آموزش پیش حساب 4: نمایی و لگاریتم

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی دوره Introduction to the course

• همه چیز در مورد قدرت، رشد و زوال است It's all about power, growth, and decay

• یک نمودار برای حکومت بر همه آنها One graph to rule them all

• سوالات کلی که در مورد توابع می پرسیم General questions we ask about functions

• پاسخ های ساده: دامنه، محدوده، صفر، قطع y، یکنواختی، وارونگی Simple answers: domain, range, zeros, y-intercept, monotonicity, invertibility

• چند سوال فوق العاده پیچیده Some extraordinarily complicated questions

عدد نجیب e، قضیه دو جمله ای و مثلث پاسکال The noble number e, the Binomial Theorem, and Pascal's Triangle

• مختصر و شیرین در مورد عدد e Short and sweet about the number e

• نماد جمع: یک تکرار و برخی ویژگی ها Summation notation: a repetition and some properties

• کوتاه و شیرین در مورد مثلث پاسکال Short and sweet about Pascal's Triangle

• در مورد قدرت های یک تفاوت چطور؟ What about powers of a difference?

• بیایید بالا بردن دوجمله ای ها به قدرت های طبیعی مثبت را تمرین کنیم Let's practice raising binomials to positive natural powers

• ضرایب فاکتوریل و دو جمله ای Factorial and binomial coefficients

• کوتاه و شیرین در مورد قضیه دو جمله ای Short and sweet about the Binomial Theorem

• چطوری همینطوره؟ How is it the same?

• اثبات رسمی قضیه دو جمله ای: با استقرا A formal proof of the Binomial Theorem: by induction

• اختیاری: اثبات ترکیبی قضیه دو جمله ای Optional: A combinatorial proof of the Binomial Theorem

• اختیاری، اما واقعا لذت بخش Optional, but really delightful

• پیشرفته: اصل کامل بودن از نظر یک برتری Advanced: Axiom of Completeness in terms of a supremum

• پیشرفته: همگرایی یک دنباله یکنواخت از اعداد واقعی Advanced: Convergence of a monotone sequence of real numbers

• پیشرفته: همگرایی دنباله ها و سری های هندسی Advanced: Convergence of geometric sequences and series

• پیشرفته: انگیزه تعریف و غیرمنطقی بودن عدد e Advanced: Motivation of the definition and irrationality of the number e

توان ها با انواع مختلف توان Powers with various types of exponents

• نقشه ما Our plan

• قدرت هایی با توان های طبیعی مثبت Powers with positive natural exponents

• دو قانون محصول Two product rules

• دو قانون ضریب Two quotient rules

• قانون قدرت The power rule

• چگونه تعریف قدرت ها را به دیگر شارحان گسترش دهیم How we expand the definition of powers to other exponents

• قدرت های صفر و اشکال نامشخص Zero powers and indeterminate forms

• قدرت هایی با توان های عدد صحیح منفی Powers with negative integer exponents

• قدرت ها با شارح های منطقی Powers with rational exponents

• پیشرفته: وجود ریشه Advanced: Existence of roots

• اطلاعات بیشتر در مورد قدرت های با شارح های منطقی More about powers with rational exponents

• قدرت ها با توان های واقعی. نمودارهای توابع نمایی Powers with real exponents; graphs of exponential functions

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 1 Computing various powers, Problem 1

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 2 Computing various powers, Problem 2

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 3 Computing various powers, Problem 3

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 4 Computing various powers, Problem 4

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 5 Computing various powers, Problem 5

• محاسبه توان های مختلف، مسئله 6 Computing various powers, Problem 6

• ساده سازی عبارات، مسئله 7 Simplifying expressions, Problem 7

• ساده سازی عبارات، مسئله 8 Simplifying expressions, Problem 8

• ساده سازی عبارات، مسئله 9 Simplifying expressions, Problem 9

• ساده سازی عبارات، مسئله 10 Simplifying expressions, Problem 10

• ساده سازی عبارات، مسئله 11 Simplifying expressions, Problem 11

• ساده سازی عبارات، مسئله 12 Simplifying expressions, Problem 12

• ساده سازی عبارات، مسئله 13 Simplifying expressions, Problem 13

• مراقب علائم، مسئله 14 Careful with signs, Problem 14

• مراقب علائم، مسئله 15 Careful with signs, Problem 15

• مراقب علائم، مسئله 16 Careful with signs, Problem 16

• مقایسه اعداد، مسئله 17 Comparing numbers, Problem 17

• مقایسه اعداد، مسئله 18 Comparing numbers, Problem 18

• مقایسه اعداد، مسئله 19 Comparing numbers, Problem 19

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 20 The charms of squares and conjugates, Problem 20

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 21 The charms of squares and conjugates, Problem 21

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 22 The charms of squares and conjugates, Problem 22

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 23 The charms of squares and conjugates, Problem 23

• جذابیت های مربع و مزدوج، مسئله 24 The charms of squares and conjugates, Problem 24

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 25 The charms of squares and conjugates, Problem 25

• جذابیت های مربع ها و مزدوج ها، مسئله 26 The charms of squares and conjugates, Problem 26

• مکعب ها، مسئله 27 The cubes, Problem 27

• مکعب ها، مسئله 28 The cubes, Problem 28

• مربع و مکعب، مسئله 29 Squares and cubes, Problem 29

• مکعب ها، مسئله 30 The cubes, Problem 30

• مربع و مکعب، مسئله 31 Squares and cubes, Problem 31

• یک معادله، مسئله 32 An equation, Problem 32

• مورد آخر، مسئله 33 The last one, Problem 33

توابع قدرت، خواص و نمودارهای آنها Power functions, their properties and graphs

• مقدمه ای کلی بر توابع قدرت A general introduction to power functions

• توابع توان با نماهای طبیعی مثبت Power functions with positive natural exponents

• توابع قدرت با نماهای عدد صحیح منفی Power functions with negative integer exponents

• توابع توان با توان کسری مثبت Power functions with positive fractional exponents

• توابع توان با توان کسری منفی Power functions with negative fractional exponents

• توابع قدرت با توان واقعی Power functions with real exponents

• پیشرفته: مشتق چه چیزی در مورد یکنواختی و کاسپ به شما می گوید Advanced: What is the derivative telling you about monotonicity and cusps

• توابع قدرت، تمرین 1 Power functions, Exercise 1

• توابع قدرت، تمرین 2 Power functions, Exercise 2

• توابع قدرت، تمرین 3 Power functions, Exercise 3

• تبدیل نمودارهای معمولی، تمرین 4 Typical graph transformations, Exercise 4

توابع نمایی، خواص و نمودارهای آنها Exponential functions, their properties and graphs

• خواص توابع نمایی Properties of exponential functions

• مقایسه قدرت ها با پایه یکسان، مسئله 1 Comparing powers with the same base, Problem 1

• مقایسه قدرت ها با پایه یکسان، مسئله 2 Comparing powers with the same base, Problem 2

• ویژگی های توابع نمایی، مسئله 3 Properties of exponential functions, Problem 3

• ویژگی های توابع نمایی، مسئله 4 Properties of exponential functions, Problem 4

• توابع نمایی، مسئله 5 Exponential functions, Problem 5

• توابع نمایی، مسئله 6 Exponential functions, Problem 6

• توابع نمایی، مسئله 7 Exponential functions, Problem 7

• توابع نمایی، ترفندی برای به خاطر سپردن، مسئله 8 Exponential functions, a trick to remember, Problem 8

• نمودارهای توابع نمایی و تبدیل آنها، مسئله 9 Graphs of exponential functions, and their transformations, Problem 9

• توابع نمایی، ترفند دیگری برای به خاطر سپردن، مسئله 10 Exponential functions, another trick to remember, Problem 10

• توابع نمایی، مسئله 11 Exponential functions, Problem 11

• توابع نمایی، مسئله 12 Exponential functions, Problem 12

• توابع نمایی، مسئله 13 Exponential functions, Problem 13

• توابع نمایی، مسئله 14 Exponential functions, Problem 14

• توابع نمایی، مسئله 15 Exponential functions, Problem 15

• توابع نمایی، مسئله 16 Exponential functions, Problem 16

• روش های گرافیکی حل معادلات، مسئله 17 Graphical methods for solving equations, Problem 17

• نحوه ارتباط نمودارهای توابع نمایی با یکدیگر How graphs of exponential functions relate to each other

• برهمکنش بین توابع توان و توابع نمایی Interactions between power functions and exponential functions

ویژگی های مهم توابع کاملاً یکنواخت Important properties of strictly monotone functions

• تعریفی سازگار از توابع کاملاً یکنواخت An adapted definition of strictly monotone functions

• وارونگی توابع کاملاً یکنواخت Invertibility of strictly monotone functions

• متقابل توابع مثبت (یا منفی) کاملاً یکنواخت Reciprocals of strictly monotone positive (or negative) functions

• مقیاس بندی توابع کاملاً یکنواخت Scalings of strictly monotone functions

• ترکیبات توابع کاملاً یکنواخت Compositions of strictly monotone functions

• مجموع توابع کاملاً یکنواخت Sums of strictly monotone functions

• محصولات دارای عملکردهای مثبت کاملاً یکنواخت Products of strictly monotone positive functions

• اختیاری: حل معادلات شامل توابع کاملاً یکنواخت Optional: Solving equations involving strictly monotone functions

• اختیاری: حل معادلات شامل توابع کاملاً یکنواخت، مسئله 1 Optional: Solving equations involving strictly monotone functions, Problem 1

• اختیاری: حل معادلات شامل توابع کاملاً یکنواخت، مسئله 2 Optional: Solving equations involving strictly monotone functions, Problem 2

• اختیاری: حل معادلات شامل توابع کاملاً یکنواخت، مسئله 3 Optional: Solving equations involving strictly monotone functions, Problem 3

• اختیاری: حل معادلات شامل توابع کاملاً یکنواخت، مسئله 4 Optional: Solving equations involving strictly monotone functions, Problem 4

توابع لگاریتمی معکوس توابع نمایی هستند Logarithmic functions as inverses to exponential functions

• مقدمه ای کلی بر لگاریتم ها A general introduction to logarithms

• عملیات معکوس برای گرفتن قدرت Inverse operations to taking powers

• در نظر گرفتن لگاریتم به عنوان عملیات معکوس برای افزایش به توان. لغو انقضا Taking logarithms as inverse operation to raising to a power; cancelling exp.

• لگاریتم، چند تمرین Logarithms, some exercises

• توابع لگاریتمی و خواص آنها Logarithmic functions and their properties

• سه خاصیت جالب Three cool properties

• ترتیب منحنی ها Arrangement of the curves

• نحوه تعیین علائم لگاریتم How to determine the signs of logarithms

• قانون محصول برای لگاریتم The product rule for logarithms

• قانون ضریب لگاریتم The quotient rule for logarithms

• قانون قدرت برای لگاریتم ها، یک یادداشت تاریخی، و تمرین های فراوان The power rule for logarithms, a historical note, and plenty of exercises

• قانون تغییر پایه برای لگاریتم ها و برای توان ها The base change rule for logarithms, and for powers

• قانون سوئیچ پایه برای لگاریتم. مسائل تمرینی بیشتر از کتاب The base switch rule for logarithms; more practice problems from the book

• تبدیل نمودارهای معمولی Typical graph transformations

• توابع لگاریتمی؛ تمرین هایی از کتاب Logarithmic functions; exercises from the book

• لگاریتم، مسئله 1 Logarithms, Problem 1

• لگاریتم، مسئله 2 Logarithms, Problem 2

• لگاریتم، مسئله 3 Logarithms, Problem 3

• لگاریتم، مسئله 4 Logarithms, Problem 4

• لگاریتم، مسئله 5 Logarithms, Problem 5

• لگاریتم، مسئله 6 Logarithms, Problem 6

• لگاریتم، مسئله 7 Logarithms, Problem 7

• لگاریتم، مسئله 8 Logarithms, Problem 8

• لگاریتم، مسئله 9 Logarithms, Problem 9

• لگاریتم، مسئله 10 Logarithms, Problem 10

• لگاریتم، مسئله 11 Logarithms, Problem 11

• لگاریتم، مسئله 12 Logarithms, Problem 12

• لگاریتم، مسئله 13 Logarithms, Problem 13

• لگاریتم، مسئله 14 Logarithms, Problem 14

• لگاریتم، مسئله 15 Logarithms, Problem 15

• لگاریتم، مسئله 16 Logarithms, Problem 16

• لگاریتم، مسئله 17 Logarithms, Problem 17

• لگاریتم، مسئله 18 Logarithms, Problem 18

• لگاریتم، مسئله 19 Logarithms, Problem 19

• لگاریتم، مسئله 20 Logarithms, Problem 20

• لگاریتم، مسئله 21 Logarithms, Problem 21

• لگاریتم، مسئله 22 Logarithms, Problem 22

• لگاریتم، مسئله 23 Logarithms, Problem 23

• لگاریتم، مسئله 24 Logarithms, Problem 24

معادلات و نابرابری های نمایی Exponential equations and inequalities

• معادله یا نابرابری نمایی چیست؟ What is an exponential equation or inequality?

• یکنواختی دقیق توابع نمایی کلید است Strict monotonicity of exponential functions is the key

• ما قبلاً چند معادله نمایی را حل کرده ایم We have already solved some exponential equations

• ما حتی برخی از نابرابری های نمایی را حل کرده ایم We have even solved some exponential inequalities

• حل معادلات با انجام عملیات معکوس به صورت معکوس Solving equations by performing inverse operations in reverse

• بالاخره فهمیدم: معنی کلمه لگاریتم I finally got it: the meaning of the word logarithm

• برخی از انواع اصلی معادلات نمایی و نحوه برخورد با آنها Some basic types of exponential equations, and how to treat them

• معادلات نمایی، مسئله 1 Exponential equations, Problem 1

• معادلات نمایی، مسئله 2 Exponential equations, Problem 2

• معادلات نمایی، مسئله 3 Exponential equations, Problem 3

• معادلات نمایی، مسئله 4 Exponential equations, Problem 4

• معادلات نمایی، مسئله 5 Exponential equations, Problem 5

• معادلات نمایی، مسئله 6 Exponential equations, Problem 6

• معادلات نمایی، مسئله 7 Exponential equations, Problem 7

• معادلات نمایی، مسئله 8 Exponential equations, Problem 8

• معادلات نمایی، مسئله 9 Exponential equations, Problem 9

• معادلات نمایی، مسئله 10 Exponential equations, Problem 10

• معادلات نمایی، مسئله 11 Exponential equations, Problem 11

• پیدا کردن معکوس توابع تعریف شده توسط نمایی، مسئله 12 Finding inverses to functions defined by exponentials, Problem 12

• اطلاعات بیشتر در مورد معکوس ها، مسئله 13 More about inverses, Problem 13

• معکوس یک تابع بسیار خاص، مسئله 14 The inverse to a very special function, Problem 14

• حل های گرافیکی و تحلیلی نابرابری های تابعی Graphical and analytical solutions of functional inequalities

• نابرابری های نمایی، مسئله 15 Exponential inequalities, Problem 15

• نابرابری های نمایی، مسئله 16 Exponential inequalities, Problem 16

• نابرابری های نمایی، مسئله 17 Exponential inequalities, Problem 17

معادلات لگاریتمی و نامساوی Logarithmic equations and inequalities

• معادله لگاریتمی یا نابرابری چیست و چگونه با آنها برخورد کنیم What is a logarithmic equation or inequality, and how to deal with them

• معادلات و نابرابری های لگاریتمی ساده، مسئله 1 Simple logarithmic equations and inequalities, Problem 1

• پیدا کردن توابع معکوس به توابع تعریف شده توسط لگاریتم، مسئله 2 Finding inverse functions to functions defined by logarithms, Problem 2

• معادلات لگاریتمی، مسئله 3 Logarithmic equations, Problem 3

• معادلات لگاریتمی، مسئله 4 Logarithmic equations, Problem 4

• معادلات لگاریتمی، مسئله 5 Logarithmic equations, Problem 5

• معادلات لگاریتمی، مسئله 6 Logarithmic equations, Problem 6

• معادلات لگاریتمی، مسئله 7 Logarithmic equations, Problem 7

• نابرابری های لگاریتمی، مسئله 8 Logarithmic inequalities, Problem 8

• نابرابری های لگاریتمی، مسئله 9 Logarithmic inequalities, Problem 9

• نابرابری های لگاریتمی، مسئله 10 Logarithmic inequalities, Problem 10

• نابرابری های لگاریتمی، مسئله 11 Logarithmic inequalities, Problem 11

کاربرد توابع نمایی و لگاریتمی Applications of exponential and logarithmic functions

• بخش متفاوت: خواندن بیشتر از کتاب A different section: more reading from the book

• عوامل رشد، زوال، درصد و تغییر Growth, decay, percent, and change factors

• سری هندسی و سالیانه Geometric series and annuity

• بهره مرکب Compound interest

• پیشرفته: عدد e چگونه وارد تصویر می شود؟ Advanced: How is the number e getting into the picture?

• توابع نمایی و کاهش قیمت Exponential functions and decreasing prices

• توابع نمایی و سرد شدن قهوه Exponential functions and coffee getting cold

• پوسیدگی رادیواکتیو و نیمه عمر Radioactive decay and half-life

• رشد بدون مهار و دو برابر شدن جمعیت Uninhibited growth and doubling the population

• نرخ آنی تغییر و نوید مشتقات The instantaneous rate of change and a promise of derivatives

• مقیاس لگاریتمی Logarithmic scale

• توابع لگاریتمی و اندازه گیری بزرگی زلزله Logarithmic functions and measuring the magnitude of earthquakes

• توابع لگاریتمی و اندازه گیری سطح شدت صداها Logarithmic functions and measuring the intensity level of sounds

• توابع لگاریتمی و اندازه گیری اسیدیته Logarithmic functions and measuring acidity

چند موضوع پیشرفته تر Some more advanced topics

• در مورد این بخش About this section

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 1 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 1

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 2 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 2

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 3 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 3

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 4 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 4

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 5 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 5

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 6 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 6

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 7 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 7

• معادلات و نابرابری های مختلط، مسائل سخت تر، مسئله 8 Mixed equations and inequalities, harder problems, Problem 8

• یک مشکل واقعا جالب در مورد دامنه، مشکل 9 A really cool problem about the domain, Problem 9

• مقایسه توان های بزرگ اعداد، مسئله 10 Comparing large powers of numbers, Problem 10

• قدرت ها با توان های واقعی. بازگشت به وعده از ویدیو 33 Powers with real exponents; back to the promise from Video 33

• چهار دسته مهم از توابع Four important classes of functions

• ابرقدرت های نیمه عمر و زمان دو برابر شدن Superpowers of the half-life and the doubling time

• تابع نمایی مشتق خودش است، یک تصویر The exponential function is its own derivative, an illustration

• مشتقات توابع نمایی Derivatives of exponential functions

• توابع نمایی به عنوان راه حل برای یک کلاس مهم از ODE Exponential functions as solutions to an important class of ODE

• رشد نمایی در مقابل لگاریتمی در پرتو مشتقات Exponential versus logarithmic growth in the light of the derivatives

• بسط تیلور و رابطه بین سینوس، کسینوس و e^x Taylor expansion and the relationship between the sine, the cosine, and e^x

• توابع توان و نمایی f. و اگر هم مبنا و هم توان متغیر هستند؟ Power functions and exponential f. And if both base and exponent are variable?

• مشکلی در مورد 2022 و 2023، با دو راه حل A problem about 2022 and 2023, with two solutions

• توابع هذلولی Hyperbolic functions

• پیش حساب 4، جمع بندی Precalculus 4, Wrap-up

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture