آموزش ریاضیات گسسته ۲ - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

مقدمه دوره Introduction to the course

• مقدمه دوره Introduction to the course

• ترکیبات در DM1 Combinatorics in DM1

• نظریه اعداد ابتدایی در DM1 Elementary Number Theory in DM1

• ساختارهای جبری در DM1 Algebraic structures in DM1

ترکیبات: هنر شمارش، ادامه از DM1 Combinatorics: the art of counting, cont. from DM1

• چرا به ترکیبات نیاز داریم Why we need combinatorics

• مسیرهای مختلف به یک مقصد: ۱. در DM1 Different paths to the same destination: 1. in DM1

• مسیرهای مختلف به یک مقصد: ۲. در کتاب ریاضیات گسسته Different paths to the same destination: 2. in the DM Book

• اصطلاحات مفید: سکه، تاس، کارت و توپ Some useful terminology: coins, dice, cards, and balls

• اصطلاحات بیشتر: آزمایش، پیامد، پیشامد، پیامدهای مطلوب More terminology: experiments, outcomes, events, favourable outcomes

• تکرار پیامدها یا عدم تکرار: دو مورد با تصویر و نمودار Repeating (outcomes) or not: two cases with illustrations and diagrams

• ترکیب پیامدها Combining outcomes

• ترکیب پیامدها: اصل جمع Combining outcomes: Sum Principle

• ترکیب پیامدها: اصل ضرب Combining outcomes: Product Principle

• ترکیب پیامدها: ترکیب اصول Combining outcomes: combining principles

• ترکیب پیامدها: اصل شمول و عدم شمول (PIE) Combining outcomes: PIE

• فرمول‌هایی در مثلث پاسکال: مطالعه بخش ۳.۴ Finally some formulas in Pascal's Triangle: read Section 3.4

• مورد بالا، فرمول‌بندی شده بر اساس توابع The same as above, formulated in terms of functions

• شمارش اشیاء، مسئله ۱ Counting stuff, Problem 1

• شمارش اشیاء، مسئله ۲ Counting stuff, Problem 2

• شمارش اشیاء، مسئله ۳ Counting stuff, Problem 3

• شمارش اشیاء، مسئله ۴ Counting stuff, Problem 4

• شمارش اشیاء، مسئله ۵ Counting stuff, Problem 5

• شمارش اشیاء، مسئله ۶ Counting stuff, Problem 6

• شمارش اشیاء، مسئله ۷ Counting stuff, Problem 7

• شمارش اشیاء، مسئله ۸ Counting stuff, Problem 8

• شمارش اشیاء، مسئله ۹ Counting stuff, Problem 9

• شمارش اشیاء، مسئله ۱۰ Counting stuff, Problem 10

• شمارش اشیاء، مسئله ۱۱ Counting stuff, Problem 11

• اختیاری: شمارش اشیاء، مسئله ۱۲ Optional: Counting stuff, Problem 12

• توزیع اشیاء، بدون محدودیت Distributing stuff, without restrictions

• توزیع اشیاء، با محدودیت: بازگشت به مسائل قدیمی DM1 Distributing stuff, with restrictions: back to some old problems from DM1

• روش کتاب: مجموعه‌های چندگانه، چوب‌ها و سنگ‌ها How they do this in the book: multisets, sticks and stones

• چوب‌ها و سنگ‌ها: دو مثال دیگر از کتاب Sticks and stones: two more examples from the DM Book

• افراز مجموعه‌ها، ضرایب چندجمله‌ای و جایگشت‌های مجموعه‌های چندگانه Partitions of sets, multinomial coefficients, and permutations of multisets

• اختیاری: افرازها و توزیع‌ها، منابع تکمیلی Optional: Partitions and distributions, some references

• اختیاری: نکاتی درباره افرازها و اعداد استرلینگ نوع دوم Optional: A word about partitions and Stirling numbers of the second kind

• اختیاری: نکاتی درباره روش "Twelvefold Way" Optional: A word about the "twelvefold way"

• تعمیم اصل شمول و عدم شمول A generalization of the Inclusion-exclusion principle

• اصل شمول و عدم شمول با فرمول‌بندی منفی Inclusion-exclusion principle formulated in the negative way

