آموزش حساب 1، بخش 1 از 2: محدودیت ها و تداوم

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی دوره Introduction to the course

• حساب دیفرانسیل و انتگرال چیست و چه کسانی به آن نیاز دارند What is Calculus and who needs it

• تفاوت بین حساب دیفرانسیل و انتگرال و تجزیه و تحلیل واقعی. انتخاب های من The difference between Calculus and Real Analysis; my choices

• بزرگترین نام ها در حساب دیفرانسیل و انتگرال The greatest names in Calculus

• توابع ابتدایی و ابرقدرت های آنها Elementary functions and their superpowers

• چگونه در دبیرستان در حین بحث درباره عملکردها فریب خوردیم How we cheated our way through the high school while discussing functions

• آنچه در این مجموعه حساب 1 یاد می گیریم What we are going to learn in this series Calculus 1

• محدودیت ها در قلب و روح حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند Limits are at the heart and soul of Calculus

مقدمات: مفاهیم اساسی و کارکردهای ابتدایی Preliminaries: Basic notions and elementary functions

• تسلط بر پیش حساب قبل از حساب دیفرانسیل و انتگرال چقدر ضروری است؟ How essential is it to master Precalculus before Calculus?

• (Repetition Precalculus) جوهر پیش حساب 1 (Repetition Precalculus) The essence of Precalculus 1

• (Repetition Precalculus) جوهر پیش حساب ۲ (Repetition Precalculus) The essence of Precalculus 2

• (Repetition Precalculus) جوهر پیش حساب 3 (Repetition Precalculus) The essence of Precalculus 3

• (Repetition Precalculus) جوهر پیش حساب 4 (Repetition Precalculus) The essence of Precalculus 4

• سوال بپرسید، از QA استفاده کنید Ask questions, use QA

چند تامل در مورد تعمیم فرمول ها Some reflections about the generalising of formulas

• مقدمه بخش 3 Introduction to Section 3

• (Repetition Precalculus) القاء: تکرار مختصر (Repetition Precalculus) Induction: a brief repetition

• تعمیم 3 قانون اساسی (تداعی، جابجایی، توزیعی) Generalisations of 3 basic laws (associativity, commutativity, distributivity)

• چند مثال قبل از اینکه به روش کلی برسیم. مثال 1 Some examples, before we get to the general method; Ex1

• چند مثال قبل از اینکه به روش کلی برسیم. مثال 2 Some examples, before we get to the general method; Ex2

• چند مثال قبل از اینکه به روش کلی برسیم. مثال 3 Some examples, before we get to the general method; Ex3

• انواع فرمول هایی که به دلیل تداعی عملیات به راحتی گسترش می یابند Types of formulas which expand easily because of the associativity of operations

• یک تمرین: استفاده از روش عمومی An exercise: applying The General Method

• اختیاری: تبدیل های خطی بین فضاهای برداری Optional: Linear transformations between vector spaces

• اختیاری، آینده: محدودیت ها، تمایز، و سایر عملیات خطی Optional, Future: Limits, differentiation, and other linear operations

• (پیش حساب تکراری) کلمه ای در مورد نماد سیگما و قضیه دو جمله ای (Repetition Precalculus) A word about the sigma symbol and The Binomial Theorem

• دو برابر کردن مبالغ Squaring the sums

• کمتر آشکار، اما ممکن است: زمانی که LHS تابعی از یک جمع یا یک محصول باشد Less obvious, but possible: when the LHS is a function of a sum or of a product

• آینده: مشتق فرمول محصول Future: The derivative of a product formula

• دو فرمول مثلثاتی برای به خاطر سپردن یک ترفند اعداد پیچیده Two trigonometric formulas to remember; a complex-numbers trick

• تعمیم فرمول ها برای به خاطر سپردن مجموع آرگومان های بیشتر Generalisations of the formulas to remember for the sum of more arguments

• چگونه فرمول های مثلثاتی بیشتری را به صورت رایگان دریافت کنیم How to get more trigonometric formulas for free

• اشتقاق در مقابل اثبات با استقرا. فرمول 1 Derivation versus proof by induction; Formula 1

• اشتقاق در مقابل اثبات با استقرا. فرمول 2 Derivation versus proof by induction; Formula 2

• آینده: انتگرال ریمان و مساحت زیر نمودار Future: Riemann integral and area under the graph

• اشتقاق در مقابل اثبات با استقرا. فرمول 3 Derivation versus proof by induction; Formula 3

• بسیار مهم: تعمیم نابرابری مثلث Extremely important: a generalisation of the triangle inequality

• نابرابری برنولی Bernoulli's inequality

• یک لم جالب برای آینده (برای اثبات قضیه استولز- سزارو) An interesting lemma for the future (for the proof of Stolz-Cesàro Theorem)

ماهیت مجموعه اعداد حقیقی The nature of the set of real numbers

• نحوه استفاده از این بخش؛ اول خبر خوب How to use this section; good news first!

• نظریه اعداد واقعی پیامدهای عملی را توجیه می کند The theory of real numbers justifies the practical consequences

• جایی که در سری Precalculus اطلاعاتی در مورد اعداد واقعی پیدا می کنید Where in the Precalculus series you find information about real numbers

• (پیش حساب تکراری) جبر، ترتیبات و کامل بودن (Repetition Precalculus) Algebra, orders, and completeness

• درباره استخراج قوانین مستقیماً از بدیهیات About deriving rules directly from the axioms

• اختیاری: استخراج قوانین مستقیماً از بدیهیات. علاوه بر این Optional: Deriving rules directly from the axioms; addition

• اختیاری: استخراج قوانین مستقیماً از بدیهیات. ضرب Optional: Deriving rules directly from the axioms; multiplication

• اختیاری: استخراج قوانین مستقیماً از بدیهیات. ضرب (ادامه دارد) Optional: Deriving rules directly from the axioms; multiplication (continued)

• اختیاری: استخراج قوانین مستقیماً از بدیهیات. نابرابری ها Optional: Deriving rules directly from the axioms; inequalities

• اختیاری: چند نمونه از فیلدها: R، Q، C، Zp Optional: Some examples of fields: R, Q, C, Zp

• فقط برای سرگرمی: تعداد زیادی فیلد اعداد مرتب بین Q و R وجود دارد Just for fun: There are plenty of ordered number fields between Q and R

• (پیش حساب تکراری) مقدار مطلق، فواصل و نابرابری مثلث (Repetition Precalculus) Absolute value, distances, and Triangle Inequality

• برخی از تعاریف با مثال: supremum، infimum، حداکثر، حداقل Some definitions with examples: supremum, infimum, maximum, minimum

• اصل کامل بودن و فرمول بندی مجدد آن بر حسب برتری ها Axiom of Completeness and its reformulation in terms of supremums

• هاردکور: وجود ریشه Hardcore: Existence of roots

• (Repetition Prec.) کلمه ای در مورد بدیهیات Peano که مجموعه اعداد طبیعی را تعریف می کنند (Repetition Prec.) A word about Peano axioms defining the set of natural numbers

• اصل حداقل برای اعداد طبیعی The Minimum Principle for natural numbers

• چند کلمه در مورد ساخت اعداد صحیح، گویا و واقعی A word about construction of integer, rational, and real numbers

• تابع کف یا بزرگترین تابع عدد صحیح The floor function, or the greatest integer function

• (تکرار) سه معادل. ویژگی های زیر از اصل کامل بودن (Repetition) Three equiv. properties following from the Axiom of Completeness

• (پیش حساب تکراری) چگالی Q در R، و چرا باید در مورد آن بدانیم (Repetition Precalculus) Density of Q in R, and why we need to know about it

• هاردکور: فقط یک مجموعه از اعداد واقعی وجود دارد Hardcore: There is just one set of real numbers

