tasks 2 & 3 - Derivatives

• اضافه کردن: نحوه محاسبه مشتقات عددی Add on: How to calculate derivatives numerically

• اعداد با پایتون: محاسبه مشتقات Numerics with Python: Calculating derivatives

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

انتگرال در یک بعد Integrals in one dimension

• معرفی بخش Section intro

• انتگرال چیست؟ What is an integral?

• یکپارچه سازی توسط قطعات Integration by parts

• ادغام با جایگزینی Integration by substitution

• روش جایگزین استفاده از ادغام با جایگزینی Alternative way of using integration by substitution

• خلاصه قوانین ادغام Summary of integration rules

• یکپارچه سازی و محدودیت ها - انتگرال های نامناسب Integration & Limits - Improper integrals

• ادغام در مقابل تمایز Integration versus differentiation

• ادغام مربع کسینوس و مربع سینوسی Integration of cosine square & sine square

• بهره برداری از تقارن Exploiting symmetry

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• حل تکلیف 1 - انتگرال Solutions Task 1 - Integrals

• Solutions Task 2 - انتگرال Solutions Task 2 - Integrals

• اضافه کردن: نحوه محاسبه عددی انتگرال ها Add on: How to calculate integrals numerically

• اعداد با پایتون: محاسبه انتگرال ها Numerics with Python: Calculating integrals

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

بردارها در مختصات دکارتی Vectors in Cartesian coordinates

• معرفی بخش Section intro

• وکتور چیست؟ What is a vector?

• عملیات بردار پایه Basic vector operations

• محصول نقطه ای یا محصول اسکالر Dot product or scalar product

• محصول متقاطع یا محصول برداری Cross product or vector product

• محصول سه گانه Triple product

• خطوط به صورت پارامتریک Lines in parametric form

• خطوط و نقاط: محاسبه فاصله Lines & Points: Calculating the distance

• خطوط و خطوط: خطوط یکسان، موازی، متقاطع یا اریب Lines & Lines: Identical, parallel, intersecting or skew lines

• صفحات به شکل پارامتریک Planes in parametric form

• هواپیماها به شکل مختصات Planes in coordinate form

• هواپیماها به شکل معمولی هسن Planes in Hesse normal form

• Planes & Points: محاسبه فاصله Planes & Points: Calculating the distance

• صفحات و خطوط: شامل، موازی یا متقاطع Planes & Lines: Included, parallel or intersecting

• Planes & Planes: خط یکسان، موازی یا متقاطع Planes & Planes: Identical, parallel or intersecting line

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• حل تکلیف 1 - بردارها: دو نقطه Solutions Task 1 - Vectors: Two points

• راه حل وظیفه 2 - بردارها: دو خط Solutions Task 2 - Vectors: Two lines

• حل تکلیف 3 - جبر برداری: صفحات Solutions Task 3 - Vector algebra: Planes

• راه حل ها وظیفه 4 - هویت های برداری Solutions Task 4 - Vector identities

• حل کار 5 - بردارها: فاصله بین دو خط Solutions Task 5 - Vectors: Distance between two lines

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

توزیع های تصادفی و احتمالی Stochastic & Probability distributions

• معرفی بخش Section intro

• نمودارهای احتمال و درخت برای آزمایش های برگرداندن سکه Probability & Tree diagrams for coin flip experiments

• رویداد و رویداد شمارنده در آزمایش تاس Event & Counter event in a dice experiment

• مقادیر مورد انتظار برای مشکلات سکه، تاس و کوزه Expectation values for coin, dice & urn problems

• محاسبه احتمالات: مشکلات کوزه Calculating probabilities: Urn problems

• توزیع دو جمله ای Binomial distribution

• بحث در مورد توزیع دوجمله ای Discussion of the binomial distribution

• توزیع نرمال (توزیع گاوسی) Normal distribution (Gaussian distribution)

• توزیع پواسون Poisson distribution

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• راه حل ها کار 1 - احتمالات Solutions Task 1 - Probabilities

