آموزش ریاضیات گسسته ۱ - آخرین آپدیت

سرفصل ها و درس ها

معرفی Introduction

• معرفی دوره Introduction to the course

• ریاضیات گسسته چیست What is Discrete Mathematics

• این دوره و کتاب This course and the book

مقدمات: «قلم‌موها و بوم‌های نقاشی» Preliminaries: "paintbrushes and easels"

• نمادهای ریاضی، قدیم و جدید Mathematical symbols, old and new

• (P1 V75) مقدمه‌ای کوتاه بر مجموعه‌ها (P1 V75) A brief introduction to sets

• تأملی درباره ساختارهای ریاضی A reflection about mathematical structures

• دستگاه مختصات دکارتی و ضرب دکارتی دو مجموعه Cartesian coordinate system and Cartesian product of two sets

• دو مجموعه گسسته مهم Two important discrete sets

• اختیاری، انتزاعی، تئوریک: متریک گسسته چیست Optional, abstract, theoretical: What is discrete metric

• ویژگی‌های مهم مجموعه اعداد طبیعی Important properties of the set of natural numbers

• قوانین محاسباتی Computational rules

• (P1 V7) انگیزه‌ای بصری برای جابه‌جایی (commutativity) (P1 V7) A visual motivation of commutativity

• (P1 V8) انگیزه‌ای بصری برای شرکت‌پذیری (associativity) (P1 V8) A visual motivation of associativity

• (P1 V9) انگیزه‌ای بصری برای توزیع‌پذیری (distributivity) (P1 V9) A visual motivation of distributivity

• توصیفات رسمی نظریه‌های ریاضی Formal descriptions of mathematical theories

• (P1 V13) اعداد صحیح: جمع، تفریق و ضرب (P1 V13) Integer numbers: addition, subtraction, and multiplication

• اعداد اول و برخی قوانین بخش‌پذیری Prime numbers and some divisibility rules

• (P1 V14) اعداد گویا به عنوان کسر (P1 V14) Rational numbers as fractions

• عبارات، ثابت‌ها، متغیرها، ضرایب و غیره Expressions, constants, variables, coefficients, etc

• (P1 V24 and V25) ترتیب عملیات (قوانین اولویت)، چند مثال (P1 V24 and V25) Order of operations (precedence rules), some examples

• (P1 V30) ارزیابی عبارات (P1 V30) Evaluating expressions

• (P1 V27) ساده‌سازی عبارات (P1 V27) Simplifying expressions

• اندیس، نماد سیگما و نماد پی Index, sigma symbol, and pi symbol

• توابع در حساب دیفرانسیل و در ریاضیات گسسته Functions in Calculus and in Discrete Mathematics

• دنباله‌ها در DM1 و DM2 Sequences in DM1 and DM2

• (P1 V161 and V162) روابط در زندگی و در ریاضیات (P1 V161 and V162) Relations in life and in mathematics

• گراف: مفهومی جدید (در DM2 مطالعه خواهد شد) Graph: a new concept (will be studied in DM2)

• (P1, V211) ساختارهای جبری که در DM2 مورد بحث قرار می‌گیرند (P1, V211) Algebraic structures that will be discussed in DM2

شروعی بسیار نرم: «نقاشی درخت‌های کوچک شاد» A very soft start: "painting happy little trees"

• اثبات فرمول‌ها، مسئله ۱ Proving formulas, Problem 1

• (P1 V23) اثبات فرمول‌ها، مسئله ۲ (P1 V23) Proving formulas, Problem 2

• اثبات فرمول‌ها، مسئله ۳ Proving formulas, Problem 3

• اثبات فرمول‌ها، مسئله ۴ Proving formulas, Problem 4

• انگیزه‌بخشی فرمول‌ها، مسئله ۵ Motivating formulas, Problem 5

• تعمیم فرمول‌ها برای جملات یا عوامل بیشتر، مسئله ۶ Generalising formulas for more terms or factors, Problem 6

• استخراج فرمول‌ها، مسئله ۷ Deriving formulas, Problem 7

• اثبات فرمول‌ها به صورت غیررسمی، مسئله ۸ Proving formulas, quite informally, Problem 8

• اثبات نامساوی‌ها (مستقیم)، مسئله ۹ Proving inequalities (directly), Problem 9

• اثبات نامساوی‌ها (مستقیم)، مسئله ۱۰ Proving inequalities (directly), Problem 10

• اثبات نامساوی‌ها (غیرمستقیم)، مسئله ۱۱ Proving inequalities (indirectly), Problem 11

• بازگشت به بخش‌پذیری: کار با باقی‌مانده‌ها، تجزیه اعداد و عبارات Back to divisibility: working with remainders, factoring numbers and expressions

• اثبات بخش‌پذیری: کار با باقی‌مانده‌ها، مسئله ۱۲ Proving divisibility: working with remainders, Problem 12

• اثبات بخش‌پذیری: کار با باقی‌مانده‌ها، مسئله ۱۳ Proving divisibility: working with remainders, Problem 13

• اثبات بخش‌پذیری: کار با باقی‌مانده‌ها، مسئله ۱۴ Proving divisibility: working with remainders, Problem 14

• اثبات بخش‌پذیری با استفاده از تجزیه، مسئله ۱۵ Proving divisibility using factoring, Problem 15

• اثبات بخش‌پذیری با استفاده از تجزیه، مسئله ۱۶ Proving divisibility using factoring, Problem 16

• اثبات بخش‌پذیری با استفاده از تجزیه، مسئله ۱۷ Proving divisibility using factoring, Problem 17

• اثبات بخش‌پذیری با استفاده از تجزیه، مسئله ۱۸ Proving divisibility using factoring, Problem 18

• تفکر منطقی با کمک نمودار، مسئله ۱۹ Logical thinking with help of a chart, Problem 19

• تفکر منطقی و استراتژی‌ها، مسئله ۲۰ Logical thinking and strategies, Problem 20

• تفکر منطقی و استراتژی‌ها، مسئله ۲۱ Logical thinking and strategies, Problem 21

• تفکر منطقی، مسئله ۲۲ Logical thinking, Problem 22

• اصل لانه کبوتری، ابزاری ساده اما کاربردی برای استدلال Pigeonhole Principle, an easy but practical tool for reasoning

• اصل لانه کبوتری، مسئله ۲۳ Pigeonhole Principle, Problem 23

• اصل لانه کبوتری و پیمانه، مسئله ۲۴ Pigeonhole Principle and modulo, Problem 24

• اصل لانه کبوتری و پیمانه، مسئله ۲۵ Pigeonhole Principle and modulo, Problem 25

• اصل لانه کبوتری، مسئله ۲۶ Pigeonhole Principle, Problem 26

• اصل لانه کبوتری و گراف‌ها، مسئله ۲۷ Pigeonhole Principle and graphs, Problem 27

• مدل‌سازی ریاضی و گراف‌ها Mathematical modelling and graphs

• مسیرها، مسئله ۲۸ Paths, Problem 28

• مدل‌سازی ریاضی و مسیرها Mathematical modelling and paths

• جایگشت‌ها: جذاب‌ترین موجودات در ترکیبیات Permutations: the nicest creatures to deal with in combinatorics

• مدل‌سازی ریاضی و جایگشت‌ها Mathematical modelling and permutations

• نقاط ثابت جایگشت‌ها Fixed points of permutations

• آخرین مورد، مسئله ۲۹ The last one, Problem 29

منطق Logic

• گزاره چیست و مقدار منطقی؛ گزاره‌های باز و بسته What is a statement and logical value; open and closed statements

• (P1 V109) رابط منطقی تک‌گانه: نقیض NOT (P1 V109) Unary logical connective: Negation NOT

• (P1 V110) رابط منطقی دوگانه ۱: عطف AND (P1 V110) Binary logical connective 1: Conjunction AND

• (P1 V111) رابط منطقی دوگانه ۲: فصل OR (P1 V111) Binary logical connective 2: Disjunction OR

• (P1 V112) رابط‌ها، مثال ۵ (P1 V112) Connectives, Example 5

• (P1 V113) رابط منطقی دوگانه ۳: استلزام IF THEN. شرایط لازم (P1 V113) Binary logical connective 3: Implication IF THEN. Necessary conditions

• (P1 V114) گزاره‌های عکس، معکوس و نقیض (P1 V114) Converse, inverse, and contrapositive statements / sentences

• (P1 V115) رابط منطقی دوگانه ۴: تعادل IFF. لازم و کافی (P1 V115) Binary logical connective 4: Equivalence IFF. Necessary and sufficient

• (P1 V116) تعادل در مقابل تساوی (P1 V116) Equivalence versus equality

• (P1 V117) توتولوژی به عنوان یک فرمول منطقی (P1 V117) Tautology as a logical formula

• (P1 V118) نحوه تایید توتولوژی‌ها (P1 V118) How to verify tautologies

• (P1 V119) توتولوژی‌ها، مسئله ۱ (P1 V119) Tautologies, Problem 1

• (P1 V120) توتولوژی‌ها، مسئله ۲ (P1 V120) Tautologies, Problem 2

• (P1 V121) توتولوژی‌ها، مسئله ۳ (P1 V121) Tautologies, Problem 3

• (P1 V122) توتولوژی‌ها، مسئله ۴ (P1 V122) Tautologies, Problem 4

• (P1 V123) توتولوژی‌ها، مسئله ۵ (P1 V123) Tautologies, Problem 5

• (P1 V125) سور وجودی THERE EXISTS (P1 V125) Existential quantifier THERE EXISTS

• (P1 V126, p1) سور کلی FOR ALL. اهمیت ترتیب (P1 V126, p1) Universal quantifier FOR ALL. Order matters

• (P1 V126, p2) سور کلی FOR ALL. قوانین اولویت (P1 V126, p2) Universal quantifier FOR ALL. Precedence rules

• (P1 V84 and V127) نقیض‌ها: قوانین دمورگان برای سورها، مسئله ۶ (P1 V84 and V127) Negations: De Morgan's Laws for quantifiers, Pr 6

• (P1 V129) منطق، مسئله ۷ (P1 V129) Logic, Problem 7

• (P1 V130) منطق، مسئله ۸ (P1 V130) Logic, Problem 8

• منطق، مسئله ۹ Logic, Problem 9

• تفکر منطقی، مسئله ۱۰ Logical thinking, Problem 10

• تفکر منطقی، مسئله ۱۱ Logical thinking, Problem 11

• تفکر منطقی، مسئله ۱۲ Logical thinking, Problem 12

• تفکر منطقی و جداول حقیقت، مسئله ۱۳ Logical thinking and truth tables, Problem 13

• تفکر منطقی و جداول حقیقت، مسئله ۱۴ Logical thinking and truth tables, Problem 14

• معمای اینشتین، مسئله ۱۵ Einstein's riddle, Problem 15

مجموعه‌ها Sets

• مفاهیم اولیه: مجموعه، تعلق به مجموعه، مجموعه تهی Primitive notions: set, belonging to a set, the empty set

• (P1 V135) جهان و زیرمجموعه‌های آن (P1 V135) The universe and its subsets

• (P1 V136) اگر منطق بدانید، نظریه مجموعه‌ها را می‌دانید (P1 V136) If you know logic, you know the set theory

• (P1 V137) اشتراک تعریف شده با کمک عطف (P1 V137) Intersection defined with help of conjunction

• (P1 V138) اجتماع تعریف شده با کمک فصل (P1 V138) Union defined with help of disjunction

• (P1 V139) تعریف تساوی مجموعه‌ها با کمک تعادل: اصل گسترش (P1 V139) Equality of sets def with help of equivalence: Axiom of Extensionality

• (P1 V140) زیرمجموعه تعریف شده با کمک استلزام (P1 V140) Subset defined with help of implication

• (P1 V141) مجموعه تهی منجر به گزاره نادرست می‌شود (P1 V141) The empty set gives a false statement

• (P1 V142) مجموعه جهان منجر به گزاره درست می‌شود (P1 V142) The universe gives a true statement

• (P1 V143) تفاضل مجموعه‌ها (P1 V143) Set difference

• (P1 V144) تفاضل متقارن (P1 V144) Symmetric difference

• (P1 V145) متمم تعریف شده با کمک نقیض (P1 V145) Complement defined with help of negation

• (P1 V146) قوانین نظریه مجموعه‌ها و قوانین منطق (P1 V146) The laws of set theory and the laws of logic

• (P1 V147) قوانین دمورگان، نمایش و اثبات (P1 V147) De Morgan's Laws, an illustration and proof

• (P1 V148) قانون توزیع، نمایش و اثبات (P1 V148) The distributive law, an illustration and proof

• (P1 V149) تفاضل مجموعه‌ها و تفاضل متقارن، مسئله ۱ (P1 V149) Set difference and symmetric difference, Problem 1

• ضرب دکارتی مجموعه‌ها، چند تمرین Cartesian product of sets, some exercises

• (P1 V151) مجموعه توانی یک مجموعه؛ مثالی از جبر بول (P1 V151) Power set of a given set; an example of Boolean algebra

• (P1 V152) کاردینالیته مجموعه‌ها (P1 V152) Cardinality of sets

• (P1 V153) کاردینالیته مجموعه‌ها، مسئله ۲ (P1 V153) Cardinality of sets, Problem 2

• مجموعه‌های هم‌توان؛ اعداد کاردینال Equinumerous (equipotent) sets; cardinal numbers

• (P1 V158) اصل شمول و عدم شمول (P1 V158) Inclusion-exclusion principle

• (P1 V159) اصل شمول و عدم شمول، مسئله ۳ (P1 V159) Inclusion-exclusion principle, Problem 3

• (P1 V160) قانون جابه‌جایی و زیرمجموعه‌ها، مسئله ۴ (P1 V160) Transposition law and subsets, Problem 4

• مسائل حل شده بیشتر در کتاب DM، مسائل ۵ و ۶ More solved problems in the DM Book, Problems 5 and 6

• مسئله مربوط به سه تصویر و جبر بول، مسئله ۷ The one with three pictures and Boolean algebras, Problem 7

توابع Functions

• تابع چیست: بازگشت به V24؛ تفاوت‌های اصطلاحی با کتاب DM What is a function: back to V24; terminological differences with the DM Book

• لیستی از مباحث پرکاربرد و کمتر کاربردی A list of more and less relevant topics

• چرا برخی مسائل برای DM کمتر کاربردی هستند و کجا آن‌ها را بیابیم Why some issues are less relevant for DM, and where to find them

• روش‌های مختلف تعریف توابع، چند مثال Various ways of defining functions, several examples

• چگونه تشخیص دهیم که یک قاعده، یک تابع را توصیف می‌کند How to recognise that a rule describes a function

• توابع تعریف شده به صورت بازگشتی، مقدمه‌ای بسیار کوتاه Recursively defined functions, a very brief introduction

• توابع یک-به-یک، پوشا و یک-به-یک پوشا Injections, surjections, and bijections

• چگونه در موارد مختلف یک تابع یک-به-یک را شناسایی کنیم How to detect an injection in various cases

• تابع؟ یک-به-یک؟ پوشا؟ چند تمرین Function? Injection? Surjection? Some exercises

• توابع پوشا، یک-به-یک و نمادهای منطقی، مسئله ۱ Surjections, injections, and logical symbols, Problem 1

• توابع پوشا و یک-به-یک، مسئله ۲ Surjections and injections, Problem 2

• دو دسته از توابع: توابع همانی و توابع ثابت Two classes of functions: identities and constant functions

• توابع معکوس Inverse functions

• ترکیب توابع Compositions of functions

• اختیاری: ترکیب توابع، مثالی از Precalculus Optional: Compositions of functions, a Precalculus example

• ترکیب با توابع همانی، یک تمرین Compositions with identities, an exercise

• ترکیب توابع، مسئله ۳ Compositions of functions, Problem 3

• شرکت‌پذیری ترکیب توابع Associativity of composition of functions

• مباحث جذاب، جایی که ترکیب توابع با هندسه تلاقی می‌کند، مسئله ۴ Really cool stuff, where compositions meet geometry, Problem 4

• (P1 V184) توابع معکوس و ترکیب توابع، مسئله ۵ (P1 V184) Inverse functions and compositions of functions, Problem 5

• یکتایی معکوس Uniqueness of the inverse

• ارتباط بین داشتن معکوس و یک-به-یک پوشا بودن A link between having an inverse and being a bijection

• (P1 V186 p1) توابع پوشا، یک-به-یک و ترکیب‌ها، مسئله ۶ (P1 V186 p1) Surjections, injections, and compositions, Problem 6

• (P1 V186 p2) توابع پوشا، یک-به-یک و ترکیب‌ها، مسئله ۷ (P1 V186 p2) Surjections, injections, and compositions, Problem 7

• (P1 V186 p3) توابع پوشا، یک-به-یک و ترکیب‌ها، مسئله ۸ (P1 V186 p3) Surjections, injections, and compositions, Problem 8

• (P1 V155) اختیاری: مجموعه‌های متناهی، شمارش‌پذیر و شمارش‌ناپذیر (P1 V155) Optional: Finite, countable and uncountable sets

• (P1 V156) اختیاری: مقایسه کاردینالیته مجموعه‌ها، مسئله ۹ (P1 V156) Optional: Comparing cardinalities of sets, Problem 9

• اختیاری و پیشرفته: مقایسه کاردینالیته مجموعه‌ها، مسئله ۱۰ Optional, Advanced: Comparing cardinalities of sets, Problem 10

• تصاویر و تصاویر معکوس عناصر و زیرمجموعه‌ها Images and inverse images of elements and subsets

• تابع معکوس در مقابل تصویر معکوس، مسئله ۱۱ Inverse function versus inverse image, Problem 11

• تصاویر و تصاویر معکوس عناصر و زیرمجموعه‌ها، مسئله ۱۲ Images and inverse images of elements and subsets, Problem 12

• تصاویر و تصاویر معکوس، مسئله ۱۳ Images and inverse images, Problem 13

• تصاویر، اجتماع‌ها و اشتراک‌ها، مسئله ۱۴ Images, unions, and intersections, Problem 14

• تصاویر معکوس، اجتماع‌ها و اشتراک‌ها، مسئله ۱۵ Inverse images, unions, and intersections, Problem 15

• توابع یکنواخت، مثال ۱ Monotone (or: monotonic) functions, Example 1

• توابع یکنواخت، مثال ۲ Monotone (or: monotonic) functions, Example 2

• توابع یکنواخت، مثال ۳ Monotone (or: monotonic) functions, Example 3

• اختیاری: سخنی درباره توابع متناوب Optional: A word about periodic functions

• اختیاری: سخنی درباره توابع زوج و فرد Optional: A word about even and odd functions

• آخرین مورد، مسئله ۱۶ The last one, Problem 16

روابط Relations

• سه ویدیو برای تماشا (اگر هنوز ندیده‌اید) Three videos to watch (if you haven't yet)

• روابط در کتاب DM Relations in the DM Book

• رابطه: تعریف رسمی و نمادگذاری Relation: a formal definition and notation

• روش‌های مختلف نمایش روابط Various ways of depicting relations

• (P1 V164) نحوه رسم روابط (P1 V164) How to plot relations

• (P1 V165) نحوه رسم روابط، مسئله ۱ (P1 V165) How to plot relations, Problem 1

• (P1 V166) روابط روی مجموعه‌های متناهی و گراف‌های آن‌ها، مسئله ۲ (P1 V166) Relations on finite sets, and their graphs, Problem 2

• (P1 V167) روابط RST / روابط هم‌ارزی (P1 V167) RST relations / equivalence relations

• (P1 V168) چگونه یک رابطه RST را از روی رسم آن شناسایی کنیم؟ (P1 V168) How to recognize an RST relation from its plot?

• (P1 V169) چگونه یک رابطه RST روی یک مجموعه متناهی را از روی گراف شناسایی کنیم؟ (P1 V169) How to recognize an RST relation on a finite set from the graph?

• (P1 V170) رابطه هم‌ارزی پیمانه‌ای n (P1 V170) Relation congruence modulo n

• (P1 V171) کلاس‌های هم‌ارزی و افراز یک مجموعه (P1 V171) Equivalence classes and partitions of a set

• (P1 V172) ویژگی‌های روابط: غیربازتابی، پاد-متقارن، قویاً متصل (P1 V172) Properties of relations Irreflexive, antisymmetric, strongly connected

• (P1 V173) روابط ترتیبی (P1 V173) Order relations

• (P1 V174) ترتیب‌های جزئی و نمودارهای هاسه (P1 V174) Partial orders and Hasse diagrams

• (P1 V175) روابط، مسئله ۶ (P1 V175) Relations, Problem 6

• (P1 V176) روابط، مسئله ۷ (P1 V176) Relations, Problem 7

• (P1 V209) تعریف مجموعه اعداد صحیح با کمک یک رابطه هم‌ارزی، مسئله ۸ (P1 V209) Defining the set of integers with help of an equivalence relation, Pr8

• (P1 V178) روابط، مسئله ۹ (P1 V178) Relations, Problem 9

توابع به عنوان رابطه Functions as relations

• (P1 V179) برخی نشانه‌های اولیه (P1 V179) Some early signs

• (P1 V180) هر تابع یک رابطه است، اما هر رابطه‌ای تابع نیست (P1 V180) Each function is a relation, but not every relation is a function

• (P1 V181) هر رابطه معکوس‌پذیر است! (P1 V181) Each relation is invertible!

• (P1 V182) روابط و توابع، مسئله ۱ (P1 V182) Relations and functions, Problem 1

• (P1 V183) روابط و توابع، مسئله ۲ (P1 V183) Relations and functions, Problem 2

• (P1 V185) تساوی توابع، مسئله ۳ (P1 V185) Equality of functions, Problem 3

• ترکیب روابط، مثال ۱ Compositions of relations, Example 1

• ترکیب روابط، مثال ۲ Compositions of relations, Example 2

• اختیاری: (P1 V187) قانون حذف برای توابع یک-به-یک و دلیل اهمیت آن Opt.: (P1 V187) Cancellation law for injective functions and why it is important

• سه قضیه درباره ترکیب و معکوس توابع Three theorems about compositions and inverses of functions

• سه قضیه از ویدیوی قبل ترجمه شده برای روابط Three theorems from the previous video translated for relations

مقدمه‌ای بسیار کوتاه بر دنباله‌ها A very brief introduction to sequences

• دنباله‌ها به عنوان توابع تعریف شده روی مجموعه اعداد طبیعی Sequences as functions defined on the set of natural numbers

• فرمول‌های صریح و بازگشتی تعریف‌کننده دنباله‌ها Explicit and recursive formulas defining sequences

• دنباله‌های عددی یکنواخت Monotone number sequences

تکنیک‌های مختلف اثبات Various proof techniques

• انواع مختلف اثبات‌ها و مکان یافتن آن‌ها Many types of proofs and where to find them

• (P1 V191) نمونه‌هایی از مفاهیم اولیه و تعریف‌ها (P1 V191) Examples of primitive notions and definitions

• (P1 V192) اصل موضوعات (آکسیوم‌ها) (P1 V192) Axioms

• (P1 V193) قضایا، گزاره‌ها، لم‌ها و نتایج (P1 V193) Theorems, propositions, lemmas, corollaries

• اثبات‌های مستقیم Direct proofs

• دو تمرین ساخت اثبات از کتاب DM Two proof-constructing exercises from the DM Book

• (P1 V195) اثبات مستقیم (استنتاج و تقلیل)، مثال‌های ۱ و ۳ (P1 V195) Direct proof (deduction and reduction), Examples 1-3

• اثبات و رد گزاره‌های حاوی سور، مثال‌های ۴ تا ۷ Proving and disproving statements containing quantifiers, Examples 4-7

• اثبات و رد گزاره‌های حاوی سور، مثال‌های ۸ تا ۱۰ Proving and disproving statements containing quantifiers, Examples 8-10

• (P1 V208 p1) اثبات یا رد کنید، مثال ۱۱ (P1 V208 p1) Prove or disprove, Example 11

• (P1 V208 p2) اثبات یا رد کنید، مثال ۱۲ (P1 V208 p2) Prove or disprove, Example 12

• (P1 V208 p3) اثبات یا رد کنید، مثال ۱۳ (P1 V208 p3) Prove or disprove, Example 13

• قضایای وجودی، چند مثال Existence theorems, some examples

• اثبات مستقیم از روی اصل موضوعات Proving stuff directly from axioms

• اثبات یکتایی با نشان دادن تنها راه حل، مثال‌های ۱۴ و ۱۶ Proving uniqueness by indicating the only solution, Examples 14-16

• اثبات یکتایی با نشان دادن تنها راه حل، مثال ۱۷ Proving uniqueness by indicating the only solution, Example 17

• اثبات‌های موردی، مقدمه Proofs by cases, an introduction

• اثبات‌های موردی، چند مثال از هندسه Proofs by cases, some examples from geometry

• (P1 V199) زنجیره‌ای از تعادل‌ها (P1 V199) Series of equivalences

• دو نوع اصلی اثبات‌های غیرمستقیم Two main types of indirect proofs

• اثبات‌های مستقیم و غیرمستقیم در کتاب DM Direct and indirect proofs in the DM Book

• اثبات نقیض، مثال ۱۸ Proof by contrapositive, Example 18

• آمادگی برای ویدیوی بعدی A preparation to the next video

• (P1 V197) اثبات نقیض، مثال ۱۹ (P1 V197) Proof by contrapositive, Example 19

• (P1 V198) نسخه گسترش یافته قانون حذف از V187، مثال ۲۰ (P1 V198) The extended version of the Cancellation law from V187, Example 20

• اثبات به روش تناقض، مثال ۲۱ Proof by contradiction, Example 21

• (P1 V200) اثبات به روش تناقض، مثال ۲۲ (P1 V200) Proof by contradiction, Example 22

• (P1 V207 p1) اثبات به روش تناقض، مثال ۲۳ (P1 V207 p1) Proof by contradiction, Example 23

• (P1 V215) اثبات به روش تناقض، مثال ۲۴ (P1 V215) Proof by contradiction, Example 24

• (P1 V207 p2) اثبات به روش تناقض، مثال ۲۵ (P1 V207 p2) Proof by contradiction, Example 25

• (P1 V202) اثبات قضیه افراز از ویدیو ۱۷۱، مثال ۲۶ (P1 V202) Proof of the partition theorem from Video 171, Example 26

• (P1 V201) دو اثبات یکتایی به روش تناقض، مثال ۲۷ (P1 V201) Two proofs of uniqueness, by contradiction, Example 27

• اصل استقرای ریاضی در سه دوره دیگر ما The Principle of Mathematical Induction in three of our other courses

• (FI V2) چه نوع گزاره‌هایی را می‌توان با استقرا اثبات کرد (FI V2) What kinds of statements can be proven by induction

• (FI V3) استقرا: نحوه عملکرد آن، مثال ۲۸ (FI V3) Induction: this is how it works, Example 28

• اثبات فرمول‌ها، مثال‌های ۲۹ و ۳۰ Proving formulas, Examples 29 and 30

• (FI V4) هر دو مورد ضروری هستند (FI V4) Both cases are necessary

• بازگشت به V125 و V191: توابع تعریف شده به صورت بازگشتی، مثال ۳۱ Back to V125 and V191: Recursively defined functions, Example 31

• بازگشت به V125: توابع تعریف شده به صورت بازگشتی، مثال‌های ۳۲ تا ۳۴ Back to V125: Recursively defined functions, Examples 32-34

• (P1 V206 p1) اثبات با استقرای قوی، مثال ۳۵ (P1 V206 p1) Proof by strong induction, Example 35

• استقرا با دو مورد پایه، مثال‌های ۳۶ و ۳۸ Induction with two base cases, Examples 36-38

• (P1 V206 p2) اثبات با استقرای قوی، مثال ۳۹ (P1 V206 p2) Proof by strong induction, Example 39

• اثبات بخش‌پذیری، مثال‌های ۴۰ تا ۴۲ Proving divisibility, Examples 40-42

• اثبات بخش‌پذیری، مثال‌های ۴۳ و ۴۴ Proving divisibility, Examples 43 and 44

• لزوماً برای همه اعداد طبیعی نیست: یک نامساوی، مثال ۴۵ Not necessarily for all natural numbers: an inequality, Example 45

• نامساوی‌های بیشتر برای اثبات، مثال ۴۶ More inequalities to prove, Example 46

• نامساوی‌های بیشتر برای اثبات، مثال ۴۷ More inequalities to prove, Example 47

• زمانی که اثبات مورد پایه سخت‌تر از گام استقرا است، مثال ۴۸ When the base case is harder to prove than the induction step, Example 48

• زمانی که اثبات مورد پایه سخت‌تر از گام استقرا است، مثال ۴۹ When the base case is harder to prove than the induction step, Example 49

• تعمیم‌های بیشتر فرمول‌ها، مثال ۵۰ More generalising formulas, Example 50

• (FI V10) یک اثبات دشوارتر، مثال ۵۱ (FI V10) A more difficult proof, Example 51

• یک اثبات دشوار دیگر، مثال ۵۲ Another difficult proof, Example 52

• جمع‌بندی اثبات‌های استقرایی Proofs by induction, Wrap-up

• استقرا در مقابل اصل نظم خوب، یک بحث جنجالی Induction versus Well-Ordering Principle, a controversy

• چند توصیه برای اثبات‌کنندگان پیشرفته قضایا Some advice for very advanced theorem provers

• اثبات‌های غیرمستقیم، مسئله ۱ Indirect proofs, Problem 1

• نوعی اصل لانه کبوتری عجیب؟ مسئله ۲ A kind of weird Pigeonhole Principle? Problem 2

• اصل لانه کبوتری در یک اثبات به روش تناقض، مسئله ۳ Pigeonhole Principle in a proof by contradiction, Problem 3

فاکتوریل، ترکیب و قضیه دوجمله‌ای Factorial, n choose k, and Binomial Theorem

• ترکیبیات: فقط به اندازه‌ای که تصویر دوره را توجیه کند و به قول‌هایم عمل کنم Combinatorics: just enough to justify the course image, and to keep my promises

• نماد مجموع (Summation): تکرار و برخی ویژگی‌ها Summation notation: a repetition and some properties

• کوتاه و مفید درباره مثلث پاسکال Short and sweet about Pascal's Triangle

• در مورد توان‌های یک تفاضل چه می‌توان گفت؟ What about powers of a difference?

• بیایید رساندن دوجمله‌ای‌ها به توان‌های طبیعی مثبت را تمرین کنیم Let's practice raising binomials to positive natural powers

• فاکتوریل و ضرایب دوجمله‌ای Factorial and binomial coefficients

• کوتاه و مفید درباره قضیه دوجمله‌ای Short and sweet about the Binomial Theorem

• چگونه یکسان هستند؟ How is it the same?

• اثبات رسمی قضیه دوجمله‌ای: به روش استقرا A formal proof of the Binomial Theorem: by induction

• تعداد زیادی اتحاد (پایه) ضرایب دوجمله‌ای: قولی برای DM2 Plenty of (basic) binomial-coefficient identities: a promise for DM2

• پیشرفته: کجا می‌توان اتحادهای زیاد ضرایب دوجمله‌ای را یافت Advanced: Where to find plenty of binomial-coefficient identities

ترکیبیات: هنر شمارش، مقدمه (ادامه در DM2) Combinatorics: the art of counting, an introduction (TBC in DM2)

• ترکیبیات: هنر شمارش Combinatorics: the art of counting

• بازگشت به جایگشت‌ها Back to permutations

• ترتیب‌ها و ترکیب‌ها؛ تعداد زیرمجموعه‌های k عضوی از یک مجموعه n عضوی Variations and combinations; number of subsets with k elements of a set with n e

• کاردینالیته مجموعه توانی یک مجموعه متناهی، اثبات رسمی Cardinality of the power set of a finite set, a formal proof

• دو مسئله شمارشی وعده داده شده در V118 Two counting problems promised in V118

• دو اثبات برای فرمول شمارش تمام زیرمجموعه‌ها Two proofs of the counting-all-subsets formula

• دو اثبات برای فرمول زیرمجموعه‌های زوج و فرد Two proofs of the even-and-odd-subsets formula

• یک اثبات ترکیبیاتی برای قضیه دوجمله‌ای A combinatorial proof of the Binomial Theorem

• شمارش مسیرها Counting paths

• مدل‌سازی ریاضی با مسیرها Mathematical modelling with paths

• ترکیبیات بسیار بیشتر در DM2 Much more Combinatorics in DM2

ضمائم Extras

• درس جایزه Bonus Lecture