• اصل PIE برای مجموعه‌های چندگانه، دو مثال از کتاب PIE for multisets, two examples from the DM Book

• شمارش توابع پوشا Counting surjections

• نقاط ثابت جایگشت‌ها و جایگشت‌های بدون نقطه ثابت (Derangements) Fixed points of permutations, and derangements

• مسئله منشی فراموش‌کار Absent-minded-secretary problem

اثبات‌های ترکیبی (و غیر ترکیبی) Combinatorial (and not only) proofs

• لیستی از فرمول‌های مهم و محل اثبات آن‌ها A list of formulas worth remembering, and where to find their derivation

• یک فرمول بسیار جذاب (غیر دوجمله‌ای)، مسئله ۱ A really cool (non binomial) formula, Problem 1

• روش‌های مختلف برای اثبات فرمول‌ها Various methods for proving formulas

• مجموع‌های تلسکوپی با فاکتوریل، استقرا، مسئله ۲ Telescoping sums with factorials, induction, Problem 2

• مجموع‌های تلسکوپی با فاکتوریل، استقرا، مسئله ۳ Telescoping sums with factorials, induction, Problem 3

• فرمول جذب/استخراج، اثبات‌های مستقیم و ترکیبی، مسئله ۴ Absorption/extraction formula, direct and combinatorial proofs, Problem 4

• مرور سه جمله‌ای، یک اثبات مستقیم، مسئله ۵ Trinomial revision, a direct proof, Problem 5

• جمع‌بندی قطری، مسئله ۶ Diagonal summation, Problem 6

• جمع‌بندی موازی، مسئله ۷ Parallel summation, Problem 7

• مسئله مربوط به مربع‌ها، سه اثبات، مسئله ۸ The one with squares, three proofs, Problem 8

• کار با قضیه دوجمله‌ای، مسئله ۹ Playing with the Binomial Theorem, Problem 9

• نگاهی دوباره به فرمول جمع‌بندی قطری از V51، مسئله ۱۰ Another look at the diagonal-summation formula from V51, Problem 10

• کار با فرمول‌ها، با راه حل بسیار تمیز از V55، مسئله ۱۱ Playing with formulas, with a really clean solution from V55, Problem 11

• دو اثبات ترکیبی: رشته‌های رقم سه تایی و جفت زیرمجموعه‌ها، مسئله ۱۲ Two combinatorial proofs: ternary digit strings and pairs of subsets, Problem 12

• یک اثبات ترکیبی: تعداد زیرمجموعه‌ها با تعداد عناصر فرد، مسئله ۱۳ A combinatorial proof: number of subsets with odd number of elements, Problem 13

• اتحاد واندرموند: انتخاب تیمی از دو گروه مختلف، مسئله ۱۴ Vandermonde identity: choosing a team with members from two groups, Problem 14

• انتخاب یک کمیته، مسئله ۱۵ Choosing a committee, Problem 15

• اتحادهای دوجمله‌ای بیشتر، مسئله ۱۶ More binomial identities, Problem 16

• اتحادهای دوجمله‌ای بیشتر، مسئله ۱۷ More binomial identities, Problem 17

• اتحادهای دوجمله‌ای بیشتر، مسئله ۱۸ More binomial identities, Problem 18

• آخرین مورد، مسئله ۱۹ The last one, Problem 19

مقدمه‌ای بسیار کوتاه بر احتمال (گسسته) A very brief introduction to (discrete) probability

• سلب مسئولیت A disclaimer

• بازگشت به مباحث V9، دو مثال Back to some stuff from V9, two examples

• کار با فضای نمونه و پیشامدها در واقع کار با مجموعه‌هاست Working with sample spaces and with events is just working with sets

• کار با فضای نمونه و پیشامدها (تمرین) Working with sample spaces and with events is just working with sets, Exercise

• رسمی‌تر درباره احتمال: تعریف بدیهیاتی کولموگوروف More formally about probability: Kolmogorov's axiomatic definition

• برخی ویژگی‌های مهم احتمال Some important properties of probabilities

• فضای نمونه متناهی و توزیع یکنواخت احتمال A finite sample space and uniform distribution of probability

• محاسبه احتمال، مثال ۱ Computing probabilities, Example 1

• محاسبه احتمال، مثال ۲ Computing probabilities, Example 2

• محاسبه احتمال، مثال ۳ Computing probabilities, Example 3

• محاسبه احتمال، مثال ۴ Computing probabilities, Example 4

• محاسبه احتمال، مثال ۵ Computing probabilities, Example 5

• مطالعه گروهی، مسئله ۱ Studying together, Problem 1

• سوار شدن به قطار، مسئله ۲ Taking the train, Problem 2

• انتخاب اعداد تصادفی، مسئله ۳ Picking random numbers, Problem 3

• چیدمان افراد در جفت‌ها، مسئله ۴ Arranging people in pairs, Problem 4

• جستجو برای کفش‌ها، مسئله ۵ Looking for shoes, Problem 5

• همه چیز درباره پوکر، مسئله ۶ The One with All the Poker, Problem 6

• پوکر عجیب، ادامه از V26، مسئله ۷ Weird poker, continuation from V26, Problem 7

• قواعد جمع و ضرب در نمودارها، مثال ۶ The Sum and the Product Rules in diagrams, Example 6

• آزمایش‌های تکراری و ضرب دکارتی مجموعه‌های متعدد، مثال ۷ Repeated experiments and Cartesian products of multiple sets, Example 7

• مثال‌هایی از کتاب ریاضیات گسسته Some examples from the DM Book

• نکاتی درباره پیشامدهای مستقل A word about independent events

• نکاتی درباره احتمال شرطی، مثال ۸ A word about conditional probability, Example 8

• متغیر تصادفی و توزیع آن Random variable and its distribution

• متغیر تصادفی و توزیع آن، مثال ۹ Random variable and its distribution, Example 9

• متغیر تصادفی و توزیع آن، مثال ۱۰ Random variable and its distribution, Example 10

• مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی Expected value of a random variable

• مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، مثال ۱۱ Expected value of a random variable, Example 11

• مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، مثال ۱۲ Expected value of a random variable, Example 12

• مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، مثال ۱۳ Expected value of a random variable, Example 13

• مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، مسئله ۸ Expected value of a random variable, Problem 8

• بازگشت به منشی فراموش‌کار، مسئله ۹ Back to the absent-minded secretary, Problem 9

مقدمه‌ای بر نظریه اعداد An introduction to Number Theory

• نظریه اعداد در DM1 و سپس در DM2 Number Theory in DM1 (listed in V3) and later in DM2

• مسئله سال جاری، مسئله ۲۰۲۵-۲۰۲۹ A current-years problem, Problem 2025-2029

• هر دوم، هر سوم و غیره، مسئله ۱ Every second, every third, etc, Problem 1

• هر دوم، هر سوم و غیره، مسئله ۲ Every second, every third, etc, Problem 2

• بخش‌پذیری و استقرا، مسئله ۳ Divisibility and induction, Problem 3

• بخش‌پذیری و تجزیه، مسئله ۴ Divisibility and factoring, Problem 4

• بخش‌پذیری و قضیه دوجمله‌ای، مسئله ۵ Divisibility and Binomial Theorem, Problem 5

• باقی‌مانده‌های تقسیم مربع اعداد طبیعی بر ۳، مسئله ۶ Remainders in division by three of the squares of natural numbers, Problem 6

• یک مسئله بخش‌پذیری جذاب با فاکتوریل، مسئله ۷ A really cool divisibility problem with factorial, Problem 7

• یافتن اعداد اول: غربال اراتوستن، مثال ۱ Finding prime numbers: sieve of Eratosthenes, Example 1

• غربال اراتوستن: چرا کار می‌کند Sieve of Eratosthenes: why it works

• برخی ویژگی‌های پایه بخش‌پذیری Some basic properties of divisibility

• ب.م.م و ک.م.م، مثال ۲ Gcd (greatest common divisor) and lcm (least common multiple), Example 2

• نحوه استخراج ب.م.م و ک.م.م از تجزیه اوله یک عدد How to get gcd and lcm from the prime factorisation of a number

• نکاتی درباره ترکیبات خطی A word about linear combinations

• تقسیم با باقی‌مانده Division with remainder

• یکی از مهم‌ترین ابزارها در نظریه اعداد: الگوریتم اقلیدس، مثال ۳ One of the most important tools in Number Theory: Euclid's algorithm, Example 3

• الگوریتم اقلیدس، ادامه One of the most important tools in Number Theory: Euclid's algorithm, continued

• تمرین‌های زیاد برای الگوریتم اقلیدس، مثال ۴ Plenty of exercises for Euclid's algorithm, Example 4

• در نهایت، اثباتی که در V43 از DM1 وعده داده شده بود Finally, a proof promised in V43 of DM1

• دو لم برای جلسه آینده Two lemmas for the next lecture

• بازگشت به قضیه تجزیه (V17 و V234 در DM1) Back to the factorisation theorem (V17 and V234 in DM1)

• فرمول مجموع تمام مقسوم‌علیه‌ها The sum-of-all-divisors formula

• یک فرمول بسیار کاربردی برای V123 A really cool formula, good to have for V123

• مقدمه‌ای بر V123، مثال ۵ A prelude to V123, Example 5

• تابع فی اویلر Euler's totient function

• معادلات دیوفانتینی: چیست، چرا و چگونه Diophantine equations: what, why, and how

• معادلات دیوفانتینی، مسئله متنی، مثال ۶ Diophantine equations, a word problem, Example 6

• معادلات دیوفانتینی، ضرایب منفی و شرایط اضافی، مثال ۷ Diophantine equations, negative coefficients and additional conditions, Ex 7

• نکاتی درباره خطوط در صفحه و معادلات آن‌ها A word about straight lines in the plane and their equations

• معادلات دیوفانتینی با تفسیر هندسی، مثال ۸ Diophantine equations with a geometric interpretation, Example 8

• معادلات دیوفانتینی، تمرین زیاد، مثال ۹ Diophantine equations, a lot of practice, Example 9

• سیستم‌های عددی مکانی: سیستم ده‌دهی Positional number systems: Decimal system

• سیستم‌های عددی مکانی: سیستم دودویی Positional number systems: Binary system

• سیستم‌های عددی مکانی: هر مبنایی کار می‌کند Positional number systems: any base works fine

• مقایسه اعداد، تمرین ۱ Comparing numbers, Exercise 1

• حساب در سیستم‌های عددی مکانی مختلف، تمرین ۲ Arithmetic in various positional number systems, Exercise 2

• حساب در سیستم‌های عددی مکانی مختلف، تمرین ۳ Arithmetic in various positional number systems, Exercise 3

• کجا می‌توان مباحث پیشرفته‌تر درباره انواع اعداد را آموخت Where can you learn more advanced stuff about different kinds of numbers

• اختیاری: مباحث بسیار جذاب برای بخش پایانی Optional: Some really, really cool stuff for the last one

حساب پیمانه‌ای Modular arithmetic

• حساب پیمانه‌ای چیست What is "modular arithmetic"

• بازگشت به رابطه هم‌ارزی هم‌نهشتی پیمانه‌ای n Back to the (equivalence) relation of congruence modulo n

• ویژگی‌های پایه حساب پیمانه‌ای، با اثبات و مثال Basic properties of modular arithmetic, with proofs and examples

• جمع و ضرب در Z_n و ویژگی‌های آن‌ها Addition and multiplication in Z_n and their properties

• تست‌های بخش‌پذیری: بر ۲، ۴، ۸، ۱۶، ۵ و ۱۰ Divisibility tests: by 2, 4, 8, 16, 5, and 10

• تست‌های بخش‌پذیری: بر ۳، ۶، ۹، ۱۲ و ۱۵ Divisibility tests: by 3, 6, 9, 12, and 15

• بخش‌پذیری بر ۱۲، یک مثال Divisibility by 12, an example

• بخش‌پذیری بر ۹، مثالی از کاربرد Divisibility by 9, an example of application

• تست بخش‌پذیری بر ۱۱ Divisibility test by 11

• تست‌های بخش‌پذیری: بر ۷، ۱۳ و ۱۴ Divisibility tests: by 7, 13, and 14

• حل هم‌نهشتی‌ها: جستجو برای ۱ یا ۱- Solving congruences: looking for ones or minus ones

• حل هم‌نهشتی‌ها: جستجو برای ۱ یا ۱-، تمرین ۱ Solving congruences: looking for ones or minus ones, Exercise 1

• حل هم‌نهشتی‌ها: جستجو برای ۱ یا ۱-، تمرین ۲ Solving congruences: looking for ones or minus ones, Exercise 2

• حل هم‌نهشتی‌ها: جستجو برای ۱ یا ۱-، تمرین ۳ Solving congruences: looking for ones or minus ones, Exercise 3

• حل هم‌نهشتی‌ها: جستجو برای ۱ یا ۱-، تمرین ۴ Solving congruences: looking for ones or minus ones, Exercise 4

• مرور سه مسئله بخش‌پذیری قبلی، تمرین ۵ Three earlier divisibility problems revisited, Exercise 5

• مرور سه مسئله بخش‌پذیری قبلی، تمرین ۶ Three earlier divisibility problems revisited, Exercise 6

• دو ویژگی ساده‌سازی Two cancellation properties

• قضیه کوچک فرما: فرمول‌بندی و مثالی از کاربرد Fermat's Little Theorem: a formulation and an example of application

• قضیه کوچک فرما: اثبات ۱ (با استقرا و قضیه دوجمله‌ای) Fermat's Little Theorem: proof 1 (by induction and Binomial Theorem)

• قضیه کوچک فرما: اثبات ۲ (ترکیبات زیبا) Fermat's Little Theorem: proof 2 (beautiful combinatorics)

• قضیه کوچک فرما و قضیه فی اویلر: اثبات ۳ Fermat's Little Theorem and Euler's Totient Theorem: proof 3

• کار با قضیه کوچک فرما و الگوهای مختلف، تمرین ۷ Playing with Fermat's Little Theorem and various patterns, Exercise 7

• حل معادلات خطی در اعداد حقیقی و تفاوت آن در Z_n Solving linear equations in real numbers, and what is different in Z_n

• معادلات خطی در Z_n، تمرین ۸ Linear equations in Z_n, Exercise 8

• معادلات خطی در Z_n، تمرین ۹ Linear equations in Z_n, Exercise 9

• معادلات خطی در Z_n، تمرین ۱۰ Linear equations in Z_n, Exercise 10

• ویژگی ضرب صفر در Z_n Zero-product property in Z_n

• عناصر وارون‌پذیر در Z_n Invertible elements in Z_n

• عناصر وارون‌پذیر در Z_n، تمرین ۱۱ Invertible elements in Z_n, Exercise 11

• عناصر وارون‌پذیر در Z_n، تمرین ۱۲ Invertible elements in Z_n, Exercise 12

• عناصر وارون‌پذیر در Z_n، تمرین ۱۳ Invertible elements in Z_n, Exercise 13

• بازنویسی مسائل اضافی از V116 و V129 Reformulating extra problems from V116 and V129

• حل سیستم‌های معادلات خطی در اعداد حقیقی Solving systems of linear equations in real numbers

• سیستم‌های معادلات خطی در Z_n، تمرین ۱۴ Systems of linear equations in Z_n, Exercise 14

• سیستم‌های معادلات خطی در Z_n، تمرین ۱۵ Systems of linear equations in Z_n, Exercise 15

• مثالی از سیستم هم‌نهشتی‌ها (قضیه باقی‌مانده چینی)، تمرین ۱۶ An example of a system of congruences (Chinese Remainder Theorem), Exercise 16

• برخی معادلات درجه دو بسیار ساده Some really simple quadratic equations

• یک معادله درجه دو در Z_11، تمرین ۱۷ A quadratic equation in Z_11, Exercise 17

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۱ Fun divisibility problems, Problem 1

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۲ Fun divisibility problems, Problem 2

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۳ Fun divisibility problems, Problem 3

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۴ Fun divisibility problems, Problem 4

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۵ Fun divisibility problems, Problem 5

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۶ Fun divisibility problems, Problem 6

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۷ Fun divisibility problems, Problem 7

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۸ Fun divisibility problems, Problem 8

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۹ Fun divisibility problems, Problem 9

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۱۰ Fun divisibility problems, Problem 10

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۱۱ Fun divisibility problems, Problem 11

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۱۲ Fun divisibility problems, Problem 12

• مسائل جذاب بخش‌پذیری، مسئله ۱۳ Fun divisibility problems, Problem 13

مقدمه‌ای بر ساختارهای جبری An introduction to algebraic structures

• جبر مجرد در این دوره Abstract Algebra in this course

• مهم‌ترین مدل‌ها و مثال‌های ما Our most important models and examples

• تعریف گروه، مرتبه و زیرگروه؛ نمادگذاری ضربی و جمعی The definition of a group, order, and subgroup; multiplicative&additive notation

• اولین مثال‌های طبیعی از گروه‌ها Our first natural examples of groups

• دوستان جدید ما از DM2 Our new friends from DM2

• برخی ویژگی‌های مهم گروه‌ها با مثال‌های قبلی Some important properties of groups, illustrated with our earlier examples

• عملگرهای فاقد ویژگی‌های مطلوب، یک تمرین Operations without nice properties, an exercise

• مثال شگفت‌انگیز آلون آمیت با یک ترفند ظریف Alon Amit's wonderful example with a neat trick

• یک گروه عجیب A strange group

• گروه چهارگانه کلاین، گروهی کوچک اما جذاب Klein's four-group, a small but exciting group

• آمادگی برای بخش نهایی: تقارن‌های خطی و دوران‌ها A preparation for The Grand Finale: line symmetries and rotations

• گروه‌های جایگشت: گروه‌های متقارن S_n Groups of permutations: the symmetric groups S_n

• مرتبه یک عنصر در گروه، گروه‌های سیکلیک و زیرگروه‌های آن‌ها Order of an element in a group, cyclic groups and their subgroups

• گروه‌های سیکلیک، مثال‌های بیشتر Cyclic groups, more examples

• گروه واحدها U_n، یک مثال The group of units U_n, an example

• گروه واحدها U_n، مثالی دیگر The group of units U_n, another example

• میدان‌ها، تعریفی با مثال‌های غیر غافلگیرکننده Fields, a definition with some non-surprising examples

• میدان‌های عددی متعدد شامل Q و محتوا در R Plenty of number fields containing Q and contained in R

• یک میدان مرموز و مختلط A mysterious and complex field

• حلقه‌ها، تعریفی با مثال‌های غیر غافلگیرکننده Rings, a definition with some non-surprising examples

• ایجاد ساختارهای جدید از ساختارهای قدیمی: ضرب مستقیم گروه‌ها Creating new structures from old structures: direct product of groups

• هم‌ریختی‌ها و یک‌ریختی‌های ساختارها Homomorphisms and isomorphisms of structures

• دو گروه یک‌ریخت با مرتبه ۶ Two isomorphic groups of order 6

• آمادگی برای قضیه باقی‌مانده چینی (رجوع به V174) Some preparations for the Chinese Remainder Theorem (see V174)

• فضاهای برداری و تبدیل‌های خطی Vector spaces and linear transformations

• مثال‌های غیرمعمول‌تر از فضاهای برداری Some more unusual examples of vector spaces

• یک مسئله جذاب درباره گروه‌های یک‌ریخت A fun problem about isomorphic groups

• اختیاری و دشوار: یک مسئله بسیار پیچیده درباره گروه‌های یک‌ریخت Optional, difficult: A really tricky problem about isomorphic groups

• گروه است یا نیست؟ یک تمرین Group or no group? An exercise

• گروه دی‌هدرال D_3: ایزومتری‌های یک مثلث متساوی‌الاضلاع Dihedral group D_3: the isometries of an equilateral triangle (cont. DM1_V138)

• گروه دی‌هدرال D_4: ایزومتری‌های یک مربع Dihedral group D_4: the isometries of a square

• زیرگروه‌ها، کلاس‌های جانبی و قضیه لاگرانژ Subgroups, cosets, and Lagrange's Theorem

• آخرین مورد: چیزی برای آرامش روح The last one: something for the soul

بخش‌های تکمیلی Extras

• درس جایزه Bonus Lecture