• Supremum، infimum و غیره؛ مثال 1 Supremum, infimum, etc; Example 1

• Supremum، infimum و غیره؛ مثال 2 Supremum, infimum, etc; Example 2

• آمادگی برای برخی از ظرایف در تعاریف حدود و تداوم A preparation for some subtleties in the definitions of limits and continuity

• قدرت جادویی تم های پیشرو The magical power of leading themes

• نقاط تجمع (نقاط خوشه ای) و نقاط جدا شده؛ مجموعه های مشتق شده Accumulation points (cluster points) and isolated points; derived sets

• اولین برخورد شما با موضوع اصلی ما Your first encounter with our leading theme

• روابط مختلف بین مفاهیم supremum، infimum، نقطه انباشت Various relations between the concepts of supremum, infimum, accumulation point

توالی ها و حدود آنها Sequences and their limits

• توالی در پیش حساب 1 Sequences in Precalculus 1

• اکنون دلایل بیشتری (از آنچه در V8 ارائه شده است) برای مطالعه توالی ها More reasons (than given in V8) to study sequences now

• دنباله چیست؟ نشانه گذاری و اصطلاحات What is a sequence? Notation and terminology

• دنباله ها به عنوان توابع؛ روش های مختلف برای تعریف دنباله ها Sequences as functions; various ways of defining sequences

• تمرین 1: خواندن فرمول ها (فرمولی که MANIM برای اهداف متعدد دارد) Exercise 1: Reading formulas (The one with MANIM for multiple purposes)

• تمرین 2: یافتن فرمول ها Exercise 2: Finding formulas

• تمرین 3: حدس بزنید و ثابت کنید Exercise 3: Guess and prove

• تمرین 4: حدس بزنید و ثابت کنید Exercise 4: Guess and prove

• مسئله 1: فرمول را ساده کنید Problem 1: Simplify the formula

• اختیاری: مسئله 2: فرمول بازگشتی به صریح (یا: بسته). Optional: Problem 2: Recursive to explicit (or: closed) formula

• دنباله های اعداد در مقابل توابع تعریف شده برای همه آرگومان های مثبت Number sequences versus functions defined for all positive arguments

• دنباله های محدود Bounded sequences

• توالی های یکنواخت در مقابل توابع یکنواخت Monotone sequences versus monotone functions

• عملیات حسابی روی دنباله ها Arithmetic operations on sequences

• دو روش برای به تصویر کشیدن سکانس ها. مقدمه همگرایی Two ways of depicting sequences; prelude to convergence

• بازی با نمادها Playing with symbols

• نقاط تجمع دنباله ها Accumulation points of sequences

• نقاط تجمع دنباله ها، تمرین 5 Accumulation points of sequences, Exercise 5

• دنباله چیست؟ چند نمونه What is a subsequence? Some examples

• محدودیت یک دنباله، تعریف و نماد Limit of a sequence, definition and notation

• مهم نیست که با اولین m عناصر چه اتفاقی می افتد It doesn't matter what happens with the first m elements

• نقاط انباشت محدودیت های دنباله ای هستند Accumulation points are limits of subsequences

• اگر دنباله ای همگرا باشد دقیقاً یک نقطه تجمع دارد If a sequence is convergent then it has exactly one accumulation point

• محدودیت یک دنباله؛ بازی با اپسیلون Limit of a sequence; playing with epsilons

• محاسبه محدودیت ها از تعریف، تمرین 6 Computing limits from the definition, Exercise 6

• محاسبه محدودیت ها از تعریف، تمرین 7 Computing limits from the definition, Exercise 7

• محاسبه محدودیت ها از تعریف، تمرین 8 Computing limits from the definition, Exercise 8

• چرا شما نیاز به اثبات با اپسیلون دارید. برخی از آمادگی ها برای آنها Why you need proofs with epsilons; some preparations for them

