آموزش جبر خطی: رویکردی مسئله‌محور - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

مقدمه Introduction

• مقدمه Introduction

معرفی ماتریس‌ها و ویژگی‌های آن‌ها Introducing Matrices and their Properties

• معرفی ماتریس‌ها Introducing Matrices

• عملیات ماتریسی: جمع Matrix Operations - Addition

• عملیات ماتریسی: ضرب اسکالر Matrix Operations - Scalar Multiplication

• عملیات ماتریسی: ضرب ماتریسی Matrix Operations - Matrix Multiplication

• هومر سیمپسون و ضرب ماتریسی Homer Simpson and Matrix Multiplication

• مثال دیگری از ضرب ماتریسی Another Matrix Multiplication Example

• تئوری: تعریف رسمی ضرب ماتریسی THEORY: Formal definition of Matrix Multiplication

• شفاف‌سازی تعریف رسمی ضرب ماتریسی Clarifying the Formal Definition of Matrix Multiplication

• توضیحات تکمیلی درباره تعریف ضرب ماتریسی Additional Explanation of Matrix Multiplication definition

• تئوری: ویژگی‌های ماتریس، جمع و ضرب ماتریسی THEORY: Matrix Properties - Matrix Addition and Matrix Multiplication

• تئوری: تعریف رسمی ترانهاده THEORY: Formal Definition of Transpose

• تئوری: ترانهاده ضرب‌ها و توان‌های ترانهاده THEORY: Transpose of products and Powers of Transpose

• انواع ماتریس‌ها Types Of Matrices

• ادامه انواع ماتریس‌ها Types Of Matrices Continued

• تمرین: سوال حذف ماتریسی EXERCISE: Matrix Cancellation Question

• تمرین: سوال معکوس ماتریس 2 در 2 (SL2) EXERCISE: 2 x 2 Inverse Question (SL2)

• تئوری: نمادگذاری ماتریسی برای سیستم‌های معادلات خطی THEORY: Matrix Notation for Systems of Linear Equations

• تئوری: عملیات سطری مقدماتی THEORY- Elementary Row Operations

• مثال: حذف گاوسی در عمل EXAMPLE - Gaussian Elimination by Example

• تئوری: فرم پلکانی کاهش یافته (RREF) / حذف گاوسی THEORY: RREF / Gaussian Elimination

• تمرین: مثال برابری ماتریس‌ها EXERCISE: Matrix Equality Example

• تئوری و مثال: نمایش سیستم خطی به صورت Ax = b THEORY + EXAMPLE: Representing Linear System as Ax = b

• رتبه یک ماتریس Rank of a Matrix

• مثال: حذف گاوسی و تعداد بی‌شمار پاسخ EXAMPLE: Gaussian Elimination - Infinite Number of Solutions

• یک سیستم ناسازگار An Inconsistent System

• فضای پوچ / هسته یک ماتریس The Null / Kernel of a Matrix

• پوشش، ترکیبات خطی و سوفله شکلاتی Span, Linear Combinations and Chocolate Souffle

• رابطه بین Null(A)، Ker(A) و پوشش Relating Null(A), Ker(A) and Span

• یافتن معکوس یک ماتریس Finding the Inverse of a Matrix

• رتبه و وارون‌پذیری Rank and Invertibility

• ویژگی‌های ماتریس معکوس Properties of the Inverse Matrix

• تئوری: یکتایی ماتریس معکوس THEORY - Uniqueness of the Inverse Matrix

• تئوری: ویژگی‌های ترانهاده یک ماتریس THEORY - Properties of the Transpose of a Matrix

• تمرین: ماتریس‌های Idempotent و معکوس EXERCISE Idempotent and Inverse

• تمرین: معکوس و جابجایی EXERCISE - Inverse and Commutativity

• تمرین: تقارن و A = I AB EXERCISE - Symmetry and A = I - AB

• تمرین P1: چندجمله‌ای درونیاب با استفاده از حذف گاوسی EXERCISE P1 Interpolating polynomial using Gaussian Elimination

• تمرین P2: چندجمله‌ای درونیاب با استفاده از حذف گاوسی EXERCISE P2 Interpolating polynomial using Gaussian Elimination

• پایتون: P3 چندجمله‌ای درونیاب و بررسی پاسخ PYTHON: P3 Interpolating polynomial - Check work

• تمرین: حل Ax = b برای a + b = 1 با استفاده از av1 + bv2 EXERCISE: av1 + bv2 solving Ax = b for a + b = 1

• تمرین P1: مجموع و تفاضل پاسخ‌ها EXERCISE - P1 - Sum and Difference of Solutions

• تمرین: مسئله دشوار معکوس EXERCISE - Crazy Inverse Problem

• تمرین P2: مجموع و تفاضل پاسخ‌ها EXERCISE - P2 - Sum and Difference of Solutions

• مثال: هسته ماتریس Ex: Kernel of Matrix

• مثال 2: هسته ماتریس Ex 2: Kernel of Matrix

• تمرین: دو محور (Pivot) و ناسازگاری EXERCISE: Two Pivots and Inconsistency

• تمرین: ضرب ماتریس‌های غیر متقارن EXERCISE: Product of Non-Symmetric Matrices

دترمینان ماتریس The Determinant of a Matrix

• معرفی دترمینان Introducing the Determinant

• مثال‌های بیشتر از دترمینان More Determinant Examples

• تئوری و مثال: ویژگی‌های دترمینان THEORY - EXAMPLE - Properties of the Determinant

• تئوری: عملیات سطری مقدماتی و دترمینان THEORY - Elementary Row Operations and the Determinant

• تمرین: محاسبه دترمینان 1 EXERCISE - Determinant Calculation 1

• تمرین: محاسبه دترمینان 2 EXERCISE - Determinant Calculation 2

• وابستگی خطی، استقلال خطی و دترمینان Linear Dependence, Linear Independence and the Determinant

• تکلیف: مسئله دترمینان HOMEWORK - Determinant Problem

• تمرین: سوال دترمینان با پارامترها EXERCISE: Determinant question with parameters

• دترمینان و ویژگی "جمع‌پذیری" Determinant and "Additive" Property

• دترمینان و ویژگی "جمع‌پذیری" بخش دوم Determinant and "Additive" Property - Part 2

• مقایسه det(A + B) در مقابل det(A) + det(B) det(A + B) vs det(A) + det(B)

• همانی‌ها بدون محاسبه مستقیم دترمینان Identities without Explicitly Computing the Determinant

معادلات خطی با پارامتر با استفاده از حذف گاوسی و دترمینان‌ها Linear Equations with Parameters using Gaussian Elimination and Determinants

• مثال به ظاهر ساده: ax = b The deceptively simple example: ax = b

• مثال: حل سیستم معادلات با پارامتر - بخش اول Example: Solving Systems of Equations with a parameter - Part 1

• مثال: حل سیستم معادلات با پارامتر - بخش دوم Example: Solving Systems of Equations with a parameter - Part 2

• مثال: عملیات سطری مقدماتی Example: Elementary Row Operations

• (5 2k) x = 7 یک متغیر با پارامتر (5-2k) x = 7 One variable with parameters

• یک متغیر با پارامترها One variable with parameters

ناورداهای مهم: رتبه، دترمینان، اثر Important invariants - Rank, Determinant, Trace

• برابری tr(AB) = tr(BA) در حالت 2 در 2 tr(AB) = tr(BA) - 2 x 2 Case

حل مسائل با پاسخ یکتا، بدون پاسخ و پاسخ‌های نامحدود Solving problems of the type unique solution, no solutions, infinite solutions

• پارامترهای مسئله: یافتن پاسخ یکتا ابتدا با دترمینان Problem parameters. Unique solution first using determinant

• حالت a = 2: بدون پاسخ a = 2 - No solution

• حالت a = 1: پاسخ‌های نامحدود a = -1 - Infinite solutions

• حالت a = 0: بدون پاسخ a = 0 - No solution

• تمرین بخش اول: پارامترهای a و c برای حالت‌های بدون پاسخ، یکتا و نامحدود EXERCISE: Part 1: Parameters a and c such that no solution, unique, infinite.

• تمرین بخش دوم: پارامترهای a و c برای حالت‌های بدون پاسخ، یکتا و نامحدود EXERCISE: Part 2: Parameters a and c such that no solution, unique, infinite.

فضاهای برداری و زیرفضاهای برداری Vector Spaces and Vector Subspaces

• تئوری: فضاهای برداری THEORY - Vector Spaces

• مثال‌هایی از زیرفضاهای 0، 1، 2 و 3 بعدی در R³ Examples of 0,1,2,3 dimensional subspaces in R³

• فضاهای برداری مهم Important Vector Spaces

• مثال: یک مثال ساده از پوشش (Span) EXAMPLE - A Simple Example of Span

• تعریف: استقلال خطی DEFINITION - Linear Independence

• وابستگی خطی و حالت k > n Linear Dependence and k > n

• مثال زیرفضای برداری Subvector space example

• تمرین: ماتریس‌های جابجاشونده (جدید) EXERCISE Commuting Matrices (NEW)

• تمرین: اصول فضاهای برداری - مجموعه مسائل 1 EXERCISE - Vector Space Axioms - Problem Set 1

• پاسخ P1: اصول فضاهای برداری - مجموعه مسائل 1 SOLUTION - P1 - Vector Space Axioms - Problem Set 1

• پاسخ P2: اصول فضاهای برداری - مجموعه مسائل 1 SOLUTION - P2 - Vector Space Axioms - Problem Set 1

• تمرین: اصول فضاهای برداری - مجموعه مسائل 2 EXERCISE - Vector Space Axioms - Problem Set 2

• پاسخ: اصول فضاهای برداری - مجموعه مسائل 2 SOLUTION - Vector Space Axioms - Problem Set 2

• تمرین و پاسخ: زیرفضاهای برداری ماتریس‌های 3 در 3 EXERCISE/SOLUTION Subvector Spaces of 3 x 3 Matrices

• پاسخ بخش دوم: زیرفضاهای برداری ماتریس‌های 3 در 3 SOLUTION - Part 2 - Subvector Spaces of 3 x 3 Matrices

• پاسخ بخش سوم: زیرفضاهای برداری ماتریس‌های 3 در 3 SOLUTION - Part 3 - Subvector Spaces of 3 x 3 Matrices

• تمرین: چندجمله‌ای‌های زوج، بعد و پایه EXERCISE - Even Polynomials, Dimension and Basis

• تمرین: مسئله فضای ستونی Exercise: Column Space problem

• ایده: توضیح شهودی ترکیبات خطی و پوشش IDEA: An intuitive Explanation of Linear Combinations and Span

• مثال زیرفضاها با مشتقات Subspaces with derivatives example

• پایه فضای R^2 Basis of R^2

• تمرین: مسئله U1 + W = U2 + W EXERCISE: U1 + W = U2 + W Problem

• تمرین: استقلال خطی اجتماع پایه‌های B و C EXERCISE: Union of basis B and C is linearly independent

• مسئله زیرفضای ماتریسی Matrix Subspace Problem

• تمرین: آیا مجموعه جدید پایه V است؟ EXERCISE: Is the new set a Basis of V ?

• تمرین: تعیین پایه (جدید) EXERCISE - Determine Basis (NEW)

• تمرین: استقلال خطی {sinx, sin2x}؟ EXERCISE: Linear Independence? {sinx, sin2x}

• تمرین: استقلال خطی چندجمله‌ای‌ها EXERCISE - Linear Independence of Polynomials

تبدیلات خطی Linear Transformations

• تبدیل خطی پوشا یا یک‌به‌یک Surjective or Injective Linear Transformation

• تمرین: معکوس تبدیل خطی یک‌به‌یک پوشا EXERCISE: Inverse of Bijective Linear Transformation

• تمرین P1: تبدیل خطی با چندجمله‌ای‌ها EXERCISE - P 1 - Linear transformation with polynomials

• تمرین P2: تبدیل خطی با چندجمله‌ای‌ها - هسته EXERCISE - P 2 - Linear transformation with polynomials - The Kernel

• تمرین P3: تبدیل خطی با چندجمله‌ای‌ها - تصویر EXERCISE - P 3 - Linear transformation with polynomials - The Image

• تمرین: تبدیل خطی، مشتق، تصویر و رتبه EXERCISE - Linear Transformation, Derivative, Image and Rank

• تمرین: تصویرهای متعامد EXERCISE: Orthogonal Projections

• تمرین: ماتریس نمایش‌دهنده تبدیل خطی EXERCISE - Matrix Representing Linear Transformation

• تمرین: تابع‌های خطی وابسته خطی EXERCISE - Linearly Dependent Linear Functionals

• تمرین و پاسخ: T(0) = 0 EXERCISE AND SOLUTION T(0) = 0

• تمرین و پاسخ: یافتن تمام تبدیل‌های خطی EXERCISE AND SOLUTION - Find All Linear Transformations

• تمرین و پاسخ: تبدیل خطی با هسته داده شده EXERCISE AND SOLUTION Linear Transformation with Given Kernel

مقادیر ویژه، بردارهای ویژه و قطری‌سازی Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization

• تئوری: مقدمه‌ای بر قطری‌سازی THEORY: Introduction to Diagonalization

• تئوری: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه THEORY: Eigenvalues and Eigenvectors

• تئوری: چندجمله‌ای مشخصه THEORY: The Characteristic Polynomial

• مقادیر ویژه: پاسخ‌های تکالیف Eigenvalues: Solutions to Homework Assignment

• فضاهای ویژه، بردارهای ویژه و تعدد هندسی Eigenspaces, Eigenvectors, Geometric multiplicity

• تئوری: قطری‌سازی THEORY: Diagonalization

• تئوری: قضایای اصلی قطری‌سازی - بخش اول THEORY: Main Theorems on Diagonalization - Part 1

• تمرین: قطری‌سازی ماتریس، مثال 1.1 بخش اول (جدید) EXERCISE: Matrix Diagonalization, Ex 1.1 Part 1 (NEW)

• تمرین: قطری‌سازی ماتریس، مثال 1.1 بخش دوم (جدید) EXERCISE: Matrix Diagonalization, Ex 1.1 Part 2 (NEW)

• سوال قطری‌سازی A^5 Diagonalization Question A⁵

• استقلال خطی بردارهای ویژه 1؟ Linear Independence Eigenvectors 1 ?

