آموزش جبر خطی برای یادگیری ماشین و هوش مصنوعی - آخرین آپدیت

ماتریس‌ها Matrices

• معرفی جبر خطی و بهینه‌سازی Introducing Linear Algebra and Optimization

• تعریف معادلات خطی و سیستم معادلات خطی Definition of Linear Equations and System of Linear Equations

• نمای هندسی سیستم معادلات خطی با دو متغیر Geometric View of a System of Linear Equations with Two Variables

• نمادگذاری ماتریسی Matrix Notation

• نمادگذاری ماتریسی و نمادگذاری برداری Matrix Notation and Vector Notation

• جمع ماتریس‌ها Addition of Matrices

• ضرب ماتریس در بردار Multiplication of Matrix and a Vector

• ضرب دو ماتریس Multiplication of Two Matrices

• ترانهاده ماتریس Transpose of a Matrix

• مقدمه‌ای بر دترمینان‌ها Introduction to Determinants

• عملیات سطری دترمینان‌ها: بخش اول Row Operations of Determinants: Part 1

• عملیات سطری دترمینان‌ها: بخش دوم Row Operations of Determinants: Part 2

• برابری Det(AB) با Det(A).Det(B) Det(AB) Equals Det(A).Det(B)

• جمع‌بندی: ماتریس‌ها Wrap-up: Matrices

حل سیستم‌های خطی Solving Linear Systems

• حل سیستم خطی با عملیات سطری (با استفاده از معادلات) Solving a Linear System by Row Operations (Using Equations)

• حل سیستم خطی با عملیات سطری با استفاده از ماتریس Solving a Linear System by Row Operations Using a Matrix

• مسئله وجود و یکتایی Existence and Uniqueness Question

• تعریف فرم پلکانی و فرم پلکانی کاهش‌یافته Definition of Echelon Form and Reduced Echelon Form

• یکتایی فرم پلکانی کاهش‌یافته Uniqueness of Reduced Echelon Form

• موقعیت محور (Pivot) Pivot Position

• الگوریتم کاهش سطری: بخش اول Row Reduction Algorithm: Part 1

• الگوریتم کاهش سطری: بخش دوم Row Reduction Algorithm: Part 2

• قضیه وجود و یکتایی Existence and Uniqueness Theorem

• ماتریس کوفاکتورها Matrix of Co-factors

• معکوس یک ماتریس غیرمنفرد Inverse of a Non-Singular Matrix

• حل سیستم خطی با استفاده از معکوس Solving Linear System Using Inverse

• حل سیستم خطی با استفاده از قاعده کرامر Solving Linear System Using Cramer's Rule

• جمع‌بندی: حل سیستم‌های خطی Wrap-Up: Solution of Linear Systems

فضاهای برداری و تبدیلات خطی Vector Spaces and Linear Transformations

• تعریف فضای برداری Definition of Vector Space

• مثال‌هایی از فضاهای برداری Examples of Vector Spaces

• زیرفضای یک فضای برداری Subspace of a Vector Space

• زیرفضای پوشش داده شده توسط یک مجموعه A Subspace Spanned by a Set

• فضای پوچ (Null Space) یک ماتریس The Null Space of a Matrix

• فضای ستونی یک ماتریس The Column Space of a Matrix

• تضاد بین Nul A و Col A The Contrast Between Nul A and Col A

• تعریف تبدیل خطی Definition of a Linear Transformation

• وابستگی و استقلال خطی Linear Dependence and Independence

• تعریف پایه (Basis) Definition of Basis

• قضیه مجموعه پوشاننده The Spanning Set Theorem

• پایه‌های Nul A و Col A Bases for Nul A and Col A

• بعد یک فضای برداری Dimension of a Vector Space

• قضیه پایه The Basis Theorem

• تعریف فضای سطری Definition of Row Space

• قضیه رتبه The Rank Theorem

• قضیه ماتریس معکوس‌پذیر The Invertible Matrix Theorem

• جمع‌بندی: فضاهای برداری و تبدیلات خطی Wrap-up: Vector Spaces and Linear Transformations

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Eigenvalues and Eigenvectors

• تعریف بردار ویژه و مقدار ویژه Definition of Eigenvector and Eigenvalues

• مثال‌هایی از بردار ویژه و مقدار ویژه Examples of Eigenvector and Eigenvalues

• موارد خاص مقادیر ویژه Special Cases of Eigenvalues

• معادله مشخصه The Characteristic Equation

• مثال‌هایی از مقادیر ویژه مختلط Examples of Complex Eigenvalues

• کاربرد مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Application of Eigenvalues and Eigenvectors

• روش توان (Power Method) The Power Method

• قضیه کیلی-همیلتون Cayley Hamilton Theorem

• جمع‌بندی: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه Wrap-Up: Eigenvalues and Eigenvectors

حل عددی سیستم‌های خطی Numerical Solution of Linear Systems

• روش حذف گاوسی Gauss Elimination Method

• مثال‌هایی از روش حذف گاوسی Examples of Gauss Elimination Method

• مقایسه گاوس-جردن و حذف گاوسی Comparison of Gauss-Jordan and Gauss Elimination

• ماتریس مثلثی پایین و مثلثی بالا Lower Triangular and Upper Triangular Matrix

• حل سیستم خطی با استفاده از تجزیه LU Solving Linear System Using LU Decomposition

• به‌دست آوردن تجزیه LU Obtaining LU Decomposition

• مثال‌هایی از تجزیه LU Examples on LU Decomposition

• روش گاوس-ژاکوبی Gauss Jacobi Method

• مثال‌هایی از روش گاوس-ژاکوبی Examples of Gauss Jacobi Method

• روش گاوس-سایدل Gauss-Seidel Method

• مثال‌هایی از روش گاوس-سایدل Examples of Gauss-Seidel Method

• جمع‌بندی: حل عددی سیستم‌های خطی Wrap-up: Numerical Solution of Linear Systems

مدل‌سازی با برنامه‌ریزی خطی Modeling with Linear Programming

• بهینه‌سازی چیست؟ What is Optimization?

• مدل‌های بهینه‌سازی Optimization Models

• مقدمه‌ای بر برنامه‌ریزی خطی (LPP) Introduction to LPP

• مفاهیم تابع خطی و نامساوی خطی Concepts of Linear Function and Linear Inequality

• مراحل فرمول‌بندی برنامه‌ریزی خطی Steps of an LP Formulation

• فرض‌های اساسی LPP Basic Assumptions of an LPP

• کاربردهای برنامه‌ریزی خطی: سرمایه‌گذاری Linear Programming Applications: Investment

• کاربردهای برنامه‌ریزی خطی: برنامه‌ریزی نیروی کار Linear Programming Applications: Workforce Planning

• کاربردهای برنامه‌ریزی خطی: برنامه‌ریزی توسعه شهری Linear Programming Applications: Urban Development Planning

• کاربردهای برنامه‌ریزی خطی: ترکیب (Blending) Linear Programming Applications: Blending

• جمع‌بندی: مدل‌سازی با برنامه‌ریزی خطی Wrap-Up: Modeling with Linear Programming

حل گرافیکی و مجموعه محدب Graphical Solution and Convex Set

• جواب موجه Feasible Solution

• رسم نامساوی‌های خطی Sketching of Linear Inequalities

• رسم ناحیه موجه Sketching of Feasible Region

• تعیین نقاط گوشه ناحیه موجه Determination of the Corner Point of Feasible Region

• برخی تعاریف پایه Some Basic Definitions

• تعریف ترکیب خطی محدب Definition of Convex Linear Combination

• تعریف مجموعه محدب و نقطه حدی Definition of Convex Set and Extreme Point

• برخی نتایج در مورد مجموعه‌های محدب Few Results on Convex Sets

• کاربرد یک LPP Application of an LPP

• مراحل حل گرافیکی Steps in Graphical Solution

• مثال‌هایی از حل گرافیکی LPP Examples of Graphical Solution of an LPP

• مثال‌های تکمیلی حل گرافیکی LPP Additional Examples of Graphical Solution of an LPP

• جواب‌های بهینه جایگزین Alternative Optimum Solutions

• جواب‌های نامحدود Unbounded Solutions

• جواب‌های ناموجه Infeasible Solutions

• جمع‌بندی: حل گرافیکی و مجموعه محدب Wrap-up: Graphical Solution and Convex Set

روش سیمپلکس Simplex Method

• مدل LP به فرم معادله: بخش اول LP Model in Equation Form: Part 1

• مدل LP به فرم معادله: بخش دوم LP Model in Equation Form: Part 2

• جواب پایه و جواب پایه موجه Basic Solution and Basic Feasible Solution

• شمارش تمام جواب‌های پایه یک LPP از طریق مثال Enumeration of All Basic Solutions of an LPP Through an Example

• از نقاط حدی به جواب‌های پایه From Extreme Points to Basic Solutions

• ماهیت تکرارشونده روش سیمپلکس Iterative Nature of the Simplex Method

• جبر روش سیمپلکس The Algebra of the Simplex Method

• جزئیات محاسباتی روش سیمپلکس Computational Details of the Simplex Method

• خلاصه روش سیمپلکس Summary of the Simplex Method

• مثال‌های تکمیلی حل LPP با استفاده از روش سیمپلکس Additional Examples of Solving an LPP Using the Simplex Method

• جدول سیمپلکس تعمیم‌یافته به فرم ماتریسی Generalized Simplex Tableau in a Matrix Form

• توضیح جدول سیمپلکس به فرم ماتریسی: بخش اول Explanation of the Simplex Table in a Matrix Form: Part 1

• توضیح جدول سیمپلکس به فرم ماتریسی: بخش دوم Explanation of the Simplex Table in a Matrix Form: Part 2

• مثالی از جدول سیمپلکس به فرم ماتریسی Example of a Simplex Table in a Matrix Form

• جمع‌بندی: روش سیمپلکس Wrap-Up: Simplex Method

جواب شروع مصنوعی و موارد خاص در روش سیمپلکس Artificial Starting Solution and Special Cases in the Simplex Method

• نیاز به متغیر مصنوعی Need for Artificial Variable

• معرفی روش M (Big M) Introduction of the M-Method

• ساخت جدول اولیه روش M Construction of Initial Tableau of the M-Method

• جنبه‌های محاسباتی روش M Computational Aspects of the M-Method

• معرفی روش دو مرحله‌ای Introduction of the Two-Phase Method

• جنبه‌های محاسباتی مرحله اول Computational Aspects of Phase I

• معرفی مرحله دوم Introduction of Phase II

• روش سیمپلکس: تخریب (Degeneracy) Simplex Method: Degeneracy

• روش سیمپلکس: جواب‌های نامحدود Simplex Method: Unbounded Solutions

• روش سیمپلکس: جواب‌های بهینه جایگزین Simplex Method: Alternative Optimal Solutions

• روش سیمپلکس: جواب‌های ناموجه Simplex Method: Infeasible Solutions

• جمع‌بندی: جواب شروع مصنوعی و موارد خاص در روش سیمپلکس Wrap-Up: Artificial Starting Solution and Special Cases in the Simplex Method

دوگانگی و روش سیمپلکس دوگان Duality and Dual Simplex Method

• معرفی مسئله دوگان از طریق مثال Introduction to a Dual Problem Through Example

• مسئله دوگان: چند مشاهده Dual Problem: Few Observations

• مثالی از ساخت مسئله دوگان Example of a Dual Problem Construction

• یافتن دوگان به صورت کلی Finding the Dual in General

• ویژگی‌های بنیادی دوگانگی The Fundamental Duality Properties

• چگونه جواب بهینه دوگان را بیابیم How to Find Optimal Solution of Dual

• مثالی از جواب بهینه دوگان Example of an Optimal Solution of Dual

• مثال‌های تکمیلی دوگانگی Additional Examples of Duality

• توضیح روش سیمپلکس دوگان Description of the Dual Simplex Method

• تست موجه بودن و تکرار در روش سیمپلکس دوگان Feasibility Test and Iteration of the Dual Simplex Method

• حل با روش سیمپلکس دوگان: یک مثال Solution by Dual Simplex Method: An Example

• شناسایی جواب ناموجه Identification of the Infeasible Solution

• جمع‌بندی: دوگانگی و روش سیمپلکس دوگان Wrap-up: Duality and Dual Simplex Method