آموزش جبر خطی و هندسه 1

سرفصل ها و درس ها

معرفی دوره Introduction to the course

• معرفی Introduction

چند مفهوم اساسی Some basic concepts

• سیستم های مختصات و مختصات در هواپیما و در 3-فضا. Coordinate systems and coordinates in the plane and in the 3-space.

• معادلات شیب-برق خطوط مستقیم در صفحه Slope-intercept equations of straight lines in the plane

• معادلات عادی صفحات در فضای 3. Normal equations of planes in the 3-space.

• بردارها Vectors

• اسکالرها Scalars

• جمع بردار و مقیاس برداری Vector addition and vector scaling

• ترکیبات خطی Linear combinations

• ماتریس ها Matrices

• تبدیلات خطی Linear transformations

• ماتریس - ضرب برداری Matrix—vector multiplication

• قوانین محاسبات با اعداد واقعی Rules for computations with real numbers

• قضیه فیثاغورث و فاصله بین نقاط Pythagorean Theorem and distance between points

• هویت سینوس، کسینوس و فیثاغورث Sine, cosine, and pythagorean identity

• قانون کسینوس Cosine Rule

سیستم های معادلات خطی; شهود هندسی خود را بسازید Systems of linear equations; building up your geometrical intuition

• روش های مختلف نگاه کردن به معادلات Different ways of looking at equations

• مجموعه راه حل Solution set

• معادلات خطی و غیر خطی Linear and non-linear equations

• سیستم های معادلات خطی Systems of linear equations

• مجموعه حل سیستم های معادلات خطی Solution sets of systems of linear equations

• نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی 2×2، یک راه حل گرافیکی An example of a 2 × 2 system of linear equations, a graphical solution

• مجموعه راه حل های احتمالی 2 × 2 سیستم معادلات خطی Possible solution sets of 2 × 2 systems of linear equations

• مجموعه راه حل های ممکن از سیستم معادلات خطی 3×2 Possible solution sets of 3 × 2 systems of linear equations

• مجموعه راه حل های ممکن از 3 × 3 سیستم معادلات خطی Possible solution sets of 3 × 3 systems of linear equations

• مجموعه راه حل های احتمالی 2 × 3 سیستم معادلات خطی Possible solution sets of 2 × 3 systems of linear equations

• مجموعه راه حل های احتمالی m × n سیستم معادلات خطی Possible solution sets of m × n systems of linear equations

حل سیستم معادلات خطی; حذف گاوسی Solving systems of linear equations; Gaussian elimination

• مشکل قبلی ما دوباره بررسی شد. یک راه حل جبری Our earlier problem revisited; an algebraical solution

• سه عملیات ابتدایی Three elementary operations

• حذف گاوس - اردن و حذف گاوس چیست؟ What is Gauss—Jordan elimination and Gaussian elimination?

• Gauss-Jordan elimination، یک سیستم 2 در 2 با راه حل منحصر به فرد Gauss—Jordan elimination, a 2-by-2 system with unique solution

• همین مثال با حذف گاوسی و تعویض به عقب حل شد The same example solved with Gaussian elimination and back-substitution

• همین مثال با عملیات ماتریسی حل شد. ماتریس ضریب و افزوده شده است The same example solved with matrix operations; coefficient matrix and augmented

• نحوه نوشتن ماتریس تقویت شده برای یک سیستم معادلات معین، مسئله 1 How to write the augmented matrix for a given system of equations, Problem 1

• نحوه نوشتن سیستم معادلات در یک ماتریس افزوده داده شده، مسئله 2 How to write system of equations to a given augmented matrix, Problem 2

• حذف گاوسی، مسئله 3 Gaussian elimination, Problem 3

• حذف گاوسی، مسئله 4 Gaussian elimination, Problem 4

• حذف گاوسی، مسئله 5 Gaussian elimination, Problem 5

• حذف گاوسی، مسئله 6. Gaussian elimination, Problem 6.

• اگر سیستم ناسازگار باشد چه اتفاقی می افتد؟ What happens if the system is inconsistent?

• حذف گاوسی، مسئله 7. Gaussian elimination, Problem 7.

• آماده سازی برای فرمول بندی کلی الگوریتم؛ ماتریس های REF و RREF. Preparation to the general formulation of the algorithm; REF and RREF matrices.

• چگونه جواب ها را از ماتریس های REF و RREF بخوانیم؟ How to read solutions from REF and RREF matrices?

• فرمول بندی کلی الگوریتم در حذف گاوس-اردن General formulation of the algorithm in Gauss–Jordan elimination

• حذف گاوس-اردن، مسئله 8 Gauss–Jordan elimination, Problem 8

• حذف گاوس-اردن، مسئله 9 Gauss–Jordan elimination, Problem 9

• حذف گاوسی، مسئله 10 Gaussian elimination, Problem 10

• حذف گاوس-اردن، مسئله 11 Gauss–Jordan elimination, Problem 11

• حذف گاوس-اردن، مسئله 12 Gauss–Jordan elimination, Problem 12

• حذف گاوس – اردن، مسئله 13 Gauss–Jordan elimination, Problem 13

برخی از کاربردها در ریاضیات و علوم طبیعی Some applications in mathematics and natural sciences

• حل سیستم معادلات خطی در جبر خطی و هندسه Solving systems of linear equations in Linear Algebra and Geometry

• حل سیستم های معادلات خطی (حساب حسابان) مسئله 1 Solving systems of linear equations (Calculus) Problem 1

• حل سیستم معادلات خطی (حساب حسابان) مسئله 2 Solving systems of linear equations (Calculus) Problem 2

• حل سیستم معادلات خطی (حساب حسابان) مسئله 3 Solving systems of linear equations (Calculus) Problem 3

• حل سیستم معادلات خطی (حساب حساب) مسئله 4 Solving systems of linear equations (Calculus) Problem 4

• مسئله 5 (شیمی) Problem 5 (Chemistry)

• مسئله 6 (مدارهای الکتریکی) Problem 6 (Electrical circuits)

ماتریس ها و عملیات ماتریسی Matrices and matrix operations

• مقدمه ای بر ماتریس ها Introduction to matrices

• انواع مختلف ماتریس ها Different types of matrices

• جمع و تفریق ماتریس، مسئله 1 Matrix addition and subtraction, Problem 1

• مقیاس بندی ماتریس، با تفسیر هندسی Matrix scaling, with geometrical interpretation

• مقیاس بندی ماتریس، مسئله 2 Matrix scaling, Problem 2

• ضرب ماتریس، با تفسیر هندسی Matrix multiplication, with geometrical interpretation

• ضرب ماتریس، نحوه انجام Matrix multiplication, how to do

• ضرب ماتریس، مسئله 3 Matrix multiplication, Problem 3

• ضرب ماتریس و سیستم معادلات، مسئله 4 Matrix multiplication and systems of equations, Problem 4

• ماتریس جابجا شده، تعریف و چند مثال Transposed matrix, definition and some examples

• ردیابی ماتریس، تعریف و مثال Trace of a matrix, definition and an example

• عملیات های مختلف ماتریس، مسئله 7 Various matrix operations, Problem 7

• عملیات های مختلف ماتریس، مسئله 8 Various matrix operations, Problem 8

معکوس؛ ویژگی های جبری ماتریس ها Inverses; Algebraic properties of matrices

• ویژگی های عملیات ماتریس، مقدمه Properties of matrix operations, an introduction

• جمع ماتریس تمام ویژگی های خوب را دارد Matrix addition has all the good properties

• ضرب ماتریس یک عنصر خنثی برای ماتریس های مربع دارد Matrix multiplication has a neutral element for square matrices

• ضرب ماتریس تداعی است Matrix multiplication is associative

• ضرب ماتریس جابجایی نیست Matrix multiplication is not commutative

• گاهی اوقات جابجایی اتفاق می افتد، مشکل 1 Sometimes commutativity happens, Problem 1

• دو قانون توزیعی Two distributive laws

• ضرب ماتریس خاصیت حاصلضرب صفر را ندارد Matrix multiplication does not have the zero-product property

• هیچ قانون لغو برای ضرب ماتریس وجود ندارد There is no cancellation law for matrix multiplication

• ماتریس های معکوس؛ همه ماتریس های مربع غیر صفر معکوس ندارند Inverse matrices; not all non-zero square matrices have an inverse

• ماتریس معکوس برای ماتریس های 2 در 2. تعیین کننده غیر صفر Inverse matrix for 2-by-2 matrices; non-zero determinant

• حل معادلات ماتریسی، مسئله 2 Solving matrix equations, Problem 2

• توان ماتریس ها توان ماتریس های مورب Powers of matrices; powers of diagonal matrices

• قوانین محاسباتی برای ماتریس های انتقال یافته Computation rules for transposed matrices

• مکمل ویدیو 83; معکوس یک محصول Supplement to Video 83; Inverse of a product

• معکوس یک ماتریس جابجا شده Inverse of a transposed matrix

• قوانین مختلف، مسئله 3 Various rules, Problem 3

ماتریس های ابتدایی و روشی برای یافتن A معکوس Elementary matrices and a method for finding A inverse

• ماتریس های معکوس، مقدمه ای بر الگوریتم Inverse matrices, introduction to the algorithm

• الگوریتم برای ماتریس های معکوس، یک مثال Algorithm for inverse matrices, an example

• معکوس ماتریس، مسئله 1 Matrix inverse, Problem 1

• معکوس ماتریس، مسئله 2 Matrix inverse, Problem 2

• معادلات ماتریسی، مسئله 3 Matrix equations, Problem 3

• معادلات ماتریسی، مسئله 4 Matrix equations, Problem 4

• معادلات ماتریسی، مسئله 5 Matrix equations, Problem 5

• معادلات ماتریسی، مسئله 6 Matrix equations, Problem 6

• معکوس ماتریس، مسئله 7 Matrix inverse, Problem 7

• عملیات ابتدایی و ماتریس های ابتدایی Elementary operations and elementary matrices

• عملیات ابتدایی معکوس و ماتریس آنها Inverse elementary operations and their matrices

• یک قضیه واقعا مهم A really important theorem

• چهار عبارت معادل Four equivalent statements

سیستم ها و ماتریس های خطی Linear systems and matrices

• به طور رسمی در مورد تعداد راه حل های سیستم های معادلات خطی Formally about the number of solutions to systems of linear equations

• دو عبارت دیگر در قضیه مهم ما Two more statements in our important theorem

• حل یک سیستم خطی با استفاده از معکوس، مسئله 1 Solution of a linear system using A inverse, Problem 1

• تعیین سازگاری با حذف، مسئله 2 Determining consistency by elimination, Problem 2

• معادلات ماتریسی، مسئله 3 Matrix equations, Problem 3

عوامل تعیین کننده Determinants

• چرا عوامل تعیین کننده مهم هستند Why the determinants are important

• عوامل تعیین کننده 2 در 2 علامت گذاری برای تعیین کننده های n-by-n 2-by-2 determinants; notation for n-by-n determinants

• تفاسیر هندسی عوامل تعیین کننده Geometrical interpretations of determinants

• از نظر هندسی در مورد تعیین کننده یک محصول Geometrically about the determinant of a product

• تعریف عوامل تعیین کننده Definition of determinants

• نتیجه‌گیری 1: تعیین‌کننده ماتریس‌های با ستون‌های تعویض‌شده Conclusion 1: Determinant of matrices with interchanged columns

• نتیجه 2: وقتی یک ستون ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد چه اتفاقی می افتد Conclusion 2: What happens when one column is a linear combination of others

• نتیجه 3: در مورد افزودن مضرب یک ستون به ستون دیگر Conclusion 3: About adding a multiple of a column to another column

• نتیجه گیری 4: تعیین کننده kA برای هر k ∈ R Conclusion 4: Determinant of kA for any k ∈ R

• عملیات ستون های ابتدایی Elementary column operations

• نحوه محاسبه تعیین کننده های 2 در 2 از تعریف How to compute 2-by-2 determinants from the definition

• نحوه محاسبه عوامل تعیین کننده 3 در 3 از تعریف How to compute 3-by-3 determinants from the definition

• قانون ساروس برای تعیین کننده های 3 در 3 Sarrus’ rule for 3-by-3 determinants

• تعیین کننده ماتریس انتقالی. عملیات ردیف Determinant of transposed matrix; row operations

• ارزیابی عوامل تعیین کننده با گسترش کوفاکتور در طول سطرها یا ستون ها Evaluating determinants by cofactor expansion along rows or columns

• ارزیابی عوامل تعیین کننده با کاهش ردیف یا ستون Evaluating determinants by row or column reduction

• تعیین کننده معکوس Determinant of inverse

• خصوصیات عوامل تعیین کننده، مسئله 1 Properties of determinants, Problem 1

• خصوصیات عوامل تعیین کننده، مسئله 2 Properties of determinants, Problem 2

• خصوصیات عوامل تعیین کننده، مسئله 3 Properties of determinants, Problem 3

• معادلات تعیین کننده، مسئله 4 Determinant equations, Problem 4

• معادلات تعیین کننده، مسئله 5 Determinant equations, Problem 5

• معادلات تعیین کننده، مسئله 6 Determinant equations, Problem 6

• معادلات تعیین کننده، مسئله 7 Determinant equations, Problem 7

• ماتریس های معکوس، آزمون تعیین کننده با برهان، مسئله 8 Invertible matrices, determinant test with a proof, Problem 8

• قانون کرامر، یک برهان، یک مثال و یک تفسیر هندسی Cramer’s rule, a proof, an example, and a geometrical interpretation

• قانون کرامر، مسئله 9 Cramer’s rule, Problem 9

• ماتریس معکوس، یک فرمول صریح Inverse matrix, an explicit formula

• ماتریس های معکوس، مسئله 10 Invertible matrices, Problem 10

• مسئله 11، یک عامل تعیین کننده بزرگ Problem 11, a large determinant

• مسئله 12، یک عامل تعیین کننده بزرگ دیگر Problem 12, another large determinant

• مسئله 13: یک دترمینال مثلثاتی Problem 13: a trigonometric determinant

• مسئله 14: تعیین کننده واندرموند Problem 14: Vandermonde determinant

بردارها در 2 فاصله، 3 فاصله و n فاصله Vectors in 2-space, 3-space, and n-space

• بردارها، یک تکرار Vectors, a repetition

• قوانین محاسباتی برای جمع و مقیاس بردار Computation rules for vector addition and scaling

• محاسبات با بردارها، مسئله 1 Computations with vectors, Problem 1

• محاسبات با بردارها، مسئله 2 Computations with vectors, Problem 2

• محاسبات با بردارها، مسئله 3 Computations with vectors, Problem 3

• بردارهای موازی، مسئله 4 Parallel vectors, Problem 4

• بردارهای موازی، مسئله 5 Parallel vectors, Problem 5

• ترکیبات خطی، مسئله 6 Linear combinations, Problem 6

• ترکیبات خطی، مسئله 7 Linear combinations, Problem 7

• ترکیبات خطی، استقلال خطی، مسئله 8 Linear combinations, linear independence, Problem 8

• ترکیبات خطی، وابستگی خطی، مسئله 9 Linear combinations, linear dependence, Problem 9

• مساحت، مسئله 10 Area, Problem 10

• نقطه وسط پاره خط، مسئله 11 Midpoint of a line segment, Problem 11

فاصله و هنجار در R^n Distance and norm in R^n

• هنجار یک بردار، مسئله 1 Norm of a vector, Problem 1

• خواص هنجار Properties of the norm

• فاصله بین نقاط، مسئله 2 Distance between points, Problem 2

• بردارهای واحد، نحوه عادی سازی یک بردار Unit vectors, how to normalize a vector

• بردارهای واحد در جهت داده شده، مسئله 3 Unit vectors in given direction, Problem 3

محصول نقطه ای، متعامد، و برآمدگی های متعامد Dot product, orthogonality, and orthogonal projections

• محصولات مختلف برای وکتور Different products for vectors

• خطوط مستقیم عمود بردار و بردارهای متعامد Perpendicular straight lines and orthogonal vectors

• پیش بینی های متعامد Orthogonal projections

• تعریف حاصلضرب نقطه برای بردارهای هندسی Definition of dot product for geometrical vectors

• نحوه محاسبه محصول نقطه ای، یک مثال How to compute dot product, an example

• محصول نقطه ای برای بردارها در R^n; متعامد بودن و زوایا Dot product for vectors in R^n; orthogonality and angles

• خواص محصول نقطه ای Properties of dot product

• زوایای بین بردارها، مسئله 1 Angles between vectors, Problem 1

• زوایای بین بردارها، مسئله 2 Angles between vectors, Problem 2

• نحوه یافتن بردار متعامد بردار معین در صفحه یا در فضای 3 How to find vector orthogonal to a given vector in the plane or in the 3-space

• پیش بینی ها و تجزیه های متعامد Orthogonal projections and decompositions

• پیش بینی ها و تجزیه های متعامد، مسئله 3 Orthogonal projections and decompositions, Problem 3

• پیش بینی ها و تجزیه های متعامد، مسئله 4 Orthogonal projections and decompositions, Problem 4

• مجموعه های متعامد، مسئله 5 Orthogonal sets, Problem 5

• پیش بینی ها و تجزیه های متعامد، مسئله 6 Orthogonal projections and decompositions, Problem 6

ضربدری، متوازی الاضلاع و متوازی الاضلاع Cross product, parallelograms and parallelepipeds

• محصول متقابل، مقدمه Cross product, an introduction

• محصول متقاطع، چگونه تعریف می شود Cross product, how it is defined

• سه ویژگی محصول متقاطع Three properties of cross product

• طول حاصلضرب متقاطع دو بردار The length of the cross product of two vectors

• خواص بیشتر محصول متقاطع More properties of cross product

• محصول متقاطع: مسئله 1 Cross product: Problem 1

• محصول متقاطع در هواپیما Cross product in the plane

• محصول و حجم سه گانه اسکالر Scalar triple product and volume

• حاصل ضرب سه گانه اسکالر، مسئله 2 Scalar triple product, Problem 2

• خط خطی در صفحه و همسطحی در فضای 3 Collinearity in the plane and coplanarity in the 3-space

• آزمون تعیین کننده برای بردارها، مسئله 3 Determinant test for vectors, Problem 3

خطوط در R^2 Lines in R^2

• خطوط در هواپیما، مقدمه Lines in the plane, an introduction

• شکل شیب-برق و رهگیری Slope-intercept and intercept form

• معادله نرمال Normal equation

• معادلات پارامتریک Parametric equations

• معادله تعیین کننده Determinant equation

• خطوط در هواپیما، مسئله 5 Lines in the plane, Problem 5

هواپیماها در R^3 Planes in R^3

• هواپیماها در 3-فضا، مقدمه Planes in the 3-space, an introduction

• معادله نرمال و قطع Normal and intercept equation

• معادلات پارامتریک Parametric equations

• پارامتری تا نرمال Parametric to normal

• نرمال تا پارامتریک؛ یک نقطه و دو بردار موازی برای یک صفحه مشخص پیدا کنید Normal to parametric; find a point and two parallel vectors for a given plane

• معادله تعیین کننده Determinant equation

• هواپیماها: مسئله 6 Planes: Problem 6

خطوط در R^3 Lines in R^3

• خطوط در فضای 3، مقدمه Lines in the 3 space, an introduction

• خطوط در فضای 3، مسئله 1 Lines in the 3 space, Problem 1

• خطوط در فضای 3، مسئله 2 Lines in the 3 space, Problem 2

• خطوط در فضای 3، مسئله 3 Lines in the 3 space, Problem 3

هندسه سیستم های خطی; بروز بین خطوط و هواپیما Geometry of linear systems; incidence between lines and planes

• بروز 1: نقاط و سطوح Incidence 1: points and planes

• بروز 2: هواپیماها و خطوط Incidence 2: planes and lines

• بروز 3: نقاط و خطوط Incidence 3: points and lines

• اجسام موازی و متعامد Parallel and orthogonal objects

• صفحات موازی، مسئله 4 Parallel planes, Problem 4

• صفحات موازی: مسئله 5 Parallel planes: Problem 5

• صفحات متعامد: مسئله 6 Orthogonal planes: Problem 6

• صفحات و خطوط، مسئله 7 Planes and lines, Problem 7

• صفحات و خطوط، مسئله 8 Planes and lines, Problem 8

• هواپیماها، مسئله 9 Planes, Problem 9

• صفحات، خطوط و سیستم معادلات، مسئله 10 Planes, lines, and systems of equations, Problem 10

فاصله بین نقاط، خطوط و سطوح Distance between points, lines, and planes

• فواصل بین مجموعه ها، به طور کلی Distances between sets, generally

• فاصله بین نقاط و هواپیما Distance between points and planes

• فاصله بین نقاط و صفحه، مسئله 1 Distance between points and planes, Problem 1

• فاصله بین نقاط و صفحه، مسئله 2 Distance between points and planes, Problem 2

• فاصله بین نقاط و خطوط Distance between points and lines

• فاصله بین نقاط و خطوط، مسئله 3 Distance between points and lines, Problem 3

• فاصله بین نقاط و خطوط، مسئله 4 Distance between points and lines, Problem 4

• فاصله بین خطوط (کج) Distance between (skew) lines

• فاصله بین خطوط (کج) مسئله 5 Distance between (skew) lines, Problem 5

• فاصله بین خطوط (کول)، مسئله 6 Distance between (skew) lines, Problem 6

چند کلمه در مورد دوره بعدی Some words about the next course

• جبر خطی و هندسه 1، جمع بندی Linear Algebra and Geometry 1, Wrap-up

• جبر خطی و هندسه 2، چند کلمه در مورد آن Linear Algebra and Geometry 2, some words about it

• سخنان پایانی Final words

موارد اضافی Extras

• سخنرانی پاداش Bonus Lecture