• راه حل ها کار 2 - احتمالات Solutions Task 2 - Probabilities

• راه حل ها کار 3 - احتمالات Solutions Task 3 - Probabilities

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

[بخش 2] در سطح دانشگاه: آنچه در دانشگاه جدید است [Part 2] University-level: What is new at university

• مروری بر بخش دوم این دوره Overview of the second part of this course

• تصویر اجمالی Overview image

سکانس ها و سریال ها Sequences & Series

• معرفی بخش Section intro

• دنباله ها Sequences

• محدودیت دنباله ها Limits of sequences

• سری - سری هارمونیک و هندسی Series - Harmonic & Geometric series

• سری و ارتباط با انتگرال های نامناسب Series & Relation to improper integrals

• نوبت شماست! در مورد تمرینات Your turn! About exercises

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید! Check your solutions!

• راه حل ها کار 1 - دنباله Solutions Task 1 - Sequences

• Solutions Task 2 - Series Solutions Task 2 - Series

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

بسط تیلور و نمایش سری تابع نمایی و مثلثاتی Taylor expansion & Series representation of Exponential & Trigonometric function

• معرفی بخش Section intro

• بسط تیلور چیست؟ What is a Taylor expansion?

• اثبات سریال تیلور Proof for Taylor series

• نمونه هایی از سری تیلور: چند جمله ای ها Examples of Taylor series: Polynomials

• نمونه هایی از سری تیلور: تابع لگاریتمی Examples of Taylor series: Logarithmic function

• نمونه هایی از سری تیلور: تابع 1/(1-x). Examples of Taylor series: 1/(1-x) function

• نمایش سری تابع نمایی Series representation of the exponential function

• نمایش سری سینوس و کسینوس Series representation of sine & cosine

• تمرینات Exercises

• راه حل کار 1 - بسط تیلور Solutions Task 1 - Taylor expansion

• Solutions Task 2 - Taylor expansion Solutions Task 2 - Taylor expansion

• Solutions Task 3 - Taylor expansion Solutions Task 3 - Taylor expansion

• راه حل وظیفه 4 - بسط تیلور Solutions Task 4 - Taylor expansion

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

اعداد مختلط Complex numbers

• معرفی بخش Section intro

• اعداد مختلط چیست؟ What are complex numbers?

• جمع، تفریق و صفحه مختلط Addition, subtraction & complex plane

• ضرب و تقسیم اعداد مختلط Multiplication & division of complex numbers

• نمایش نمایی و قطبی اعداد مختلط Exponentials and polar representation of complex numbers

• تمرینات Exercises

• راه حل های خود را بررسی کنید Check your solutions

• راه حل - اعداد مختلط Solutions - Complex numbers

• عاملی سازی چند جمله ای ها: قضیه اساسی جبر Factorization of polynomials: Fundamental theorem of Algebra

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

حساب دیفرانسیل II: چند بعد Differential calculus II: Multiple dimensions

• معرفی بخش Section intro

• توابع چند بعدی Multidimensional functions

• مشتقات جزئی و مشتقات جهت دار Partial derivatives & Directional derivatives

• کل مشتقات و قانون زنجیره Total derivatives & Chain rule

• عملگر نابله: گرادیان Nabla operator: Gradient

• عملگر نابله: واگرایی Nabla operator: Divergence

• اپراتور Nabla: کرل Nabla operator: Curl

• اپراتور لاپلاس Laplace operator

• نبله: روابط مفید Nabla: Useful relations

• تمرینات Exercises

• راه حل ها - مشتقات در ابعاد چندگانه Solutions - Derivatives in multiple dimensions

• یافتن اکسترم های موضعی در ابعاد چندگانه Finding local extrema in multiple dimensions

• بسط تیلور از توابع چند بعدی Taylor expansion of multidimensional functions

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

حساب انتگرال II: ابعاد چندگانه و سیستم های مختصات جایگزین Integral calculus II: Multiple dimensions & Alternative coordinate systems