• استقلال خطی بردارهای ویژه 2؟ Linear Independence Eigenvectors 2 ?

• مقدمه‌ای بر مختصات بردار نسبت به یک پایه مرتب Introduction to coordinates of a vector with respect to an ordered basis

• مثال مقدار ویژه برای ماتریس 4 در 4 Eigenvalue example 4 by 4

• تمرین مسئله بازگشت خطی P1: یافتن ماتریس مدل A EXERCISE Linear Recurrence Problem - P1 - Finding the model matrix A

• پایتون مسئله بازگشت خطی P2: تست ماتریس A PYTHON Linear Recurrence Problem - P2 - Testing A

• تمرین مسئله بازگشت خطی P3: مقادیر ویژه EXERCISE Linear Recurrence Problem - Eigenvalues - P3

• پایتون P4 مسئله بازگشت خطی: مقادیر و بردارهای ویژه با Sympy PYTHON P4 Linear Recurrence Problem - Eigenvalues and Eigenvectors Sympy

• تمرین P5 مسئله بازگشت خطی: بردارهای ویژه EXERCISE P5 Linear Recurrence Problem - Eigenvectors

• تمرین P6 حل مسئله بازگشت خطی EXERCISE P6 Solve Linear Recurrence Problem

• تمرین: مقادیر k که در آن A قطری‌پذیر است EXERCISE Values of k such that A is Diagonalizable

• چالش بخش اول: مقادیر ویژه A و C، قطری‌سازی CA = A^3 - 3A^2 + 4A CHALLENGE - Part 1 - A, C eigenvalues CA = A^3 - 3A^2 - 4A, Diagonalization

• چالش بخش دوم: مقادیر ویژه A و C، قطری‌سازی CA = A^3 - 3A^2 + 4A CHALLENGE - Part 2 - A, C eigenvalues CA = A^3 - 3A^2 - 4A, Diagonalization

• تمرین: مثال حد اثر (Trace Limit) EXERCISE: Trace Limit Example

• پاسخ: حد اثر SOLUTION Trace Limit

• تمرین: مسئله دشوار مقدار ویژه EXERCISE: Insane Eigenvalue Problem

فضاهای ضرب داخلی، نرم‌ها و کوشی-شوارتز Inner Product Spaces, Norms, Cauchy-Schwartz

• تمرین: کران‌های نرم و کوشی-شوارتز Exercise: Bounds on Norms, Cauchy-Schwartz

• تمرین بخش اول: بردارهای هم‌راستا و متعامد EXERCISE: Part 1 - Collinear and Orthogonal Vectors

• تمرین بخش دوم: بردارهای هم‌راستا و متعامد EXERCISE: Part 2 - Collinear and Orthogonal Vectors

مسائل تکمیلی در جبر خطی MORE PROBLEMS IN LINEAR ALGEBRA

• رتبه مجموع Rank of Sum

• پاسخ رتبه مجموع Rank of Sum - Solution

• تمرین و پاسخ معادله ماتریسی Matrix Equation Exercise and Solution

• مقادیر k در سیستم معادلات (تمرین) Values of k - System of Equations (EXERCISE)

• مقادیر k در سیستم معادلات (پاسخ) Values of K - System of Equations (SOLUTION)

• ماتریس Idempotent (تمرین) Idempotent (EXERCISE)

• ماتریس Idempotent (پاسخ) Idempotent (SOLUTION)

• رتبه و C² (تمرین) Rank and C² (EXERCISE)

• تمرین و پاسخ هسته (a,b,0) Kernel (a,b,0) EXERCISE and SOLUTION

• تمرین جبر ماتریسی و دترمینان Matrix Algebra and Determinant EXERCISE

• پاسخ جبر ماتریسی و دترمینان Matrix Algebra and Determinant SOLUTION

• معادلات ماتریسی - بخش اول Matrix Equations - Part 1

• تمرین: ماتریس نمایش‌دهنده تبدیل خطی EXERCISE - Matrix Representing a Linear Transformation

• تمرین: ماتریس‌های تقریباً ضد متقارن EXERCISE - Almost Anti-Symmetric Matrices

• تمرین: تعمیم به یک تبدیل خطی EXERCISE - Extending to a Linear Transformation

• پاسخ: تعمیم به یک تبدیل خطی SOLUTION - Extending to a Linear Transformation