• ویژگی های دنباله های همگرا Properties of convergent sequences

• قضیه فشردن برای دنباله ها Squeeze Theorem for sequences

• قضیه فشار برای دنباله ها، تمرین 9 Squeeze Theorem for sequences, Exercise 9

• قضیه فشار برای دنباله ها، تمرین 10 Squeeze Theorem for sequences, Exercise 10

• بسیار مهم: محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی Extremely important: New limits from old limits

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، تمرین 11 New limits from old limits, Exercise 11

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، تمرین 12 New limits from old limits, Exercise 12

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، تمرین 13 New limits from old limits, Exercise 13

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، اثبات قسمت 1 New limits from old limits, proof part 1

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، اثبات قسمت 2 New limits from old limits, proof part 2

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، اثبات قسمت 3 New limits from old limits, proof part 3

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، اثبات قسمت 4 New limits from old limits, proof part 4

• قضیه وایرشتراس در مورد همگرایی دنباله های یکنواخت محدود Weierstrass' Theorem about convergence of bounded monotone sequences

• قضیه وایرشتراس، مثال 0 Weierstrass' Theorem, Example 0

• قضیه وایرشتراس، تمرین 14 Weierstrass' Theorem, Exercise 14

• توالی های یکنواخت، محدود، همگرا. یک تست Monotone, bounded, convergent sequences; a test

• واقعی های تمدید شده Extended reals

• پیوسته بودن عملیات حسابی به چه معناست؟ What does it mean that arithmetic operations are continuous?

• محدودیت های نامناسب Improper limits

• بسط دادن حساب به واقعی های توسعه یافته Extending arithmetic to extended reals

• قدرت‌هایی که شامل واقعی‌های توسعه‌یافته هستند Powers involving extended reals

• چند مثال مهم، تمرین 15 Some important examples, Exercise 15

• بسیار مهم: اشکال نامشخص Very important: Indeterminate forms

• مقایسه بی نهایت ها: همیشه شهودی نیست. تمرین 16 Comparing infinities: Not always intuitive; Exercise 16

• مقایسه بینهایت ها: یک حد مهم برای تابع نمایی Comparing infinities: An important limit for the exponential function

• مقایسه بینهایت ها: ضرایب بیشتر Comparing infinities: More quotients

• اختیاری: دنباله های کوشی، توالی در فضاهای متریک و کامل بودن Optional: Cauchy sequences, sequences in metric spaces, and completeness

حد یک تابع در یک نقطه Limit of a function in a point

• همه چیز در مورد نزدیکی است، همچنین برای عملکردها It's all about proximity, also for functions

• بررسی حدود یک تابع در چه نوع نقاطی معنادار است؟ In what kind of points is it meaningful to examine limits of a function?

• مثالی از Precalculus 1 An example from Precalculus 1

• مثالی از Precalculus 2 An example from Precalculus 2

• مثالی از Precalculus 3 An example from Precalculus 3

• مثالی از Precalculus 4 An example from Precalculus 4

• تعریف رسمی از حد در یک نقطه، با یک تصویر Formal definition of a limit in a point, with an illustration

• محدودیت، در صورت وجود، منحصر به فرد است Limit, if exists, is unique

• محدودیت های برخی از توابع، مثال 1 Limits of some functions, Example 1

• محدودیت های برخی از توابع، مثال 2 Limits of some functions, Example 2

• محدودیت های برخی از توابع، مثال 3 Limits of some functions, Example 3

• برخی از نمونه های (قبلی) که محدودیت وجود ندارد Some (earlier) examples where the limit does not exist

• محدودیت های یک طرفه One-sided limits

• محدودیت های یک طرفه، مثال ها One-sided limits, examples

• محدودیت های یک طرفه، نمونه های بیشتر One-sided limits, more examples

• بسیار مهم: محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی Extremely important: New limits from old limits

• محدودیت های جدید از محدودیت های قدیمی، یک تمرین New limits from old limits, an exercise

• رویکردی دیگر به موضوع حدود Another approach to the topic of limits

• تعریف هاینه از حدود، و نکته ای در مورد نشانه گذاری Heine's definition of limits, and a remark about notation

• معادل سازی تعاریف کوشی و هاینه از حدود Equivalence of Cauchy's and Heine's definitions of limits

• دو اثبات قضیه قدرتمند از V138 Two proofs of the powerful theorem from V138

• پیوسته بودن یک تابع به چه معناست؟ What does it mean that a function is continuous?