• معرفی بخش Section intro

• بخش 1: ادغام در مختصات دکارتی Part 1: Integration in Cartesian coordinates

• تجدید نظر: انتگرال ها در یک بعد Revision: Integrals in one dimension

• انتگرال در دو بعد Integrals in two dimensions

• ترتیب ادغام Order of integration

• انتگرال های چند بعدی Multidimensional integrals

• حجم یک هرم: ادغام سه بعدی با پارامترسازی Volume of a pyramid: Integration in three dimensions by parametrization

• طول قوس - طول یک منحنی Arc length - Length of a curve

• طول قوس: مثال Arc length: Examples

• انتگرال های خط: توابع اسکالر Line integrals: Scalar functions

• انتگرال های خط: توابع برداری Line integrals: Vector functions

• مثال دشوار: حجم یک کره در مختصات دکارتی Difficult example: Volume of a sphere in Cartesian coordinates

• بخش 2: ادغام در سیستم های مختصات کروی، استوانه ای و قطبی Part 2: Integration in spherical, cylindrical & polar coordinate systems

• سیستم های مختصات جایگزین: چرا به آنها نیاز داریم؟ Alternative coordinate systems: Why do we need them?

• مختصات قطبی - سیستم مختصات جایگزین 1/3 Polar coordinates - Alternative coordinate systems 1/3

• مختصات استوانه ای - سیستم های مختصات جایگزین 2/3 Cylindrical coordinates - Alternative coordinate systems 2/3

• مختصات کروی - سیستم مختصات جایگزین 3/3 Spherical coordinates - Alternative coordinate systems 3/3

• عناصر حجم و سطح در مختصات کروی Volume and surface elements in spherical coordinates

• ادغام در مختصات کروی: حجم و سطح یک کره Integration in spherical coordinates: Volume & Surface area of a sphere

• عناصر حجم و سطح در مختصات استوانه ای Volume and surface elements in cylindrical coordinates

• ادغام در مختصات استوانه ای: جامدات انقلاب Integration in cylindrical coordinates: Solids of revolution

• عناصر سطحی در مختصات قطبی Surface elements in polar coordinates

• ادغام در مختصات قطبی: انتگرال گاوسی Integration in polar coordinates: Gaussian integral

• تمرینات Exercises

• راه حل ها وظیفه 1 - انتگرال در ابعاد چندگانه Solutions Task 1 - Integrals in multiple dimensions

• Solutions Task 2 - انتگرال ها در ابعاد چندگانه Solutions Task 2 - Integrals in multiple dimensions

• Solutions Task 3&4 - انتگرال در ابعاد چندگانه Solutions Task 3&4 - Integrals in multiple dimensions

• بخش بیرونی Section outro

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

معادلات دیفرانسیل Differential equations

• معرفی بخش Section intro

• معادلات دیفرانسیل چیست؟ What are differential equations?

• طبقه بندی معادلات دیفرانسیل: معمولی (ODE) در مقابل جزئی (PDE) Classification of differential equations: Ordinary (ODE) versus partial (PDE)

• طبقه بندی معادلات دیفرانسیل معمولی Classification of ordinary differential equations

• مورد بی اهمیت: ادغام مستقیم Trivial case: Direct integration

• معادلات دیفرانسیل خطی همگن، برهم نهی و آنساتز نمایی Homogeneous linear differential equations, superposition & Exponential ansatz

• مثالی برای ODE خطی و با استفاده از ansatz نمایی: نوسانگر هارمونیک Example for a linear ODE & using the exponential ansatz: The harmonic oscillator

• معادلات دیفرانسیل خطی ناهمگن: همگن به علاوه راه حل خاص Inhomogeneous linear differential equations: Homogeneous plus specific solution

• مثالی برای حل معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن Example for solving an inhomogeneous linear differential equation

• روش ضریب ادغام - ODE خطی با ضرایب غیر ثابت Integration factor method - Linear ODE with non-constant coefficients

• مثال: روش عامل ادغام Example: Integration factor method

• معادلات برنولی: ODE غیر خطی Bernoulli equations: Non-linear ODE

• مثال: معادلات برنولی Example: Bernoulli equations

• جداسازی متغیرها - معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی Separation of variables - Nonlinear ordinary differential equations

• تمرینات Exercises

• راه حل وظایف 1 و 2 - معادلات دیفرانسیل Solutions Tasks 1&2 - Differential equations

• حل وظایف 3 و 4 - معادلات دیفرانسیل Solutions Tasks 3&4 - Differential equations

• حل تکلیف 5 - معادلات دیفرانسیل Solutions Task 5 - Differential equations

• روش های عددی - روش اویلر Numerical methods - Euler method

• حل عددی معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر Numerically solving higher order differential equations

• اضافه کردن: حل معادلات دیفرانسیل به صورت عددی Add on: Solving differential equations numerically

• اعداد با پایتون: حل معادلات دیفرانسیل نوسانگرهای جفت شده Numerics with Python: Solving the differential equations of coupled oscillators

• معادلات دیفرانسیل جزئی: معادله گرما Partial differential equations: The heat equation

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

ماتریس ها و سیستم های ویژه Matrices & Eigensystems

• معرفی بخش Section intro

• ماتریس چیست؟ What is a matrix?

• ماتریس جمع و تفریق Matrix addition & subtraction

• ضرب ماتریس Matrix multiplication

• مثال: ضرب ماتریسی Example: Matrix multiplication

• انتقال ماتریس Transpose matrix

• محاسبه دترمینان یک ماتریس Calculating the determinant of a matrix

• مثال: محاسبه دترمینان یک ماتریس Example: Calculating the determinant of a matrix

• محاسبه ماتریس معکوس Calculating the inverse matrix

• مثال: محاسبه ماتریس معکوس Example: Calculating the inverse matrix

• ماتریس معکوس: روش تعیین کننده Inverse matrix: Determinant method

• سیستم های ویژه: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس Eigensystems: Eigenvalues & Eigenvectors of a matrix

• مثال: محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Example: Calculating eigenvalues & eigenvectors

• ردیابی یک ماتریس Trace of a matrix

• ماتریس های ویژه: ماتریس های متقارن و هرمیتی Special matrices: Symmetric & Hermitian matrices

• ماتریس های ویژه: ماتریس های واحد Special matrices: Unitary matrices

• ماتریس های ویژه: ماتریس های چرخشی Special matrices: Rotation matrices

• ماتریس های مثبت قطعی، منفی قطعی و نامعین Positive definite, negative definite & indefinite matrices

• تمرینات Exercises

• حل تکلیف 1 و 2 - ماتریس Solutions Task 1&2 - Matrices

• حل کار 3 - ماتریس Solutions Task 3 - Matrices

• حل تکلیف 4 و 5 - ماتریس Solutions Task 4&5 - Matrices

• اضافه کردن: محاسبه مقادیر ویژه یک ماتریس به صورت عددی Add on: Calculating the eigenvalues of a matrix numerically

• اعداد با پایتون: تعیین فرکانس های ویژه 3 نوسانگر جفت شده Numerics with Python: Determining the eigenfrequencies of 3 coupled oscillators

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

تبدیل فوریه و توزیع دلتا Fourier transform & Delta distribution

• معرفی بخش Section intro

• تبدیل فوریه چیست؟ What is a Fourier transform?

• مثال: تبدیل فوریه یک تابع گاوسی Example: Fourier transform a Gaussian function

• مثال: تبدیل فوریه یک تابع هارمونیک Example: Fourier transform a harmonic function

• توزیع دلتا Delta distribution

• توابع هارمونیک و توزیع دلتا Harmonic functions & Delta distribution

• اضافه کردن: محاسبه تبدیل فوریه به صورت عددی Add on: Calculating the Fourier transform numerically

• اعداد با پایتون: فرکانس های ویژه 3 نوسانگر با استفاده از تبدیل فوریه Numerics with Python: Eigenfrequencies of 3 oscillators using Fourier transform

• اسلایدهای این بخش را دانلود کنید Download the slides of this section

• خداحافظ! Goodbye!

• من و دوره های دیگر من را دنبال کنید Follow me & My other courses