آموزش راهنمای جامع مبانی معادلات دیفرانسیل برای علوم داده - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

مقدمه Introduction

• مرور جبر خطی Linear algebra review

• مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل Introduction to differential equations

• پیش‌نیازهای لازم What you should know

۱. معادلات دیفرانسیل 1. Differential Equations

• میدان‌های جهت Direction fields

• معادلات دیفرانسیل خطی در مقابل غیرخطی Linear vs. nonlinear differential equations

• معادلات دیفرانسیل معمولی در مقابل جزئی Ordinary vs. partial differential equations

• معادلات دیفرانسیل چیستند؟ What are differential equations?

• مرتبه‌های معادله دیفرانسیل Differential equation orders

• حل معادلات دیفرانسیل Differential equation solutions

• مشتق چیست؟ What is a derivative?

• مسائل مقدار اولیه Initial value problems

۲. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول 2. First Order Differential Equations

• معادلات دیفرانسیل تفکیک‌پذیر Separable differential equations

• معادلات دیفرانسیل برنولی Bernoulli differential equations

• محاسبه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول Calculating first order differential equations

• جایگزینی‌ها Substitutions

• معادلات دیفرانسیل خطی Linear differential equations

• معادلات دیفرانسیل دقیق Exact differential equations

• آشنایی با معادلات دیفرانسیل مرتبه اول First order differential equations introduction

۳. کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول 3. First Order Differential Equations Applications

• اختلاط Mixing

• سرعت Velocity

• مدار RC RC circuit

• سرمایش و گرمایش Cooling and heating

• تاریخ‌گذاری کربن ۱۴ Carbon-14 dating

• جمعیت Population

• مسیرهای متعامد Orthogonal trajectories

• منحنی‌ها Curves

• رشد و زوال Growth and decay

۴. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم 4. Second Order Differential Equations

• معادلات مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت Constant coefficient homogeneous second order equations

• مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم Second order differential equations introduction

• ریشه‌های حقیقی و متمایز Real and distinct roots

• ضرایب نامعین Undetermined coefficients

• معادلات مرتبه دوم غیرهمگن Nonhomogeneous second order equations

• ریشه‌های مختلط Complex roots

• تغییر پارامترها Variation of parameters

• برهم‌نهی Superposition

• محاسبه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم Calculating second order differential equations

• کاهش مرتبه Reduction of order

• ریشه‌های حقیقی یکسان Identical real roots

• رونسکیان Wronskian

• کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم Second order differential equations applications

۵. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر 5. Higher Order Differential Equations

• معادلات مرتبه بالاتر غیرهمگن Nonhomogeneous higher order equations

• ریشه‌های متنوع Various roots

• تغییر پارامترها در معادلات مرتبه بالاتر Variation of parameters with higher order Equations

• کاهش مرتبه در معادلات مرتبه بالاتر Reduction of order with higher order equations

• ضرایب نامعین در معادلات مرتبه بالاتر Undetermined coefficients with higher order equations

• محاسبه معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر Calculating higher order differential equations

• معادلات مرتبه بالاتر همگن خطی Linear homogeneous higher order equations

• کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر Higher order differential equations applications

• مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر Higher order differential equations introduction

۶. سری‌ها 6. Series

• سری تیلور Taylor series

• نقاط تکین منظم Regular singular points

• نزدیک به نقاط معمولی Near ordinary points

• سری‌های توانی Power series

• نزدیک به نقاط تکین منظم Near regular singular points

• سری چیست؟ What is a series?

• معادلات اویلر Euler equations

۷. سیستم‌ها 7. Systems

• مقادیر ویژه حقیقی یکسان Identical real eigenvalues

• سیستم‌های خطی غیرهمگن معادلات دیفرانسیل مرتبه اول Linear nonhomogeneous systems of first order differential equations

• مقادیر ویژه مختلط Complex eigenvalues

• مقادیر ویژه حقیقی و متمایز Real and distinct eigenvalues

• سیستم‌های خطی همگن معادلات دیفرانسیل مرتبه اول Linear homogeneous systems of first order differential equations

• سیستم‌های معادلات دیفرانسیل Systems of differential equations

• کاربردهای سیستم‌های معادلات دیفرانسیل Systems of differential equations applications

• محاسبه سیستم‌های معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول Calculating systems of first order linear differential equations

۸. تبدیل لاپلاس 8. Laplace Transform

• تابع دلتای دیراک Dirac delta function

• تبدیل لاپلاس چیست؟ What is the Laplace transform?

• حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از تبدیل‌های لاپلاس Solving differential equations using Laplace transforms

• محاسبه تبدیل لاپلاس Calculating the Laplace transform

• توابع ضربه مستطیلی Rectangular impulse functions

• انتگرال‌های کانولوشن Convolution integrals

• تبدیل معکوس لاپلاس Inverse Laplace transform

• توابع پله‌ای Step functions

• خواص تبدیل لاپلاس Laplace transform properties

۹. معادلات و سیستم‌های دیفرانسیل غیرخطی 9. Nonlinear Differential Equations and Systems

• سیستم‌های خطی محلی Locally linear systems

• سیستم‌های هامیلتونی Hamiltonian systems

• معادلات و سیستم‌های دیفرانسیل غیرخطی چیستند؟ What are nonlinear differential equations and systems?

• آشوب و جذب‌کننده‌های عجیب Chaos and strange attractors

• دوشاخگی‌ها Bifurcations

• سیستم‌های خودگردان Autonomous systems

• تحلیل نقاط تعادل Equilibrium point analysis

• کاربردهای معادلات و سیستم‌های دیفرانسیل غیرخطی Nonlinear differential equations and systems applications

۱۰. روش‌های عددی 10. Numerical Methods

• پایداری و همگرایی Stability and convergence

• روش‌های عددی چیستند؟ What are numerical methods?

• روش اویلر بهبود یافته Improved Euler's Method

• روش رانگ-کوتا Runge-Kutta Method

• روش اویلر Euler's method

۱۱. مسائل مقدار مرزی 11. Boundary Value Problems

• مسائل مقدار مرزی چیستند؟ What are boundary value problems?

• توابع متعامد Orthogonal functions

• توابع ویژه Eigenfunctions

• سری فوریه در مسائل مقدار مرزی Fourier series with boundary value problems

• مسائل مقدار مرزی استورم-لیوویل Sturm-Liouville boundary value problems

• توابع متناوب Periodic functions

• مسائل مقدار مرزی دو نقطه‌ای Two point boundary value problems

۱۲. معادلات دیفرانسیل جزئی 12. Partial Differential Equations

• جداسازی متغیرها Separation of variables

• معادله موج Wave equation

• معادله نفوذ Diffusion equation

• معادله لاپلاس Laplace's equation

• ارتعاش ریسمان String vibration

• سری فوریه در معادلات دیفرانسیل جزئی Fourier series with partial differential equations

• معادله شرودینگر Schrödinger equation

• معادلات دیفرانسیل جزئی چیستند؟ What are partial differential equations?

ادامه مسیر یادگیری معادلات دیفرانسیل Continuing Your Differential Equations Learning Journey

• گام‌های بعدی و منابع تکمیلی Next steps and additional resources