• یک تست مفید برای تداوم A handy test for continuity

• بررسی تداوم، چند مثال Examining continuity, some examples

• برخی هشدارها در مورد تعاریف مختلف تداوم و ناپیوستگی Some warnings about different definitions of continuity and discontinuity

• پیوستگی چند جمله ای ها، توابع گویا و توابع توان Continuity of polynomials, rational functions, and power functions

• پیوستگی توابع مثلثاتی Continuity of trigonometric functions

• یک لم مهم در مورد محدودیت های یک طرفه توابع یکنواخت An important lemma about one-sided limits of monotone functions

• پیوستگی توابع نمایی Continuity of exponential functions

• ترکیبات توابع پیوسته Compositions of continuous functions

• ترکیبات توابع پیوسته: چند مثال Compositions of continuous functions: some examples

• تداوم توابع معکوس Continuity of inverse functions

• تداوم توابع معکوس: چرا فرض بازه مهم است Continuity of inverse functions: why the assumption about interval is important

• برخی از پیامدهای مهم قضایای V152 و 154 Some important consequences of the theorems in V152 and 154

• از اشکال معین به نامعین: کاری باید انجام شود From determinate to indeterminate forms: something needs to be done

• قضیه فشردن برای توابع Squeeze Theorem for functions

• کاربرد قضیه فشار: حد استاندارد در صفر An application of Squeeze Theorem: a standard limit in zero

• اکنون می توانیم در نهایت فرمول مساحت یک دیسک را ایجاد کنیم Now we can finally motivate the formula for the area of a disk

• محدودیت های استاندارد بیشتر در صفر More standard limits in zero

• حل مسئله، مسئله 1 Problem solving, Problem 1

• حل مسئله، مسئله 2 Problem solving, Problem 2

• حل مسئله، مسئله 3 Problem solving, Problem 3

• حل مسئله، مسئله 4 Problem solving, Problem 4

• حل مسئله، مسئله 5 Problem solving, Problem 5

• حل مسئله، مسئله 6 Problem solving, Problem 6

• حل مسئله، مسئله 7 Problem solving, Problem 7

• حل مسئله، مسئله 8 Problem solving, Problem 8

حدود و حدود بی نهایت در بینهایت ها Infinite limits and limits in the infinities

• مثالی که (تقریبا) تمام مفاهیم این بخش را نشان می دهد An example showing (almost) all the concepts from this section

• ما تمام تئوری های مورد نیاز را داریم We do have all the theory needed

• در مورد همه هشدارها چطور؟ What about all the warnings?

• حدود بی نهایت در بینهایت ها Infinite limits in the infinities

• حدود نامتناهی در بینهایت ها، یک شرط متوالی Infinite limits in the infinities, a sequential condition

• حدود محدود در بینهایت ها Finite limits in the infinities

• محدودیت های متناهی در بینهایت ها، یک شرط متوالی Finite limits in the infinities, a sequential condition

• مجانب افقی Horizontal asymptotes

• محدودیت های بی نهایت در نقاط تجمع دامنه (خارج از دامنه) Infinite limits at accumulation points of the domain (outside the domain)

• محدودیت های بی نهایت در نقاط تجمع دامنه، یک شرط متوالی Infinite limits at accumulation points of the domain, a sequential condition

• مجانب عمودی Vertical asymptotes

• مماس و مماس، و مجانب آنها Tangent and arctangent, and their asymptotes

• مقایسه بی نهایت ها: مانند V119 Comparing infinities: as in V119

• مجانب افقی مختلف در بعلاوه و منهای بی نهایت Different horizontal asymptotes in plus and minus infinity

• محدودیت ها، مسئله 1 Limits, Problem 1

• محدودیت ها، مسئله 2 Limits, Problem 2

• محدودیت ها، مسئله 3 Limits, Problem 3

• محدودیت ها، مسئله 4 Limits, Problem 4

• محدودیت ها، مسئله 5 Limits, Problem 5

• محدودیت ها، مسئله 6 Limits, Problem 6

تداوم و ناپیوستگی Continuity and discontinuities

• سه نوع ناپیوستگی، تمدید مداوم و برخی هشدارها Three types of discontinuities, continuous extensions, and some warnings

• تداوم و ناپیوستگی، مسئله 1 Continuity and discontinuities, Problem 1

• تداوم و ناپیوستگی، مسأله 2 Continuity and discontinuities, Problem 2

• تداوم و ناپیوستگی، مسئله 3 Continuity and discontinuities, Problem 3

• تداوم و ناپیوستگی، مسئله 4 Continuity and discontinuities, Problem 4

• تداوم و ناپیوستگی، مسأله 5 Continuity and discontinuities, Problem 5

• تداوم و ناپیوستگی، مسأله 6 Continuity and discontinuities, Problem 6

• تداوم و ناپیوستگی، مسأله 7 Continuity and discontinuities, Problem 7

• تداوم و ناپیوستگی، مسأله 8 Continuity and discontinuities, Problem 8

• اختیاری: نمونه هایی از توابع با تعداد نقاط ناپیوستگی مختلف Optional: Examples of functions with various numbers of discontinuity points

• توابع تکه‌ای که انتهای آن همیشه به هم می‌رسند Piece-wise functions where the ends will always meet

خواص توابع پیوسته Properties of continuous functions

• مختصری در مورد خواص مهم توابع پیوسته در فواصل زمانی Briefly about important properties of functions continuous on intervals

• لم جدایی Separation lemma

• قضیه مرزبندی The Boundedness Theorem

• قضیه حداکثر مین The Max-Min Theorem

• نصف کردن فواصل Halving intervals

• قضیه مقدار متوسط The Intermediate-Value Theorem

• چند مثال از Precalculus Some examples from Precalculus

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 1 Properties of continuous functions, Problem 1

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 2 Properties of continuous functions, Problem 2

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 3 Properties of continuous functions, Problem 3

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 4 Properties of continuous functions, Problem 4

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 5 Properties of continuous functions, Problem 5

• ویژگی های توابع پیوسته، مسئله 6 Properties of continuous functions, Problem 6

• تداوم یکنواخت Uniform continuity

• آینده: مجموعه های باز، بسته، فشرده و متصل در فضاهای متریک Future: Open, closed, compact, and connected sets in metric spaces

• آینده: فرمول مجدد سه قضیه مهم در اصطلاحات جدید Future: Reformulation of the three important theorems in new terms

• پیشرفته: سه ویژگی توابع پیوسته Advanced: Three characterisations of continuous functions

شروع توابع نموداری Starting graphing functions

• فهرست کار برای ترسیم توابع: برای حال و آینده A todo list for plotting functions: for now and for the future

• مجانب مایل، و وضوح برای توابع منطقی Slant asymptotes, and a clarity for rational functions

• یک تابع منطقی، مسئله 1 A rational function, Problem 1

• مجانب افقی مختلف در بینهایت ها، مسئله 2 Different horizontal asymptotes in the infinities, Problem 2

• مجانب، مسئله 3 Asymptotes, Problem 3

• مجانب، مسئله 4 Asymptotes, Problem 4

• مجانب عمودی یک طرفه، مسئله 5 One-sided vertical asymptote, Problem 5

• جمع بندی حساب 1، قسمت 1 از 2 Wrap-up Calculus 1, part 1 of 2

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture