آموزش مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال تک‌متغیره، چندمتغیره و فیزیک کلاسیک - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

مقدمه کلی Overall introduction

• مقدمه‌ای بر حساب تک‌متغیره، چندمتغیره و فیزیک کلاسیک Intro to Single & Multivariable Calculus & Classical physics

نتایج مهم در حساب تک‌متغیره Important results in Single Variable Calculus

• توابع functions

• مفاهیم حد و مشتق Concepts of limits and derivatives

• نمایش بصری مشتقات Visual representation of derivatives

• مشتق تابع لگاریتم Derivative of the logarithm

• قاعده لُپیتال De L'Hopital rule

• مشتق تابع نمایی Derivative of the exponential function

• قاعده زنجیری Chain Rule

• مرور اتحادات مثلثاتی با استفاده از اعداد مختلط Review of trigonometric identities using complex numbers

• مشتقات توابع مثلثاتی Derivatives of trigonometric functions

• برخی حدهای مهم مرتبط با توابع مثلثاتی Some important limits related to trigonometric functions

• مشتق چندجمله‌ای‌ها Derivative of polynomials

• مشتق چندجمله‌ای‌ها - بخش دوم Derivative of polynomials - part 2

• مشتق چندجمله‌ای‌ها - بخش سوم Derivative of polynomials - part 3

• مشتق حاصل‌ضرب Derivative of products

• مشتق تابع معکوس Derivative of the inverse function

• سری تیلور Taylor series

• قضیه اساسی حسابان Fundamental Theorem of Calculus

• انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by Parts

مقدمه‌ای بر حساب چندمتغیره Introduction to Multivariable Calculus

• مقدمه Introduction

• مفهوم توابع با بیش از یک متغیر Concept of functions of more than one variable

مشتقات با چندین متغیر Derivatives with multiple variables

• مشتقات جهت‌دار Directional derivatives

• دیفرانسیل تابعی با بیش از یک متغیر ورودی Differential of a function with more than 1 input variable

ضرب داخلی و ضرب خارجی Dot and cross products

• ضرب داخلی: مفهوم هندسی Dot product: geometric meaning

• ضرب خارجی: مفهوم هندسی Cross product: geometric meaning

انتگرال‌های چندمتغیره: دوگانه، سه گانه، سطحی، خطی و غیره Integrals with multiple variables: double, triple, surface, line integrals, etc

• مفهوم انتگرال دوگانه Concept of double integral

• انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی Double integral in Cartesian coordinates

• تغییر متغیر در انتگرال‌های دوگانه و سه گانه Change of variables in double/triple integrals

• انتگرال دوگانه در مختصات قطبی Double integral in Polar coordinates

• انتگرال سه گانه در مختصات کروی Triple integral in spherical coordinates

• انتگرال‌های سطحی - بخش اول Surface integrals part 1

• انتگرال‌های سطحی - بخش دوم Surface integrals part 2

• انتگرال‌های سطحی - بخش سوم Surface integrals part 3

• قضیه دیورژانس و اثبات آن Divergence theorem and its proof

• انتگرال‌های خطی - بخش اول Line integrals part 1

• انتگرال‌های خطی - بخش دوم Line integrals part 2

• قضیه استوکس و اثبات آن Stokes theorem and its proof

• کاربرد قضیه استوکس Application of Stokes theorem

• کاربرد دیگر قضیه استوکس Another application of Stokes theorem

• اثبات دقیق قاعده تبدیل برای انتگرال‌های دوگانه (نتیجه کلی) Rigorous proof of the transformation rule for double integrals (general result)

• نتیجه‌ای از قضیه دیورژانس Corollary of the divergence theorem

• استفاده از قضیه دیورژانس برای محاسبه سطح کره divergence theorem to calculate the surface of a sphere

• استفاده از قضیه دیورژانس برای محاسبه سطح مکعب divergence theorem to calculate the surface of a cube

• مساحت سطح چهاروجهی توسط انتگرال سطحی و سپس قضیه دیورژانس surface area of a tetrahedron by surface integral and then divergence theorem

تمرینات انتگرال‌های چندگانه Exercises on Multiple integrals

• انتگرال دوگانه: تغییر حدود انتگرال‌گیری - مثال ۱ Double integral: changing the limits of integration ex 1

• انتگرال دوگانه: تغییر حدود انتگرال‌گیری - مثال ۲ Double integral: changing the limits of integration ex 2

• انتگرال دوگانه - مثال ۱ double integral ex 1

• انتگرال سه گانه - مثال ۱: حجم محدود شده توسط سهموی و کره Triple integral ex 1: Volume delimited by paraboloid and sphere

• انتگرال سه گانه - مثال ۲ Triple integral 2

• انتگرال دوگانه برای محاسبه یک سری معروف (مسئله بازل) Double integral to calculate a famous series (Basel problem)

• حجم یک کره n-بعدی Volume of an n-dimensional sphere

انتگرال‌های خطی و سطحی line and surface integrals

• انتگرال‌های خطی و سطحی - مثال ۱ line and surface integrals ex 1

• انتگرال‌های خطی و سطحی - مثال ۲ line and surface integrals ex 2

• انتگرال سطحی - مثال ۱ (حل شده بدون استفاده از قضیه دیورژانس) Surface integral ex 1 (solved without resorting to the divergence theorem)

• انتگرال سطحی - مثال ۱ (حل شده از طریق قضیه دیورژانس) surface integral ex 1 solved via divergence theorem

• انتگرال سطحی - مثال ۲: محاسبه مساحت بخشی از یک صفحه surface integral ex 2: calculation of the area of a portion of a plane

اصل کمترین کنش و مسائل لاگرانژی principle of least action and problems on the Lagrangian

• اصل کمترین کنش Principle of least action

• هامیلتونی Hamiltonian

• مسئله ۱: پاندول دوگانه problem 1: double pendulum

• مسئله ۲: پاندول ساده problem 2: simple pendulum

• مسئله ۳: پاندول ساده متصل به یک دایره problem 3: simple pendulum attached to a circle

• مسئله ۴: سیستم میله‌ها problem 4: system of rods

• یافتن منحنی‌ای که زمان سفر از نقطه A به B را به حداقل می‌رساند Finding the curve which minimizes the time to travel from point A to point B

قوانین بقا Conservation laws

• مسئله ۵: ذره در حال حرکت در یک میدان پتانسیل problem 5: particle moving in a potential field

• مسئله ۶: تکانه زاویه‌ای در مختصات استوانه‌ای problem 6: angular momentum in cylindrical coordinates

• مسئله ۷: تقارن مارپیچی problem 7: helical symmetry

حرکت جسم صلب، گشتاورهای اینرسی، انرژی جنبشی Motion of a rigid body, moments of inertia, kinetic energy

• برخی مباحث سینماتیک اجسام صلب Some kinematics of rigid bodies

• انرژی جنبشی و ماتریس اینرسی Kinetic energy and inertia matrix

• مسئله ۸: گشتاورهای اینرسی سیستمی از ذرات هم‌راستا problem 8: moments of inertia of a system of collinear particles

• مسئله ۹: گشتاورهای اینرسی یک مولکول سه اتمی problem 9: moments of inertia of a triatomic molecule

• مسئله ۱۰: گشتاورهای اینرسی یک مولکول چهار اتمی problem 10: moments of inertia of a tetratomic molecule

• مسئله ۱۱: گشتاورهای اینرسی یک میله نازک problem 11: moments of inertia of a thin rod

• مسئله ۱۲: گشتاورهای اینرسی یک کره problem 12: moments of inertia of a sphere

• مسئله ۱۳: گشتاورهای اینرسی یک استوانه دایره‌ای problem 13: moments of inertia of a circular cylinder

• مسئله ۱۴: گشتاورهای اینرسی یک متجانس مستطیلی problem 14: moments of inertia of a rectangular parallelepiped

• مسئله ۱۵: گشتاورهای اینرسی یک مخروط دایره‌ای problem 15: moments of inertia of a circular cone

• مسئله ۱۶: گشتاورهای اینرسی یک بیضوی problem 16: moments of inertia of an ellipsoid

• مسئله ۱۷: نوسانات یک پاندول مرکب problem 17: oscillations of a compound pendulum

• مسئله ۱۸: انرژی جنبشی سیستمی از میله‌ها problem 18: kinetic energy of a system of rods

• مسئله ۱۹: انرژی جنبشی استوانه‌ای روی یک صفحه problem 19: kinetic energy of a cylinder on a plane

• مسئله ۲۰: انرژی جنبشی استوانه‌ای در یک سطح استوانه‌ای problem 20: kinetic energy of a cylinder in a cylindrical surface

• مسئله ۲۱: انرژی جنبشی مخروطی روی یک صفحه problem 21: kinetic energy of a cone on a plane

• مسئله ۲۲: انرژی جنبشی مخروطی با راس بالای صفحه problem 22: kinetic energy of a cone with the vertex above the plane

• مسئله ۲۳: انرژی جنبشی بیضوی با محورهای چرخش عمود problem 23: kinetic energy of an ellipsoid with perpendicular axes of rotation

• مسئله ۲۴: انرژی جنبشی بیضوی با محورهای چرخش غیرعمود problem 24: kinetic en. of an ellipsoid with non-perpendicular axes of rotation

دینامیک جسم صلب تحت تاثیر نیروها و گشتاورها، چارچوب‌های غیرلخت Dynamics of a rigid body subject to forces and torques, non-inertial frames

• برخی تئوری‌ها در مورد دینامیک اجسام صلب Some Theory on the Dynamics of Rigid Bodies

• مسئله ۲۵: معادلات حرکت کره در حال غلتش روی صفحه problem 25: equations of motion of a sphere rolling on a plane

• تئوری چارچوب‌های غیرلخت و شتاب نقاط Theory on non-inertial frames and acceleration of points

• مسئله ۲۶: انحراف جسم در سقوط آزاد از خط عمود روی زمین problem 26: deflection of a freely falling body from the vertical on Earth

• مسئله ۲۷: انحراف پرتابه به دلیل نیروی کوریولیس problem 27: Deviation of a projectile due to the Coriolis force

• مسئله ۲۸: انرژی در یک چارچوب مرجع با چرخش یکنواخت problem 28: energy in a uniformly rotating frame of reference

• مسئله ۲۹: میله همگن در حالت تعادل problem 29: homogeneous rod in equilibrium

کاربردهای حساب تغییرات Applications of Calculus of Variations

• چرا دایره منحنی صفحه‌ای است که بیشترین مساحت را محصور می‌کند؟ Why is the circumference the plane curve which encloses the greatest area ?

• مسئله ۳۰: یافتن مسیر ذره بر اساس اصل موپرتیو problem 30: Finding the path of a particle from Maupertuis' principle

نوسانات آزاد در یک بعد Free oscillations in one dimension

• مسئله ۳۱: فرکانس نوسانات کوچک ذره‌ای که افقی حرکت می‌کند problem 31: frequency of small oscillations of a particle moving horizontally

• مسئله ۳۲: فرکانس نوسانات کوچک ذره‌ای که روی دایره حرکت می‌کند problem 32: frequency of small oscillations of a particle moving on a circle

• مسئله ۳۳: نوسانات پاندول ساده در حرکت افقی problem 33: oscillations of simple pendulum moving horizontally

• مسئله ۳۴: نوسانات کوچک ذره روی یک منحنی problem 34: small oscillations of a particle on a curve

مکانیزم چهار میله‌ای 4-bar Linkage

• مسئله مهندسی مکانیزم چهار میله‌ای Engineering problem 4-bar linkage

• حرکت ممکن سینماتیکی در مکانیزم چهار میله‌ای kinematically possible motion of a 4-bar linkage

• ریاضیات و شبیه‌سازی یک مکانیزم چهار میله‌ای Mathematics and Simulation of a Four-Bar Linkage