آموزش حسابان ۲، بخش ۲ از ۲: دنباله‌ها و سری‌ها - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

Introduction

• Introduction to the course-معرفی دوره Introduction to the course

• Sequences in our earlier courses-دنباله‌ها در دوره‌های قبلی ما Sequences in our earlier courses

• Series in our earlier courses-سری‌ها در دوره‌های قبلی ما Series in our earlier courses

• Change of plans-تغییر برنامه Change of plans

Number sequences and their limits: a continuation from Calc1p1-دنباله‌های عددی و حد آنها: ادامه از Calc1p1 Number sequences and their limits: a continuation from Calc1p1

• Sequences and their convergence: a visual repetition-دنباله‌ها و همگرایی آنها: یک تکرار بصری Sequences and their convergence: a visual repetition

• Why are sequences important to understand?-چرا درک دنباله‌ها مهم است؟ Why are sequences important to understand?

• Arithmetic and geometric progressions, a repetition-تصاعد حسابی و هندسی، یک تکرار Arithmetic and geometric progressions, a repetition

• Arithmetic and geometric sums, a repetition-مجموع حسابی و هندسی، یک تکرار Arithmetic and geometric sums, a repetition

• Future, Optional: Continuous versus discrete-آینده، اختیاری: پیوسته در مقابل گسسته Future, Optional: Continuous versus discrete

• Old and new methods for determining convergence of sequences-روش‌های قدیمی و جدید برای تعیین همگرایی دنباله‌ها Old and new methods for determining convergence of sequences

• Practicing rules of limits, Exercise 1-تمرین قوانین حد، تمرین ۱ Practicing rules of limits, Exercise 1

• Indeterminate forms and standard limits, Exercise 2-فرم‌های نامعین و حدود استاندارد، تمرین ۲ Indeterminate forms and standard limits, Exercise 2

• Indeterminate forms and conjugates, Exercise 3-فرم‌های نامعین و مزدوج‌ها، تمرین ۳ Indeterminate forms and conjugates, Exercise 3

• Indeterminate forms and conjugates, Exercise 4-فرم‌های نامعین و مزدوج‌ها، تمرین ۴ Indeterminate forms and conjugates, Exercise 4

• Indeterminate forms and arithmetic on extended reals, Exercise 5-فرم‌های نامعین و حساب در اعداد حقیقی توسعه‌یافته، تمرین ۵ Indeterminate forms and arithmetic on extended reals, Exercise 5

• Squeeze Theorem, Exercise 6-قضیه فشردگی، تمرین ۶ Squeeze Theorem, Exercise 6

• Squeeze Theorem, Exercise 7-قضیه فشردگی، تمرین ۷ Squeeze Theorem, Exercise 7

• An old promise from earlier courses-یک قول قدیمی از دوره‌های قبل An old promise from earlier courses

• Indeterminate forms "one to the infinity", various situations-فرم‌های نامعین "یک به توان بی‌نهایت"، موقعیت‌های مختلف Indeterminate forms "one to the infinity", various situations

• Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 8-فرم‌های نامعین منجر به یک نتیجه با e، تمرین ۸ Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 8

• Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 9-فرم‌های نامعین منجر به یک نتیجه با e، تمرین ۹ Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 9

• Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 10-فرم‌های نامعین منجر به یک نتیجه با e، تمرین ۱۰ Indeterminate forms leading to a result with e, Exercise 10

• A difficult one, Problem 1-یک مورد دشوار، مسئله ۱ A difficult one, Problem 1

Weierstrass' Theorem: a continuation from Calc1p1-قضیه وایرشتراس: ادامه از Calc1p1 Weierstrass' Theorem: a continuation from Calc1p1

• A warm-up exercise, Exercise 1-یک تمرین گرم‌کننده، تمرین ۱ A warm-up exercise, Exercise 1

• Proving (eventual) monotonicity analysing quotients, Exercise 2-اثبات یکنواختی (سرانجام) با تحلیل خارج قسمت‌ها، تمرین ۲ Proving (eventual) monotonicity analysing quotients, Exercise 2

• Proving (eventual) monotonicity analysing quotients, Exercise 3-اثبات یکنواختی (سرانجام) با تحلیل خارج قسمت‌ها، تمرین ۳ Proving (eventual) monotonicity analysing quotients, Exercise 3

• Proving (eventual) monotonicity, Exercise 4-اثبات یکنواختی (سرانجام)، تمرین ۴ Proving (eventual) monotonicity, Exercise 4

• Proving (ev.) monotonicity by a little bit of Weierstrass cheating, Exercise 5-اثبات یکنواختی (سرانجام) با کمی تقلب وایرشتراسی، تمرین ۵ Proving (ev.) monotonicity by a little bit of Weierstrass cheating, Exercise 5

• Nested roots, Problem 1-ریشه‌های تودرتو، مسئله ۱ Nested roots, Problem 1

• Recursively defined sequence, Problem 2-دنباله تعریف شده بازگشتی، مسئله ۲ Recursively defined sequence, Problem 2

• Recursively defined sequence, Problem 3-دنباله تعریف شده بازگشتی، مسئله ۳ Recursively defined sequence, Problem 3

• Recursively defined sequence, Problem 4-دنباله تعریف شده بازگشتی، مسئله ۴ Recursively defined sequence, Problem 4

• Using Riemann integrals, Problem 5-استفاده از انتگرال‌های ریمان، مسئله ۵ Using Riemann integrals, Problem 5

• A version of Weierstrass' Theorem for unbounded monotone sequences-نسخه‌ای از قضیه وایرشتراس برای دنباله‌های یکنواخت نامحدود A version of Weierstrass' Theorem for unbounded monotone sequences

• Coming closer to series, Problem 6-نزدیک شدن به سری‌ها، مسئله ۶ Coming closer to series, Problem 6

• Coming closer to series: telescoping series, Problem 7-نزدیک شدن به سری‌ها: سری‌های تلسکوپی، مسئله ۷ Coming closer to series: telescoping series, Problem 7

• Coming closer to series: comparing stuff, Problem 8-نزدیک شدن به سری‌ها: مقایسه مطالب، مسئله ۸ Coming closer to series: comparing stuff, Problem 8

• The one with a product, Problem 9-آن یکی با یک ضرب، مسئله ۹ The one with a product, Problem 9

• Another one with a product, Problem 10-یکی دیگر با یک ضرب، مسئله ۱۰ Another one with a product, Problem 10

• The one tending to e, Problem 11-آن یکی که به e میل می‌کند، مسئله ۱۱ The one tending to e, Problem 11

• Monotonicity of geometric progressions using difference method-یکنواختی تصاعدهای هندسی با استفاده از روش تفاضل Monotonicity of geometric progressions using difference method

Using functions while working with sequences-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها Using functions while working with sequences

• Using functions while working with sequences-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها Using functions while working with sequences

• Using functions while working with sequences, Exercise 1-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، تمرین ۱ Using functions while working with sequences, Exercise 1

• Using functions while working with sequences, Exercise 2-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، تمرین ۲ Using functions while working with sequences, Exercise 2

• Using functions while working with sequences, Exercise 3-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، تمرین ۳ Using functions while working with sequences, Exercise 3

• Using functions while working with sequences, Exercise 4-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، تمرین ۴ Using functions while working with sequences, Exercise 4

• Using functions while working with sequences, Exercise 5-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، تمرین ۵ Using functions while working with sequences, Exercise 5

• Using functions while working with sequences, Problem 1-استفاده از توابع در کار با دنباله‌ها، مسئله ۱ Using functions while working with sequences, Problem 1

• A spoiler: using functions while working with series-لو دادن: استفاده از توابع در کار با سری‌ها A spoiler: using functions while working with series

New theorems and tests for convergence of sequences-قضیه‌ها و آزمون‌های جدید برای همگرایی دنباله‌ها New theorems and tests for convergence of sequences

• Stolz-Cesáro Theorem: formulation and proof-قضیه استولز-چزارو: فرمول‌بندی و اثبات Stolz-Cesáro Theorem: formulation and proof

• Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Example 1-کاربردهای قضیه استولز-چزارو: مثال ۱ Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Example 1

• Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Example 2 (Cauchy's Theorem)-کاربردهای قضیه استولز-چزارو: مثال ۲ (قضیه کوشی) Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Example 2 (Cauchy's Theorem)

• A corollary from Cauchy's Theorem-یک نتیجه فرعی از قضیه کوشی A corollary from Cauchy's Theorem

• Applications of the corollary from V53, Example 3-کاربردهای نتیجه فرعی از V53، مثال ۳ Applications of the corollary from V53, Example 3

• Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Problem 1-کاربردهای قضیه استولز-چزارو: مسئله ۱ Applications of Stolz-Cesáro Theorem: Problem 1

• Using formulas or Riemann sums instead, Problem 2-استفاده از فرمول‌ها یا مجموع‌های ریمان به جای آن، مسئله ۲ Using formulas or Riemann sums instead, Problem 2

• Geometric means, Problem 3-میانگین‌های هندسی، مسئله ۳ Geometric means, Problem 3

• Corollary from the fact proven in V57-نتیجه فرعی از واقعیت اثبات شده در V57 Corollary from the fact proven in V57

• Applications of the corollary from V58, Example 4-کاربردهای نتیجه فرعی از V58، مثال ۴ Applications of the corollary from V58, Example 4

• Ratio test for sequences-آزمون نسبت برای دنباله‌ها Ratio test for sequences

• Ratio test for sequences, Problem 4-آزمون نسبت برای دنباله‌ها، مسئله ۴ Ratio test for sequences, Problem 4

• Ratio test for sequences, Problem 5-آزمون نسبت برای دنباله‌ها، مسئله ۵ Ratio test for sequences, Problem 5

• Ratio test for sequences, Problem 6-آزمون نسبت برای دنباله‌ها، مسئله ۶ Ratio test for sequences, Problem 6

• Ratio test for sequences: Case 3 is inconclusive-آزمون نسبت برای دنباله‌ها: مورد ۳ بی‌نتیجه است Ratio test for sequences: Case 3 is inconclusive

• Ratio test for sequences: the converse is not true-آزمون نسبت برای دنباله‌ها: عکس آن درست نیست Ratio test for sequences: the converse is not true

Solving recurrence relations-حل روابط بازگشتی Solving recurrence relations

• Verifying recurrence relations, Exercise 1-تایید روابط بازگشتی، تمرین ۱ Verifying recurrence relations, Exercise 1

• Using iterations for getting the formula, Exercise 2-استفاده از تکرارها برای به دست آوردن فرمول، تمرین ۲ Using iterations for getting the formula, Exercise 2

• Telescoping techniques, Exercise 3-تکنیک‌های تلسکوپی، تمرین ۳ Telescoping techniques, Exercise 3

• Linear recursion of order 2: an introduction, Exercise 4-بازگشت خطی مرتبه ۲: یک مقدمه، تمرین ۴ Linear recursion of order 2: an introduction, Exercise 4

• Linear recursion of order 2: the meaning of linearity, Exercise 5-بازگشت خطی مرتبه ۲: معنی خطی بودن، تمرین ۵ Linear recursion of order 2: the meaning of linearity, Exercise 5

• Linear recursion of order 2: derivation of the closed formula-بازگشت خطی مرتبه ۲: اشتقاق فرمول بسته Linear recursion of order 2: derivation of the closed formula

• Linear recursion of order 2, Exercise 6-بازگشت خطی مرتبه ۲، تمرین ۶ Linear recursion of order 2, Exercise 6

• Linear recursion of order 2, with an initial condition, Exercise 7-بازگشت خطی مرتبه ۲، با یک شرط اولیه، تمرین ۷ Linear recursion of order 2, with an initial condition, Exercise 7

• Linear recursion of order 2, with an initial condition, Exercise 8-بازگشت خطی مرتبه ۲، با یک شرط اولیه، تمرین ۸ Linear recursion of order 2, with an initial condition, Exercise 8

• Back to Fibonacci, Exercise 9-بازگشت به فیبوناچی، تمرین ۹ Back to Fibonacci, Exercise 9

Applications of sequences and some more problems to solve-کاربردهای دنباله‌ها و چند مسئله دیگر برای حل Applications of sequences and some more problems to solve

• Some words about applications of sequences-چند کلمه در مورد کاربردهای دنباله‌ها Some words about applications of sequences

• Optional: Fibonacci and modelling-اختیاری: فیبوناچی و مدل‌سازی Optional: Fibonacci and modelling

• Change factor, compound interest, etc in Precalculus 4-ضریب تغییر، بهره مرکب و غیره در پیش‌حسابان ۴ Change factor, compound interest, etc in Precalculus 4

• Sequences in practical applications, Problem 1-دنباله‌ها در کاربردهای عملی، مسئله ۱ Sequences in practical applications, Problem 1

• Sequences in practical applications: decimal expansions of numbers, Problem 2-دنباله‌ها در کاربردهای عملی: گسترش‌های اعشاری اعداد، مسئله ۲ Sequences in practical applications: decimal expansions of numbers, Problem 2

• Sequences in practical applications: approximations of roots, Problem 3-دنباله‌ها در کاربردهای عملی: تقریب ریشه‌ها، مسئله ۳ Sequences in practical applications: approximations of roots, Problem 3

• Cutting interval in half, Problem 4-تقسیم بازه به نصف، مسئله ۴ Cutting interval in half, Problem 4

• Sequences in practical applications: an approximation of pi, Problem 5-دنباله‌ها در کاربردهای عملی: یک تقریب از pi، مسئله ۵ Sequences in practical applications: an approximation of pi, Problem 5

• Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 6-دنباله‌های تعریف شده با کمک انتگرال‌های ریمان، مسئله ۶ Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 6

• Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 7-دنباله‌های تعریف شده با کمک انتگرال‌های ریمان، مسئله ۷ Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 7

• Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 8-دنباله‌های تعریف شده با کمک انتگرال‌های ریمان، مسئله ۸ Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 8

• Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 9-دنباله‌های تعریف شده با کمک انتگرال‌های ریمان، مسئله ۹ Sequences defined with help of Riemann integrals, Problem 9

• Time for some tests, Problem 10-زمان برای چند آزمون، مسئله ۱۰ Time for some tests, Problem 10

• A cool trick, Problem 11-یک ترفند جالب، مسئله ۱۱ A cool trick, Problem 11

• Using properties of logarithms, Problem 12-استفاده از خواص لگاریتم‌ها، مسئله ۱۲ Using properties of logarithms, Problem 12

• 2025, Problem 13-۲۰۲۵، مسئله ۱۳ 2025, Problem 13

• Subsequences of convergent sequences and the geometric sum, Problem 14-زیردنباله‌های دنباله‌های همگرا و مجموع هندسی، مسئله ۱۴ Subsequences of convergent sequences and the geometric sum, Problem 14

• A cool trigonometry trick, Problem 15-یک ترفند جالب مثلثاتی، مسئله ۱۵ A cool trigonometry trick, Problem 15

• Three divergent trigonometric sequences, Problem 16-سه دنباله مثلثاتی واگرا، مسئله ۱۶ Three divergent trigonometric sequences, Problem 16

• Two remarks to Video 94-دو نکته به ویدیو ۹۴ Two remarks to Video 94

Cauchy sequences and the set of real numbers-دنباله‌های کوشی و مجموعه اعداد حقیقی Cauchy sequences and the set of real numbers

• Real-number sequences and sequences in metric spaces-دنباله‌های اعداد حقیقی و دنباله‌ها در فضاهای متریک Real-number sequences and sequences in metric spaces

• Sequence-related stuff-مطالب مربوط به دنباله Sequence-related stuff

• Sequence-related stuff: boundedness and monotonicity-مطالب مربوط به دنباله: کرانداری و یکنواختی Sequence-related stuff: boundedness and monotonicity

• Sequence-related stuff: convergence and subsequences-مطالب مربوط به دنباله: همگرایی و زیردنباله‌ها Sequence-related stuff: convergence and subsequences

• Sequence-related stuff: Cauchy property, fundamental sequences-مطالب مربوط به دنباله: خاصیت کوشی، دنباله‌های بنیادی Sequence-related stuff: Cauchy property, fundamental sequences

• Real-number sequences versus sequences in metric spaces-دنباله‌های اعداد حقیقی در مقابل دنباله‌ها در فضاهای متریک Real-number sequences versus sequences in metric spaces

• This is where we are heading-این جایی است که ما به آن می‌رویم This is where we are heading

• Some relationships between properties that we already established-برخی از روابط بین ویژگی‌هایی که قبلاً ایجاد کردیم Some relationships between properties that we already established

• Cauchy property, fundamental sequences, and convergence-خاصیت کوشی، دنباله‌های بنیادی، و همگرایی Cauchy property, fundamental sequences, and convergence

• Cauchy property, fundamental sequences, and boundedness-خاصیت کوشی، دنباله‌های بنیادی، و کرانداری Cauchy property, fundamental sequences, and boundedness

• Cauchy property, fundamental seq.: proximity of consecutive terms is not enough-خاصیت کوشی، دنباله‌های بنیادی: مجاورت جملات متوالی کافی نیست Cauchy property, fundamental seq.: proximity of consecutive terms is not enough

• Monotone subsequences of real-number sequences-زیردنباله‌های یکنواخت از دنباله‌های اعداد حقیقی Monotone subsequences of real-number sequences

• Bolzano-Weierstrass' Theorem-قضیه بولتسانو-وایراشتراس Bolzano-Weierstrass' Theorem

• The most important result about sequences of real numbers-مهمترین نتیجه در مورد دنباله‌های اعداد حقیقی The most important result about sequences of real numbers

• (Another) construction of the set of real numbers-(یک) ساختار دیگر از مجموعه اعداد حقیقی (Another) construction of the set of real numbers

• Accumulation points of a sequence as limits of its subsequences-نقاط تجمع یک دنباله به عنوان حدود زیردنباله‌ها Accumulation points of a sequence as limits of its subsequences

• Back to a statement from V90 in Calc1p1-بازگشت به گزاره‌ای از V90 در Calc1p1 Back to a statement from V90 in Calc1p1

• A new computation of an old limit-یک محاسبه جدید از یک حد قدیمی A new computation of an old limit

• Optional: Read about limit superior and limit inferior-اختیاری: در مورد حد بالایی و حد پایینی بخوانید Optional: Read about limit superior and limit inferior

• The Nested Intervals Theorem-قضیه بازه‌های تودرتو The Nested Intervals Theorem

• An application of nested intervals-یک کاربرد از بازه‌های تودرتو An application of nested intervals

• What is the limit of the sequence from the previous lecture? Error estimation-حد دنباله از سخنرانی قبلی چیست؟ تخمین خطا What is the limit of the sequence from the previous lecture? Error estimation

• Complete metric spaces in the next course-فضاهای متریک کامل در دوره بعدی Complete metric spaces in the next course

Number series: a general introduction-سری‌های عددی: یک مقدمه کلی Number series: a general introduction

• The definition of convergent and divergent series-تعریف سری همگرا و واگرا The definition of convergent and divergent series

• Three very simple examples; Cesàro sum for a series-سه مثال بسیار ساده؛ مجموع چزارو برای یک سری Three very simple examples; Cesàro sum for a series

• Examples of series we have seen when we worked with sequences-مثال‌هایی از سری‌هایی که هنگام کار با دنباله‌ها دیده‌ایم Examples of series we have seen when we worked with sequences

• From the sequence to its series, an exercise-از دنباله به سری آن، یک تمرین From the sequence to its series, an exercise

• From the series to its sequence, an exercise-از سری به دنباله آن، یک تمرین From the series to its sequence, an exercise

• A necessary (but not sufficient) condition for convergence of series-یک شرط لازم (اما کافی نیست) برای همگرایی سری‌ها A necessary (but not sufficient) condition for convergence of series

• The necessary condition for convergence, an exercise-شرط لازم برای همگرایی، یک تمرین The necessary condition for convergence, an exercise

• For the sum of series it does matter from which index you start-برای مجموع سری‌ها مهم است که از کدام اندیس شروع کنید For the sum of series it does matter from which index you start

• Heads, tails, and remainders-سرها، دم‌ها و باقیمانده‌ها Heads, tails, and remainders

• The Cauchy condition for series-شرط کوشی برای سری‌ها The Cauchy condition for series

• Arithmetic series: nothing interesting, really...-سری حسابی: واقعاً هیچ چیز جالبی نیست... Arithmetic series: nothing interesting, really...

• Geometric series: one of our celebrities-سری هندسی: یکی از چهره‌های معروف ما Geometric series: one of our celebrities

• Geometric series: various ways of writing down the same series-سری هندسی: راه‌های مختلف نوشتن یک سری Geometric series: various ways of writing down the same series

• A geometrical illustration of summability of a geometric series-یک تصویر هندسی از جمع‌پذیری یک سری هندسی A geometrical illustration of summability of a geometric series

• The sum, difference, and scalings of series; a warning about the product-جمع، تفریق و مقیاس‌گذاری سری‌ها؛ هشدار در مورد حاصل ضرب The sum, difference, and scalings of series; a warning about the product

• The sum, difference, and scalings of series, an exercise-جمع، تفریق و مقیاس‌گذاری سری‌ها، یک تمرین The sum, difference, and scalings of series, an exercise

• From harmonic series to p-series-از سری هارمونیک تا سری p From harmonic series to p-series

• Alternating series-سری متناوب Alternating series

• Convergent alternating series and approximations-سری‌های متناوب همگرا و تقریب‌ها Convergent alternating series and approximations

• Telescoping series and their convergence-سری‌های تلسکوپی و همگرایی آنها Telescoping series and their convergence

• Telescoping series and their convergence, Example 1-سری‌های تلسکوپی و همگرایی آنها، مثال ۱ Telescoping series and their convergence, Example 1

• Telescoping series and their convergence, Example 2-سری‌های تلسکوپی و همگرایی آنها، مثال ۲ Telescoping series and their convergence, Example 2

• Telescoping series and their convergence, Example 3-سری‌های تلسکوپی و همگرایی آنها، مثال ۳ Telescoping series and their convergence, Example 3

• Another way of showing that the harmonic series is divergent to plus infinity-یک راه دیگر برای نشان دادن اینکه سری هارمونیک به سمت مثبت بی‌نهایت واگرا است Another way of showing that the harmonic series is divergent to plus infinity

• A nice alternating series that shows to be divergent-یک سری متناوب خوب که واگرا بودن آن را نشان می‌دهد A nice alternating series that shows to be divergent

• Turning sequences into infinite series-تبدیل دنباله‌ها به سری‌های بی‌نهایت Turning sequences into infinite series

• Turning sequences into series, a geometric introduction to Euler's constant-تبدیل دنباله‌ها به سری‌ها، یک مقدمه هندسی بر ثابت اویلر Turning sequences into series, a geometric introduction to Euler's constant

• Absolute and conditional convergence-همگرایی مطلق و مشروط Absolute and conditional convergence

• Fun stuff: arithmetico-geometric series, Problem 1-مطالب سرگرم‌کننده: سری‌های حسابی-هندسی، مسئله ۱ Fun stuff: arithmetico-geometric series, Problem 1

• More fun stuff: using arithmetico-geometric series, Problem 2-مطالب سرگرم‌کننده بیشتر: استفاده از سری‌های حسابی-هندسی، مسئله ۲ More fun stuff: using arithmetico-geometric series, Problem 2

• More fun stuff: using arithmetico-geometric series, Problem 3-مطالب سرگرم‌کننده بیشتر: استفاده از سری‌های حسابی-هندسی، مسئله ۳ More fun stuff: using arithmetico-geometric series, Problem 3

• Arithmetico-geometric series, Problem 4-سری‌های حسابی-هندسی، مسئله ۴ Arithmetico-geometric series, Problem 4

• Using arithmetico-geometric series, Problem 5-استفاده از سری‌های حسابی-هندسی، مسئله ۵ Using arithmetico-geometric series, Problem 5

Number series: plenty of tests, even more exercises-سری‌های عددی: آزمون‌های فراوان، تمرین‌های بیشتر Number series: plenty of tests, even more exercises

• Our roadmap-نقشه راه ما Our roadmap

• Determining convergence, Exercise 1-تعیین همگرایی، تمرین ۱ Determining convergence, Exercise 1

• Determining convergence, Exercise 2-تعیین همگرایی، تمرین ۲ Determining convergence, Exercise 2

• Determining convergence, Exercise 3-تعیین همگرایی، تمرین ۳ Determining convergence, Exercise 3

• Determining convergence, Exercise 4-تعیین همگرایی، تمرین ۴ Determining convergence, Exercise 4

• Series with positive elements: Comparison test-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون مقایسه Series with positive elements: Comparison test

• Comparison test, Exercise 5-آزمون مقایسه، تمرین ۵ Comparison test, Exercise 5

• Comparison test, Exercise 6-آزمون مقایسه، تمرین ۶ Comparison test, Exercise 6

• Comparison test, Exercise 7-آزمون مقایسه، تمرین ۷ Comparison test, Exercise 7

• Comparison test, Exercise 8-آزمون مقایسه، تمرین ۸ Comparison test, Exercise 8

• Comparison test, Exercise 9-آزمون مقایسه، تمرین ۹ Comparison test, Exercise 9

• Comparison test, Exercise 10-آزمون مقایسه، تمرین ۱۰ Comparison test, Exercise 10

• Comparison test, Exercise 11-آزمون مقایسه، تمرین ۱۱ Comparison test, Exercise 11

• Comparison test, Exercise 12-آزمون مقایسه، تمرین ۱۲ Comparison test, Exercise 12

• Series with positive elements: Limit comparison test-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون مقایسه حدی Series with positive elements: Limit comparison test

• Limit comparison test, Exercise 13-آزمون مقایسه حدی، تمرین ۱۳ Limit comparison test, Exercise 13

• Limit comparison test, Exercise 14-آزمون مقایسه حدی، تمرین ۱۴ Limit comparison test, Exercise 14

• Limit comparison test, Exercise 15-آزمون مقایسه حدی، تمرین ۱۵ Limit comparison test, Exercise 15

• Limit comparison test, Exercise 16-آزمون مقایسه حدی، تمرین ۱۶ Limit comparison test, Exercise 16

• Limit comparison test, Exercise 17-آزمون مقایسه حدی، تمرین ۱۷ Limit comparison test, Exercise 17

• An example where the CT works better than LCT, Exercise 18-یک مثال که در آن CT بهتر از LCT عمل می‌کند، تمرین ۱۸ An example where the CT works better than LCT, Exercise 18

• Series with positive elements: Comparison test 2 (lemma)-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون مقایسه ۲ (لم) Series with positive elements: Comparison test 2 (lemma)

• Series with positive elements: d'Alembert criterion-سری‌ها با عناصر مثبت: معیار دالامبر Series with positive elements: d'Alembert criterion

• d'Alembert criterion formulated with help of limit superior and limit inferior-معیار دالامبر با کمک حد بالایی و حد پایینی فرموله شده است d'Alembert criterion formulated with help of limit superior and limit inferior

• Series with positive elements: Ratio test-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون نسبت Series with positive elements: Ratio test

• Ratio test, Exercise 19-آزمون نسبت، تمرین ۱۹ Ratio test, Exercise 19

• Ratio test, Exercise 20-آزمون نسبت، تمرین ۲۰ Ratio test, Exercise 20

• Ratio test, Exercise 21-آزمون نسبت، تمرین ۲۱ Ratio test, Exercise 21

• Ratio test, Exercise 22-آزمون نسبت، تمرین ۲۲ Ratio test, Exercise 22

• Ratio test, Exercise 23-آزمون نسبت، تمرین ۲۳ Ratio test, Exercise 23

• Ratio test, Exercise 24-آزمون نسبت، تمرین ۲۴ Ratio test, Exercise 24

• Ratio test, Exercise 25-آزمون نسبت، تمرین ۲۵ Ratio test, Exercise 25

• Ratio test, Exercise 26-آزمون نسبت، تمرین ۲۶ Ratio test, Exercise 26

• Ratio test, Exercise 27-آزمون نسبت، تمرین ۲۷ Ratio test, Exercise 27

• Ratio test, Exercise 28-آزمون نسبت، تمرین ۲۸ Ratio test, Exercise 28

• Ratio test, Exercise 29-آزمون نسبت، تمرین ۲۹ Ratio test, Exercise 29

• Ratio test, Exercise 30-آزمون نسبت، تمرین ۳۰ Ratio test, Exercise 30

• Series with positive elements: Cauchy criterion-سری‌ها با عناصر مثبت: معیار کوشی Series with positive elements: Cauchy criterion

• Cauchy criterion formulated with help of limit superior and limit inferior-معیار کوشی با کمک حد بالایی و حد پایینی فرموله شده است Cauchy criterion formulated with help of limit superior and limit inferior

• Series with positive elements: Root test-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون ریشه Series with positive elements: Root test

• Root test, Exercise 31-آزمون ریشه، تمرین ۳۱ Root test, Exercise 31

• Root test, Exercise 32-آزمون ریشه، تمرین ۳۲ Root test, Exercise 32

• Root test, Exercise 33-آزمون ریشه، تمرین ۳۳ Root test, Exercise 33

• Root test, Exercise 34-آزمون ریشه، تمرین ۳۴ Root test, Exercise 34

• Root test, Exercise 35-آزمون ریشه، تمرین ۳۵ Root test, Exercise 35

• Series with positive elements: Integral test-سری‌ها با عناصر مثبت: آزمون انتگرال Series with positive elements: Integral test

• Integral test, Exercise 36-آزمون انتگرال، تمرین ۳۶ Integral test, Exercise 36

• Integral test, Exercise 37-آزمون انتگرال، تمرین ۳۷ Integral test, Exercise 37

• Integral test, Exercise 38-آزمون انتگرال، تمرین ۳۸ Integral test, Exercise 38

• Integral test, Exercise 39-آزمون انتگرال، تمرین ۳۹ Integral test, Exercise 39

• Integral test, Exercise 40-آزمون انتگرال، تمرین ۴۰ Integral test, Exercise 40

• Integral test, Exercise 41-آزمون انتگرال، تمرین ۴۱ Integral test, Exercise 41

• Integral test, Exercise 42-آزمون انتگرال، تمرین ۴۲ Integral test, Exercise 42

• Integral test, Exercise 43-آزمون انتگرال، تمرین ۴۳ Integral test, Exercise 43

• There are more tests, there are plenty of books-آزمون‌های بیشتری وجود دارد، کتاب‌های زیادی وجود دارد There are more tests, there are plenty of books

• Convergence of series, Problem 1-همگرایی سری‌ها، مسئله ۱ Convergence of series, Problem 1

• Convergence of series, Problem 2-همگرایی سری‌ها، مسئله ۲ Convergence of series, Problem 2

• Convergence of series, Problem 3-همگرایی سری‌ها، مسئله ۳ Convergence of series, Problem 3

• Back to Euler constant gamma, Problem 4-بازگشت به ثابت اویلر گاما، مسئله ۴ Back to Euler constant gamma, Problem 4

• Back to the alternating harmonic series, Problem 5-بازگشت به سری هارمونیک متناوب، مسئله ۵ Back to the alternating harmonic series, Problem 5

• The last one, Problem 6-آخرین مورد، مسئله ۶ The last one, Problem 6

Various operations on series-عملیات مختلف روی سری‌ها Various operations on series

• Linear combinations of convergent series (see V133)-ترکیبات خطی از سری‌های همگرا (به V133 مراجعه کنید) Linear combinations of convergent series (see V133)

• The associative law works fine for partial sums, but not for the entire series-قانون شرکت‌پذیری برای مجموع‌های جزئی خوب کار می‌کند، اما برای کل سری نه The associative law works fine for partial sums, but not for the entire series

• Rearrangements-جابه‌جایی Rearrangements

• Riemann Rearrangement Theorem-قضیه جابه‌جایی ریمان Riemann Rearrangement Theorem

• A useful lemma that allows us solve the example in the next video-یک لم مفید که به ما امکان می‌دهد مثال را در ویدیوی بعدی حل کنیم A useful lemma that allows us solve the example in the next video

• Rearrangements, an example-جابه‌جایی، یک مثال Rearrangements, an example

• Products of series-حاصل‌ضرب سری‌ها Products of series

• Cauchy product of series-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌ها Cauchy product of series

• Cauchy product of series, Example 1-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌ها، مثال ۱ Cauchy product of series, Example 1

• Cauchy product of series, Example 2-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌ها، مثال ۲ Cauchy product of series, Example 2

• Cauchy product of series, Example 3-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌ها، مثال ۳ Cauchy product of series, Example 3

• Remainders and approximations-باقیمانده‌ها و تقریب‌ها Remainders and approximations

• Remainders and approximations: alternating series, Exercise 1-باقیمانده‌ها و تقریب‌ها: سری‌های متناوب، تمرین ۱ Remainders and approximations: alternating series, Exercise 1

• Remainders and approximations: positive series, Exercise 2-باقیمانده‌ها و تقریب‌ها: سری‌های مثبت، تمرین ۲ Remainders and approximations: positive series, Exercise 2

• Remainders and approximations: positive series, Exercise 3-باقیمانده‌ها و تقریب‌ها: سری‌های مثبت، تمرین ۳ Remainders and approximations: positive series, Exercise 3

• Remainders and approximations: integral test, Exercise 4-باقیمانده‌ها و تقریب‌ها: آزمون انتگرال، تمرین ۴ Remainders and approximations: integral test, Exercise 4

Sequences of functions (a very brief introduction)-دنباله‌های توابع (یک مقدمه بسیار مختصر) Sequences of functions (a very brief introduction)

• Sequences of functions: two famous examples-دنباله‌های توابع: دو مثال معروف Sequences of functions: two famous examples

• Point-wise convergence of sequences of functions-همگرایی نقطه‌ای دنباله‌های توابع Point-wise convergence of sequences of functions

• Uniform convergence of sequences of functions-همگرایی یکنواخت دنباله‌های توابع Uniform convergence of sequences of functions

Infinite series of functions (a very brief introduction)-سری‌های نامحدود توابع (یک مقدمه بسیار مختصر) Infinite series of functions (a very brief introduction)

• Series of functions; four types of their convergence-سری‌های توابع؛ چهار نوع همگرایی آنها Series of functions; four types of their convergence

• Cauchy conditions for sequences and series of functions-شرایط کوشی برای دنباله‌ها و سری‌های توابع Cauchy conditions for sequences and series of functions

• All the regular criteria and a new one: Weierstrass test-تمام معیارهای معمول و یک معیار جدید: آزمون وایرشتراس All the regular criteria and a new one: Weierstrass test

Power series and their properties-سری‌های توانی و خواص آنها Power series and their properties

• Power series and several ways of thinking about them-سری‌های توانی و راه‌های مختلف فکر کردن در مورد آنها Power series and several ways of thinking about them

• Power series we have seen earlier in this course-سری‌های توانی که قبلاً در این دوره دیده‌ایم Power series we have seen earlier in this course

• Power series we have seen in Precalculus 3 and Precalculus 4-سری‌های توانی که در پیش‌حسابان ۳ و پیش‌حسابان ۴ دیده‌ایم Power series we have seen in Precalculus 3 and Precalculus 4

• Before we start, let's get prepared, Exercise 1-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۱ Before we start, let's get prepared, Exercise 1

• Before we start, let's get prepared, Exercise 2-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۲ Before we start, let's get prepared, Exercise 2

• Before we start, let's get prepared, Exercise 3-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۳ Before we start, let's get prepared, Exercise 3

• Before we start, let's get prepared, Exercise 4-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۴ Before we start, let's get prepared, Exercise 4

• Before we start, let's get prepared, Exercise 5-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۵ Before we start, let's get prepared, Exercise 5

• Before we start, let's get prepared, Exercise 6-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۶ Before we start, let's get prepared, Exercise 6

• Before we start, let's get prepared, Exercise 7-قبل از شروع، بیایید آماده شویم، تمرین ۷ Before we start, let's get prepared, Exercise 7

• Does the ratio test always work? An example-آیا آزمون نسبت همیشه کار می‌کند؟ یک مثال Does the ratio test always work? An example

• Radius of convergence, two methods-شعاع همگرایی، دو روش Radius of convergence, two methods

• Theorems about convergence of power series-قضیه‌های مربوط به همگرایی سری‌های توانی Theorems about convergence of power series

• Uniqueness of power-series representations-منحصربه‌فردی نمایش‌های سری توانی Uniqueness of power-series representations

• Power-series representations for even and odd functions-نمایش‌های سری توانی برای توابع زوج و فرد Power-series representations for even and odd functions

• Uniqueness of power-series representations, an example-منحصربه‌فردی نمایش‌های سری توانی، یک مثال Uniqueness of power-series representations, an example

• Arithmetic operations on power series-عملیات حسابی روی سری‌های توانی Arithmetic operations on power series

• Power series changes anyway if we change the centre-سری توانی به هر حال تغییر می‌کند اگر مرکز را تغییر دهیم Power series changes anyway if we change the centre

• Cauchy product of power series, an example-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌های توانی، یک مثال Cauchy product of power series, an example

• Cauchy product of power series, another example-حاصل‌ضرب کوشی از سری‌های توانی، مثال دیگر Cauchy product of power series, another example

• The most exciting example of Cauchy product-جذاب‌ترین مثال از حاصل‌ضرب کوشی The most exciting example of Cauchy product

• Differentiation and integration of power series term after term-مشتق و انتگرال‌گیری از سری‌های توانی جمله به جمله Differentiation and integration of power series term after term

• Differentiation of power series term after term, an example-مشتق‌گیری از سری‌های توانی جمله به جمله، یک مثال Differentiation of power series term after term, an example

• Differentiation Differentiation and integration of power series term after term, more examples

• Playing with geometric series, Problem 1

• Power series, Problem 2

• Power series, Problem 3

Taylor series and related topics: a continuation from Calc1p2

• All roads lead to Taylor series

• Taylor's Theorem with proof and some conclusions

• Finding Taylor- and Maclaurin polynomials

• Smooth and analytic functions

• New series from old series, some examples

• Approximations: some reading recommendations

• Monic monomials around zero and the big O

• Limits of indeterminate expressions, some examples

• Limits of indeterminate expressions, more examples

• Cherry on top: the sine and the cosine defined with help of series

• Calculus, Advanced Calculus, and Real Analysis

Extras

• Bonus Lecture